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1、人教版高二数学统计解读统统 计计 思思 维维 数理统计学的基本思想是用样本估计总体,它是研究如何合理收集、整理、分析数据的一门学科，从而为人们制定决策提供依据.统计思维是在抽取数据、从数据中提取信息、论证结论可靠性等过程中表现出来的一种思维模式.统计思维与确定性思维统计思维与确定性思维 确定性思维结果的确定性 统计思维 结果的随机性 函数关系是一种确定性关系，回归关系、相关关系是一种非确定关系。在学习统计的过程中，仍然要使用研究确定性现象的数学手段进行抽象概括、运算求解、推理论证等.统计思维与典型案例统计思维与典型案例1.必修3中的典型案例：“一个著名的案例”、“城市居民月用水量”、“人体的脂
2、肪百分比与年龄之间的关系”等.2.选修23中的典型案例：“女大学生的体重与身高的关系”、“红铃虫产卵数和温度的关系”、“肺癌与吸烟有关吗”、“性别与喜欢数学课之间的关系”等.二、教学要求（选修-）基本要求初步了解线性回归模型及随机误差的基本概念初步了解相关系数r的意义初步了解样本方差估计总体方差的思想初步了解建立回归模型并进行残差分析的基本步骤初步了解指数回归、二次回归等非线性回归的基本方法发展要求 有条件的学校可适当运用常见的统计软件处理回归问题。说明 对于回归分析只要体会其基本思想，初步了解即可，对基础理论不作要求.(非线性回归只限于指数回归、二次回归,不宜扩展).回归分析的基本思想及初步
3、应用 基本 要求 1.会列出两个分类变量的列联表，会用三维柱形 图和二维条形图表示列联表中的相关数据。2.初步了解假设检验的基本思想。3.初步了解检验统计量K2的基本含义。4.初步了解分类变量独立性检验的基本思想和方法。发展 要求 1.初步了解独立性检验的一般原理和步骤。2.有条件的学校可适当运用常见的统计软件处理独立性检验问题。说明 1.独立性检验只限于22列联表。2.只要求了解独立性检验的基本思想、掌握其初步应用，对理论基础不作要求。3.2独立性检验的基本思想及其初步应用三、教学建议3.1回归分析的基本思想及初步应用2课时(4)3.2独立性检验的基本思想及其初步应用 2课时(3)实习作业1
4、课时(2)小结1课时(1)1.课时分配(6课时,选修1-2安排10课时)2、重点难点3.1节的重点是了解线性回归模型的建立,理解回归模型的含义;理解最小二乘法基本原理;会利用相关系数判定两个变量的相关性;理解残差分析的方法,利用残差分析判断回归模型的优劣.难点是对随机误差概念的理解,对最小二乘法的理解,残差分析的基本原理的应用.1.1节的重点是了解线性回归模型与回归模型的差异,了解检验模型拟合效果的方法-相关系数和残差 分析.难点是解释残差变量的含义,了解偏差平方和 分解的思想.1.2节 的 重 点 是 理 解 独 立 性 检 验 的 基 本 思 想 与 实 施 步 骤.难点是了解独立性检验的
5、基本思想,了解随机统计量 的含义.3.2节的重点是了解假设检验的基本思想;了解检验统计量K2的基本含义;通过实例,掌握利用随机统计量K2对两个分类变量进行独立性检验的基本思想和方法。难点是理解假设检验的基本思想和利用统计量K2对两个分类变量进行独立性检验的基本思想和方法。3、分析说明（略）四、选修2-3与选修1-2教材内容比较1、根据最小二乘法的思想，推导回归直线方程的截距和斜率；2、随机误差的数字特征；3、残差平方和与残差分析；4、在H0成立的条件下，吸烟与肺癌列联表中数据关系的导出；5、“性别与是否喜欢数学课程”的案例分析；6、选修1-2复习参考题B组第1题（证明：样本点中心在回归直线上）
