弹性力学讲义 第2章p.ppt

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1、弹性力学讲义弹性力学讲义 第二章 平面问题的基本理论by Chen ping第二章 平面问题的基本理论 本章主要内容本章主要内容本章主要内容本章主要内容 l l平面应力平面应力平面应力平面应力和平面应变平面应变平面应变平面应变问题的概念l l平衡微分方程、几何方程、物理方程平衡微分方程、几何方程、物理方程平衡微分方程、几何方程、物理方程平衡微分方程、几何方程、物理方程的建立l l边界条件边界条件边界条件边界条件和圣维南原理圣维南原理圣维南原理圣维南原理l按位移和按应力按位移和按应力求解平面问题。平面平面应力应力问题问题 平面平面应变应变问题问题 问题简化问题简化平面问题平面问题 特殊形状特殊形

2、状+特殊外力特殊外力（约束）（约束）空间问题空间问题 （空间物体空间物体+空间力系空间力系）2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 平面应平面应力问题力问题 几何几何几何几何形状形状形状形状等厚度等厚度薄板薄板面力面力体力体力外外外外 力力力力平行于板面平行于板面平行于板面平行于板面并且并且不沿厚度变化不沿厚度变化例如深梁深梁,以及平板坝的平板支墩平板支墩等应力、应力、应应变和位移变和位移 正正应力应力 切切应力应力 附附1正应变正应变 切应变切应变位移位移 应力、应力、应应变和位移变和位移 应

3、力应力应力应力 附附1应变应变应变应变 位移位移位移位移 平面平面应力应力问题问题 薄板薄板厚度厚度只剩平行于只剩平行于x y面的三个应力分量面的三个应力分量:由于由于板很薄板很薄,外力外力又不沿厚度变化又不沿厚度变化 切切应应力力互等互等2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 薄板上下面薄板上下面 只有平面应力分量存在只有平面应力分量存在 ，且仅为，且仅为x，y 的函数的弹性力的函数的弹性力学问题。学问题。2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 平面应力平面应力问题问题 平面平面应变应变问题问题 几何几何几何几何形状形状形状形状柱形

4、体柱形体 很很长长 面力面力、体力体力-在柱面上受有平行于横截面平行于横截面而且不沿长度变化内在因素内在因素和外来作用外来作用都不沿长度变化。如挡土墙,涵洞或隧道,压力圆柱管,辊轴2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 涵洞挡土墙或重力坝压力圆柱管长圆柱形辊轴平面应变问题平面应变问题 柱形体柱形体 很长很长 任一横截面都可以看作是对称面任一横截面都可以看作是对称面2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 平面应变问题（二）平面应变问题（一）平面应变问题平面应变问题 柱形体柱形体 很长很长 任一横截面都可以看作是对称面任一横截面都可以看作

5、是对称面因此，只剩下因此，只剩下平行于平行于x y 面面的的三个三个形变形变分量分量！2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 位移位移应变应变应力应力平面平面位移位移问题问题 平面应平面应变变问题问题只有平面应变分量存在只有平面应变分量存在 ，且仅且仅为为x，y 的函数的弹性力学问题。的函数的弹性力学问题。2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 平面问题思考题：平面问题思考题：1.设有厚度很大（即z向很长）的基础梁放置在地基上，力学工作者想把它近似地简化为平面问题处理，问应如何考虑？2.平面问题的求解只需考虑xy面上的各个分量，原因是

6、另外一个方向上任何分量都为零。（对错判断）2-2 平衡微分方程平衡微分方程 在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑:静静静静力力力力学学学学方方方方面面面面、几何学方面几何学方面几何学方面几何学方面和物理学方面物理学方面物理学方面物理学方面。首先考虑平面问题的静力学方面,根据平衡条件来导出应应应应力力力力分分分分量量量量与体体体体力力力力分分分分量量量量之间的关系式,也就是平面问题的平衡微分方程平衡微分方程平衡微分方程平衡微分方程。表示区域内任一点（表示区域内任一点（x,y）的微分体的平衡条件）的微分体的平衡条件 2-2 平衡微分方程平衡微分方程 从平面问题中任取微微小小的正正平行六面体平行六

7、面体 x方向 dx y方向 dyz方向设为1各面应力均匀分布，作用在截面中心体力也均匀分布，作用在体积中心平均正应力平均正应力或切应力或切应力的增量的增量可可用用泰泰勒勒级级数数表示为表示为：略去二阶及更高阶微量2-2 平衡微分方程平衡微分方程 简化为静力静力平衡微分方程平衡微分方程公式推导公式推导公式推导公式推导1.考虑了正负x,y面上应力增量2.公式推导以正的物理量表示3.应力和体力应乘以其面积和体积，得出合力4.连续性、小变形假设静力静力平衡微分方程平衡微分方程公式推导公式推导公式推导公式推导过中心过中心C C平行平行z 轴列轴列力矩的平衡方程力矩的平衡方程：2-2 平衡微分方程平衡微分

8、方程 上式，引用上式，引用 1-3，第，第(5)个基本假定个基本假定小变形假定！小变形假定！过中心过中心C C平行平行z z轴列轴列力矩的平衡方程力矩的平衡方程 ：2-2 平衡微分方程平衡微分方程 静力静力平衡微分方程平衡微分方程公式推导公式推导公式推导公式推导移项移项2-2 平衡微分方程平衡微分方程 切应力互等定律切应力互等定律命命dx及及dy趋于零趋于零 化简为化简为静力静力平衡微分方程平衡微分方程公式推导公式推导公式推导公式推导（2-1）以以x x 轴为轴为投影投影轴轴,列出投列出投影的平衡方程影的平衡方程 2-2 平衡微分方程平衡微分方程 静力静力平衡微分方程平衡微分方程公式推导公式推

9、导公式推导公式推导以以x x 轴为轴为投影投影轴轴,列出投影的平衡方程列出投影的平衡方程 2-2 平衡微分方程平衡微分方程 上式约简后，上式约简后，得得平衡方程平衡方程:由由得相得相似的微分方似的微分方程程：平面问平面问题的平题的平衡微分衡微分方程方程 静力静力平衡微分方程平衡微分方程公式推导公式推导公式推导公式推导（2-2）对于上述平衡徽分方程对于上述平衡徽分方程对于上述平衡徽分方程对于上述平衡徽分方程，应强调说明几点应强调说明几点应强调说明几点应强调说明几点：1.平衡微分方程表示任一点(x,y)的平衡条件，(x,y)属于平面域A，所以也代表 A 中所有点的平衡条件。2.式(2-2)第一式中

10、所有的各项都是x 向的力，第二式均是y 向的力。（2-1）又一次导出了切应力互等定理。3.在任一等式中，各项的量纲必须相同，据此可以作为检查公式是否正确的条件之一。4.平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连续性和小变形假定。5.对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同。6.由于 ，以后只作为一个独立未知函数处理。因此，2个独立的平衡微分方程(2-2)中含有3个应力未知函数。7.弹性力学对平衡条件的考虑是严格和精确的。2(2-1)在材料力学中,矩形截面梁弯曲时的正应力公式为试用弹性力学平衡微分方程式,求横截面上的切应力公式。例题分析例题分析1 1 解：解：弹性力学中的平衡微分方程（假定体

11、力为零）为弹性力学中的平衡微分方程（假定体力为零）为2-3 几何方程几何方程 刚刚体位体位移移 考考虑虑平平面面问问题题的的几几何何学学方方面面,导导出出应应变变分分量量与与位位移移分分量量之之间间的的关关系系式式,也也就就是是平平面面问问题题中中的的几何方程几何方程。一点的变形一点的变形2-3 几何方程几何方程 刚刚体位体位移移 取任意一点 Px方向线段PA=dx y方向线段PB=dy线段PA正应变 一点的应变位移一点的应变位移关系关系正应变正应变和PB的正应变 2-3几何方程几何方程 刚刚体位体位移移 试证明图中试证明图中y方向的位移方向的位移v 所引起的线段所引起的线段PAPA的的伸缩是