6、，选修2-3中没有。五、教材分析五、教材分析章头图、引言提出统计问题（身高和体重、吸烟与肺癌）给出解决思路（确定总体、选择变量、收集数据、统计分析）体会统计方法（整理数据、分析结论）引出学习内容（回归分析、独立性检验）（4课时）1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1、回归分析 回归分析是对变量间相关关系进行统计分析的一种数学方法，回归分析的基本思想是：通过散点图直观了解两个变量的关系，通过最小二乘法建立回归模型，通过分析残差、相关指数、随机误差等，评价模型的好坏。它主要解决：确定变量间是否存在相关关系，若是，找出它们之间适合的数学表达式；根据一个或几个变量的值，预测或控制其它变量的值。回归和
7、相关的含义是不同的：如果两个变量中的一个变量是可以控制、非随意的，另一变量是随机的且随控制变量的变化而变化，则称这两个变量的关系为回归关系；若两个变量都是随机的，则称它们之间的关系为相关关系。2、比数学3中“回归”增加的内容数学统计1.画散点图画散点图2.了解最小二乘法了解最小二乘法的思想的思想3.求回归直线方程求回归直线方程ybxa4.用回归直线方程用回归直线方程解决应用问题解决应用问题选修-统计案例5.引入线性回归模型引入线性回归模型ybxae6.了解模型中随机误差项了解模型中随机误差项e产产生的原因生的原因7.了解相关指数了解相关指数 R2 和模型拟和模型拟合的效果之间的关系合的效果之间
8、的关系8.了解残差图的作用了解残差图的作用9.利用线性回归模型解决一些利用线性回归模型解决一些非线性回归问题（指数回归、非线性回归问题（指数回归、二次回归）二次回归）10.正确理解分析方法与结果正确理解分析方法与结果3、函数模型与“回归模型”的关系函数模型：回归模型：不能提供选择模型的准则可以提供选择模型的准则问题背景分析线性回归模型两个变量线性相关最小二乘法两个变量非线性相关非线性回归模型残差分析相关指数散点图线性相关系数应用4、回归分析知识结构图5 5、教学建议 散点图；散点图；回归方程：回归方程：通过探究通过探究“身高身高172 cm 的女大学生的体重一的女大学生的体重一定是定是60.2
9、3 kg吗吗？”引入线性回归模型。引入线性回归模型。此处可此处可以引导学生们体会函数模型与回归模型之间的以引导学生们体会函数模型与回归模型之间的差别。差别。案例案例1：女大学生的：女大学生的身高与体重身高与体重使学生理使学生理解：在回归模型中，解：在回归模型中，预报变量（因变量）预报变量（因变量）是解释变量（自变量）与残差变量共同作用的结果。是解释变量（自变量）与残差变量共同作用的结果。解释残差变量的来源解释残差变量的来源(可以推广到一般）：可以推广到一般）：其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；用线性回归模型近似真实模型所引起的误差
10、；身高 y 的观测误差。使学生正确理解使学生正确理解相关指数相关指数的含义，它的含义，它是度量模型拟是度量模型拟合效果的一种指标合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。刻画预报变量的能力。总偏差平方和：预报变量的变化程度回归平方和：解释变量引起的变化程度残差平方和：残差变量的变化程度在线性模型中，并不要求学生掌握偏差平方和分解公式可以直接由相关指数的定义理解其含义使学生了解残差图的制作及作用。使学生了解残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布
11、在以若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题在教学的过程中，要注意把所蕴含的在教学的过程中，要注意把所蕴含的统计思想统计思想提炼提炼出来。如在本例结尾提到出来。如在本例结尾提到“用身高预报体重时，需用身高预报体重时，需要注意下列问题：要注意下列问题：”，这些论述适用于所有的，这些论述适用于所有的回归模型。回归模型。模型适用的总体；模型适用的总体；模型的时间性；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。模型