12、高阶微量。伸缩是高阶微量。问题问题一点的应变位移关系一点的应变位移关系切应变切应变求线段求线段PAPA与与PBPB之间的之间的直角直角直角直角的的改变改变改变改变,也就是也就是切应变切应变切应变切应变 ,用位移分用位移分量来表示。量来表示。切应变切应变切应变切应变 平面问题中表明应变分量与位移分量之间的关系式,即平面问题的几何方程平面问题的几何方程为为:位移分量完全确定时位移分量完全确定时,应变分量即完全确定应变分量即完全确定反之反之,当应变分量完全确定时当应变分量完全确定时,位移分量却位移分量却不不不不能完全能完全确定确定。（加。（加三个适当的约束条件三个适当的约束条件可以可以确定确定）2-

13、3几何方程几何方程 刚刚体位体位移移 当应变分量完全确定时当应变分量完全确定时,位移分量位移分量不不不不能完全确定能完全确定的说明：的说明：试命应变分量等于零,即 求位移2-3 几何方程几何方程 刚刚体位体位移移 这这一一方方程程的的左左边边是是y y的的函函数数,而而右右边边是是x x的的函函数数。因因此此,只只可可能能两两边边都都等等于同一常数于同一常数。,2-3 几何方程几何方程 刚刚体位体位移移 当应变分量完全确定时当应变分量完全确定时,位移分量位移分量不不不不能完全确定能完全确定的说明：的说明：这是这是“应变为零应变为零”时的时的位移位移,也就是所谓也就是所谓“与与变形无关的位移变形

14、无关的位移”,因而必然是因而必然是刚体位移刚体位移。刚刚体位体位移移 根据平面运动的原理平面运动的原理可以证明uo及vo分别为物体沿x轴及y轴方向的刚体平移刚体平移,而为物体绕z轴的刚体转动刚体转动。应变分量等于零时的位移位移2-3 几何方程几何方程 刚刚体位体位移移 刚刚体位体位移移应变分量等于零时的位移位移2-3 几何方程几何方程 刚刚体位体位移移 uo o代表物体沿代表物体沿x方向的刚体平移方向的刚体平移vo o代表物体沿代表物体沿y方向的刚体平移方向的刚体平移（1）（2）当只有当只有不为零时不为零时（3）说明说明P P点的位移是点的位移是乘以该点的半径，任意点都这样，整个平面绕乘以该点

15、的半径，任意点都这样，整个平面绕OZOZ轴旋转一个角度轴旋转一个角度刚刚体位体位移移应变分量等于零时的位移位移2-3 几何方程几何方程 刚刚体位体位移移 刚刚体位体位移移 既然物体在应变为零时可以有任意的刚体位移,可见,当物体发生一定的应变时,由于约束条件的约束条件的约束条件的约束条件的不同不同不同不同,它可能具有不同的刚体位移不同的刚体位移不同的刚体位移不同的刚体位移,因而它的位移并不是完全确定的。在平面问题中,常数u0,v0,的任意性就反映位移的不确定性,而为了完全确定完全确定完全确定完全确定位移位移位移位移,就必须有三个适当的约束条件三个适当的约束条件三个适当的约束条件三个适当的约束条件

16、来确定这三个常数。2-4 物理方程物理方程 在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑:静静力学方面力学方面、几何学方面几何学方面和物理学方面物理学方面。平面问题的物理学方面平面问题的物理学方面2-5 物理方程物理方程 在完全弹性的各向同性体内在完全弹性的各向同性体内,应变分量与应力分量之间的应变分量与应力分量之间的关系关系,就是就是材料力学中材料力学中的的R.HookeR.Hooke定律定律:E弹性模量 G切变模量 泊松比(侧向收缩系数)广义胡克定律广义胡克定律2-4 物理方程物理方程 平面应力平面应力平面应力平面应力问题问题:平面应平面应平面应平面应变变变变问题问题:2-4 物理方程物理方程

17、平面应平面应变变问题问题:平面平面应应力力问题问题:剪切模量转换形剪切模量转换形式同样是不变的式同样是不变的平面应平面应变变问题问题:平面平面应应力力问题问题:思考题：思考题：1 1.在有一个工程中得知三个主应力均为负值（压应力），在有一个工程中得知三个主应力均为负值（压应力），但发现混凝土结构的某一方向已经出现裂缝（即超过抗但发现混凝土结构的某一方向已经出现裂缝（即超过抗拉极限应变值），试问为什么会发生这种现象？拉极限应变值），试问为什么会发生这种现象？2 2.试解释：在自重作用下为什么钢圆环（平面应力问题）试解释：在自重作用下为什么钢圆环（平面应力问题）总比钢圆筒（平面应变问题）的变形大？

18、总比钢圆筒（平面应变问题）的变形大？2-5 边界条件边界条件 在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑:静静静静力力力力学学学学方方方方面面面面、几何学方面几何学方面几何学方面几何学方面和物理学方面物理学方面物理学方面物理学方面。平面问题平面问题有有 8 8个基本方程个基本方程8 8个未知函数个未知函数(3(3个应力分量个应力分量；3 3个个应变分量应变分量；2 2个位移分量个位移分量)。因此因此，在适当的在适当的边界条边界条件件下下，从基本方程中求解未知函数是可能的从基本方程中求解未知函数是可能的。边界条件边界条件弹性力学问题分为位移边界位移边界问题 应力边界应力边界问题 混合边界混合边界问题

19、2-5 边界条件边界条件 2-2-5 5 边界条件边界条件 位移边界位移边界问题、应力边界应力边界问题、混合边界混合边界问题 位移边界问题位移边界问题物体在全部边界上的位移分量是已知物体在全部边界上的位移分量是已知的的，也就是也就是:在边界上有在边界上有 ,其中其中,和和 在边界上是坐标的己知函数在边界上是坐标的己知函数,即：即：2-2-5 5 边界条件边界条件 位移边界位移边界问题、应力边界应力边界问题、混合边界混合边界问题 应力边界问题应力边界问题物体在全部边界上所受的面力是已知物体在全部边界上所受的面力是已知的的,也就是说也就是说,面力分量面力分量 和和 在边界上是坐标的已知在边界上是坐

20、标的已知函数。函数。应力边界条件应力边界条件根据面力分量与边界上的应力分量之间的根据面力分量与边界上的应力分量之间的关系式关系式,可以把面力己知的条件转换成为应力方面的已知条件可以把面力己知的条件转换成为应力方面的已知条件。斜面斜面ABAB与物体与物体的边界重合的边界重合 ，AB长PB长PA长2-2-5 5 边界条件边界条件 应力边界应力边界问题问题由平衡条件 得 应力边应力边界界条件条件2-2-5 5 边界条件边界条件 应力边界应力边界问题应力边界应力边界条件条件2-2-5 5 边界条件边界条件 当当边边界界垂垂直直于于某某一一坐坐标标轴轴时时,应应力力边边界界条条件件的的形形式式将将得得到

21、到大大的简化大大的简化。在垂直于在垂直于y轴轴的边界上的边界上,l=0,m=1在垂直于在垂直于x轴轴的边界上的边界上,l=1,m=0,应力边界条件简化为应力边界条件简化为混合边界混合边界问题+2-2-5 5 边界条件边界条件 （2-12-1）试列出图试列出图1 1所示问题的边界条件。所示问题的边界条件。例题分析例题分析 答：图1的边界条件为:左边 斜边：2-6 圣维南原理圣维南原理 求求解解弹弹力力问问题题时时,使使应应力力、应应变变和和位位移移分分量量完完全全满满足足基基本本方方程程,并并不不困困难难。但但是是,要要使使得得边边界界条条件件也也得得到到完完全全满满足足,却却往往往往发发生生很