12、预报结果的正确理解。教科书上所列教科书上所列“建立回归模型的基本步骤建立回归模型的基本步骤”，不仅，不仅适用于线性回归模型，也适用于一般回归模型的建适用于线性回归模型，也适用于一般回归模型的建立。立。散点图：散点图：从从散散点点图图中中可可以以看看出出产产卵卵数数和和温温度度之之间间的的关关系系并并不不能能用用线线性性回回归归模模型型来来很很好好地地近近似似。这这些些散散点点更像是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近。更像是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近。案例案例2：红铃虫的产卵数与温度：红铃虫的产卵数与温度 令令 ，则，则 x 与与 z 的散点图为的散点图为x 和 z 之间的关系可以用线性
13、回归模型来拟合 令令 ，则，则 t 与与 y 的散点图为的散点图为散点并不集中在一条直线的附近，因此用线性回归模型拟合他们的效果不是最好的。教师在此处可以引导学生体会应用统计方法解教师在此处可以引导学生体会应用统计方法解决实际问题需要注意的问题：决实际问题需要注意的问题：现在有三个不同的回归模型可供选择来拟合红铃虫的产卵数与温度数据，他们分别是：可以利用直观（散点图和残差图）、相关指数来确定哪一个模型的拟合效果更好。对于同样的数据，有不同的统计方法进行分析，对于同样的数据，有不同的统计方法进行分析，要用最有效的方法分析数据。要用最有效的方法分析数据。1.2 独立性检验的基本思想 及其初步应用(
14、3课时)假设检验方法是统计学中一个很重要的方法，也是很常用的方法，独立性检验仅是假设检验的一个特例，建议在教学中尽量用直观的语言解释独立性检验的基本思想。独独立立性性检检验验的的思思想想来来自自统统计计上上的的假假设设检检验验思思想想.假假设设检检验验是是利利用用样样本本信信息息,根根据据一一定定概概率率,对对总总体体参参数数或或分分布布的的某某一一假假设设作作出出拒拒绝绝或或保保留留的的决决断断,即即在在论论述述H H不不成成立立的的前前提提下下,有有利利于于H H的的小小概概率率事件发生事件发生,就推断就推断H H发生发生.1、独独立立性性检检验验就就是是检检验验两两个个分分类类变变量量是
15、是否否有关系的一种统计方法有关系的一种统计方法.2 2、反证法原理与假设检验原理的比较反证法原理：在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立。假设检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。案例1.数学家庞加莱每天都从一家面包店买一块1000g 的面包，并记录下买回的面包的实际质量。一年后，这位数学家发现，所记录数据的均值为950g。于是庞加莱推断这家面包店的面包分量不足。推断过程：假设“面包分量足”，则一年购买面包的质量数据的平均值应该不少于1000g；“平均值不大于950g”是一个与假设“面包分量足”矛盾的小概率事件；这个小概率事
16、件的发生使庞加莱得出推断结果。案例案例2 2 某地区的羊患某种病的概率是0.4，且每只羊患病与否是彼此独立的，今研制一种新的预防药，任选6只羊做实验，结果6只羊服用此药后均未患病.你认为这种药是否有效？分析：分析：现假设“药无效”，则事件“6只羊都不患病”发生的概率为 ，这是一个小概率事件.这个小概率事件的发生，说明“药无效”的假设不合理，应该认为药是有效的.3、假设检验问题 假设检验问题由两个互斥的假设构成，其中一个叫做原假设，用H0表示；另一个叫做备择假设，用H1表示。例如，在前面的例子中，原假设为：H0：面包分量足（新药无效）。备择假设为：H1：面包分量不足（新药有效）。这个假设检验问题