22、很大大的的困困难难(因因此此,弹性力学问题在数学上被称为弹性力学问题在数学上被称为边值问题边值问题)。另另一一方方面面,在在很很多多的的工工程程结结构构计计算算中中,都都会会遇遇到到这这样样的的情情况况:在在物物体体的的一一小小部部分分边边界界上上,仅仅仅仅知知道道物物体体所所受受的的面面力力的的合合力力,而而这这个个面面力力的的分分布布方方式式并并不不明确明确,因而无从考虑这部分边界上的应力边界条件因而无从考虑这部分边界上的应力边界条件。问题提出问题提出 如果把物体的一小部分边界上的面力如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为分变换为分布不同但布不同但静力等效静力等效静力等效静力等效的面力的

23、面力(主矢量相同主矢量相同,对于同一点对于同一点的主矩也相同的主矩也相同),),那么那么,近处的应力分布将有显著的改近处的应力分布将有显著的改变变,但是远处所受的影响可以忽略不计。但是远处所受的影响可以忽略不计。圣维南原理圣维南原理（Saint-VenantSaint-VenantSaint-VenantSaint-Venant）(1855(1855(1855(1855提出提出提出提出)2-6 圣维南原理圣维南原理 例如例如,设有柱形构件设有柱形构件,在两端截面的形心在两端截面的形心受到大小相等而方受到大小相等而方向相反的拉力向相反的拉力P P 圣维南原理圣维南原理说明说明虚线划出部分的应力虚

24、线划出部分的应力分布有显著的改变分布有显著的改变 端部做静力等效变换端部做静力等效变换应力分布改变忽略不计2-6 圣维南原理圣维南原理 圣维南原理圣维南原理应用举例应用举例圣维南原理只能在圣维南原理只能在次要边界上应用次要边界上应用！左右端小边界上无左右端小边界上无法精确满足连续应法精确满足连续应力边界条件力边界条件（a）该式表示精确满足边界条件的要求2-6 圣维南原理圣维南原理 圣维南原理圣维南原理应用举例应用举例（b）在右端小边界上，使应力主矢量等于面力主矢量，应力对某点的主矩等于面力对同一点的主矩数值相同，方向一致右端小边界（c）圣维南原理圣维南原理应用举例应用举例在x=l小边界上，三个

25、积分边界条件是：圣维南原理圣维南原理应用举例应用举例式式式式(a)a)a)a)式式式式(b)b)b)b)的比较：的比较：的比较：的比较：(1)(1)式式(a)a)是精确的是精确的，而式而式(b)b)是近似的是近似的；(2)(2)式式(a)(a)有两个条件有两个条件，一般为两个函数方程一般为两个函数方程；式式(b)(b)有有三个积分条件三个积分条件，均为代数方程。均为代数方程。(3)(3)在求解时在求解时,式式(a)(a)难以满足难以满足,而式而式(b)(b)易于满足。当小易于满足。当小边界上的条件边界上的条件(a)(a)难以满足时难以满足时,便可以用式便可以用式(b)(b)来代替。来代替。例：

26、试问图2所示的两个问题中OA边的面力是否是静力等效的（厚度设为1）并写出积分边界条件？例题例题解解:(a)(a)对对于于图图(a)(a)的的问题问题,在主在主要要边边界界 y=h/2 应应精确精确满满足下列足下列边边界条件：界条件：次次要要边边界界(b)(b)在主要在主要边边界界 x=0,b,x=0,b,应应精精确确满满足下列足下列边边界条件界条件:在小在小边边界界 y=0=0试列出图试列出图(a)(b)a)(b)的的边界条件边界条件。2-7 按按位移位移求解平面问题求解平面问题 弹性力学里求解问题弹性力学里求解问题,有三种基本方法有三种基本方法按位移求解按位移求解按位移求解按位移求解,按应力

27、按应力按应力按应力求解求解求解求解和和混合混合混合混合求解求解求解求解。平面问题平面问题平面问题平面问题的基本方程的基本方程的基本方程的基本方程平面应力平面应力平面应平面应变变平衡微分方程平衡微分方程+几何方程几何方程+位移边条位移边条+应力边条应力边条物理方程物理方程2-7 按按位移位移求解平面问题求解平面问题按位移求解按位移求解 位移位移位移位移 应变应变应变应变 应力应力应力应力位移分量为基本未知函数位移分量为基本未知函数(只包含位移分量的微分方程和边界条件只包含位移分量的微分方程和边界条件)求求出出位位移移分分量量以以后后,再再用用几几何何方方程程求求出出应应变变分分量量,从从而而用用

28、物物理理方方程程求求出出应应力分量。力分量。弹性力学里求解问题弹性力学里求解问题,有三种基本方法有三种基本方法按位移求解按位移求解按位移求解按位移求解,按应力按应力按应力按应力求解求解求解求解和和混合混合混合混合求解求解求解求解。从从平面应力平面应力物理方程的三式中求解应力分量（应变物理方程的三式中求解应力分量（应变分量的函数），将几何方程代入变成应力与位移的关系，分量的函数），将几何方程代入变成应力与位移的关系，最后将应力与位移的关系代入平衡微分方程得到按位移最后将应力与位移的关系代入平衡微分方程得到按位移求解的基本微分方程。求解的基本微分方程。2-7 按按位移位移求解平面问题求解平面问题平

29、面应力问题平面应力问题平面应力问题平面应力问题按按按按位移求解步骤位移求解步骤位移求解步骤位移求解步骤平面应力问题平面应力问题平面应力问题平面应力问题位移解法位移解法位移解法位移解法拉密方程拉密方程拉密方程拉密方程(LameLame equation)equation)代入代入得到得到代入平衡方程代入平衡方程2-7 按位移求解平面问题按位移求解平面问题平面应力问题平面应力问题代入代入得到平衡微平衡微分方程分方程平面应力问题平面应力问题平面应力问题平面应力问题由另一平衡方程得相似的方程由另一平衡方程得相似的方程2-7 按位移求解平面问题按位移求解平面问题平面应力问题平面应力问题拉密方程拉密方程拉

30、密方程拉密方程(LameLame equation)equation)在平面应力问题中的简化形式在平面应力问题中的简化形式。（2-12）位移解法边界条件位移解法边界条件将将应力分量与位移关系应力分量与位移关系式式代代入入应力边界条件式应力边界条件式 代代入入位移表示的位移表示的应力边界条件应力边界条件：位移解法边界条件位移解法边界条件（2-13）（在S上）位移位移边界边界条件条件（在Su上）平面平面应应变变问题问题对于平面应变问题,须在上面的各个方程中将 例题2-1求解：求解：一维问题边界条件边界条件解答为：解答为：关于关于位移求解平面问题位移求解平面问题的特点的特点一般情况一般情况,按位移求

31、解平面问题按位移求解平面问题,须处理须处理联立的两个二阶偏联立的两个二阶偏联立的两个二阶偏联立的两个二阶偏微分方程微分方程微分方程微分方程,缺点缺点是无法是无法简化为处理一个单独微分方程的问题。简化为处理一个单独微分方程的问题。从而不从而不能得出很多有用解答。能得出很多有用解答。但原则上但原则上,按位移求解可以按位移求解可以适用于任何平面问题适用于任何平面问题适用于任何平面问题适用于任何平面问题不论体不论体力是不是常量力是不是常量,问题是位移边界问题还是应力边界问题或问题是位移边界问题还是应力边界问题或混混合合边界问题。这是按应力求解时不可能做到的。边界问题。这是按应力求解时不可能做到的。在有

32、限单元法中在有限单元法中,按位移求解也是比较简单而普遍适用的。按位移求解也是比较简单而普遍适用的。按按应力应力求解求解 应力应力应力应力 应变应变应变应变 位移位移位移位移应力应力分量为基本未知函数分量为基本未知函数(只包含只包含应力应力分量的微分方程和边界条件分量的微分方程和边界条件)求求出出应应力力分分量量以以后后,再再用用物物理理方方程程求求出出应应变变分分量量,从从而而用用几几何何方方程程求求出出位位移移分量。分量。弹性力学里求解问题弹性力学里求解问题,有三种基本方法有三种基本方法按位移求解按位移求解按位移求解按位移求解,按应力按应力按应力按应力求解求解求解求解和和混合混合混合混合求解