17、可以表达为：H0：面包分量足 H1：面包分量不足4 4、求解、求解假设检验问题考虑假设检验问题：H0 H1(1).在H0成立的条件下，构造与H0矛盾的小概率事件；(2).如果样本使得这个小概率事件发生，就能以一定把握断言H1成立；否则，断言没有发现样本数据与H0相矛盾的证据。求解思路：问题：判断应该是H0 还是H1正确？5 5、独立性检验检验两个分类变量 x 和 y 之间是否有关系，即回答假设检验问题：H0：x 和 y 之间没有关系 H1：x 和 y 之间有关系只取两个值的变量6 6、知识结构图分类变量之间关系条形图柱形图列联表独立性检验背景分析7、教学建议案例1.吸烟与肺癌 确定所涉及的变量
18、是否为二值分类变量；根据样本数据制作列联表：通过图形直观判断两个分类变量是否相关：不吸烟不吸烟吸烟吸烟患肺癌比例不患肺癌比例在教学过程中强调：只有在此条件下，才能得到这个近似公式。在教学过程中可以指出估算需要很多的概率统计知识，为学生指明还有更多的知识需要学习。推导统计量K2(用于构造有利于H1成立的小概率事件)，使同学了解：K2越大，H1成立的可能性就越大。在“吸烟与患肺癌没有关系”成立的条件下，可以估算出：推导统计量K2(用于构造有利于H1成立的小概率事件)，使同学了解：K2越大，H1成立的可能性就越大。在“吸烟与患肺癌没有关系”成立的条件下，可以估算出：当 n 时，变为等号。在实际应用中
19、，当近似的效果才可接受。推导统计量K2(用于构造有利于H1成立的小概率事件)，使同学了解：K2越大，H1成立的可能性就越大。在“吸烟与患肺癌没有关系”成立的条件下，可以估算出：注：隐含了构造与原假设H0矛盾的小概率事件的思想，基础好的学生可以深入体会。由列联表中的数据计算随机变量K2的值：用k是为了区分随机变量与其观测值结果的解释：k56.6326.635解释为有99%的把握断定“吸烟与患肺癌有关”。若按如下规则进行判断，则把“吸烟与患肺癌没有关系”错判断成“吸烟与患肺癌有关系”的可能性不超过0.01。规则：若K26.635，就断定“吸烟与患肺癌有关”两个分类变量独立性检验的基本思想：当 很大
20、时，就认为两个变量有关系；否则就认为没有充分的证据显示两个变量有关系。小概率事件发生例1.秃顶与患心脏病 在解决实际问题时，可以直接计算K2的观测值k进行独立检验，而不必写出K2的推导过程。本例中的边框中的注解，主要是使得学生们注意统计结果的适用范围（这由样本的代表性所决定）。因为这组数据来自住院的病人，因此所得到的结论适合住院的病人群体例2.性别与喜欢数学课 本例主要是使学生理解独立性检验的原理。在教学过程中向同学们说明：在掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，就可以模仿例1中的计算解决实际问题。图形可帮助向非专业人士解释所得结果；也可以帮助我们判断所得结果是否合理实习作业（2课时）现实生
21、活中有许多丰富多彩的案例，教师要善于通过实际问题的解决去引导学生体会统计基本思想，理解统计中重要概念的实际意义，加强统计知识的实践性。建议真正动手去做，从中深刻感受统计知识的广泛应用，使数学知识更直接地服务于工作和生活之中。六、信息技术在统计中的应用 使用含统计的计算器（如CASIOfx-82ES,fx-991ES)、计算机软件（如Excel、几何画板），或从网上下载统计图表，其集成化的过程能极大地方便统计运算和作图，建议学会基本的操作方法。*计算均值、标准差、数据和、数据平方和、回归系数、正态分布的计算等；*画散点图、求回归方程、作回归直线；计算参数的最小二乘估计、相关指数、残差平方和；画残差图、三维柱形图、二维条形图,等高条形图等。欢迎各位老师批评指正！感谢下列老师提供素材提供素材:北师大数学科学院北师大数学科学院 李李 勇勇 广东东莞中学广东东莞中学 庞进发庞进发 慈溪三山高级中学慈溪三山高级中学 苗孟义苗孟义谢谢指导！