33、求解求解求解。2-8 按按应力应力求解平面问题求解平面问题 相容方程相容方程 平面应力问题平面应力问题平面应力问题平面应力问题应力解法应力解法应力解法应力解法平衡方程包含三个应力分量，但仅两个平衡方程包含三个应力分量，但仅两个方程，需要方程，需要补充一个含应力分量的方程补充一个含应力分量的方程补充应力方程补充应力方程变形协调方程变形协调方程（保证位移单值，三个应（保证位移单值，三个应变分量之间应满足的关系）变分量之间应满足的关系）得到应力相容方程得到应力相容方程得到平面应力问题应力解得到平面应力问题应力解平面平面平面平面应应应应变变变变问题问题问题问题解法类似！解法类似！解法类似！解法类似！2

34、-8 按按应力应力应力应力求解平面问题求解平面问题 相容方程相容方程 变形协调方程或相容方程变形协调方程或相容方程 平面应力问题平面应力问题平面应力问题平面应力问题应力解法应力解法应力解法应力解法 要使得满足几何方程的位移存在且是单值的,应变分量之间必须满足一定的条件 将将 对对y 偏导数两次，偏导数两次，将将 对对x 偏导数两次，偏导数两次，将将 分别对分别对x 和和y 偏导数两次偏导数两次变形协调方程或相容方程变形协调方程或相容方程 平面应力问题平面应力问题平面应力问题平面应力问题应力解法应力解法应力解法应力解法变形协调方程或相容方程变形协调方程或相容方程(Saint-Venant)Sai

35、nt-Venant)Saint-Venant)Saint-Venant)平面应力问题平面应力问题 应变分量应变分量x，y，xy必须满足这个方程必须满足这个方程,才能保证位移才能保证位移分量分量u 和和v 的存在的存在。如果任意选取函数如果任意选取函数x，y和和xy而不能满足这个方程而不能满足这个方程,那那么么,由三个由三个几几何方程中的任何两个求出的位移分量何方程中的任何两个求出的位移分量,将与第将与第三个几何方程不能相容。这就表示三个几何方程不能相容。这就表示,变形以后的物体就不再变形以后的物体就不再是连续的是连续的,而将发生某些部分互相脱离或互相侵而将发生某些部分互相脱离或互相侵入入的情况

36、。的情况。不相容举例不相容举例相容方程几何意义相容方程几何意义对对于于多多连连通通物物体体：我我们们总总可可作作适适当当 的的截截面面使使它它变变成成单单连连通通物物体体，则则上上述述的的结结论论也也完完全全适适用用。具具体体地地说说，如如果果应应变变分分量量满满足足应应变变协协调调方方程程，则则在在此此被被割割开开以以后后的的区区域域里里，一一定定能能求求得得单单值值连连续续的的函函数数。但但对对求求得得的的位位移移分分量量，当当x，y点点分分别别从从截截面面两两侧侧趋趋向向于于截截面面上上某某一一点点时时，一一般般说说它它们们将将趋趋向向于于不不同同的的值值。为为使使所所考考察察的的多多连

37、连通通物物体体在在变变形形以以后后仍仍保保持持为连续体为连续体，则必须加上补充条件则必须加上补充条件。acbd+-因此因此，对于多连通物体对于多连通物体，应变分量满足应变协调方程应变分量满足应变协调方程，只是物体连续的必要条件只是物体连续的必要条件,只只有有加上补充条件加上补充条件,条件才是充条件才是充分的。分的。对对多连通物体多连通物体相容方程适用单相容方程适用单连通物体连通物体解答：解答：（1 1）相容相容条件条件将形变分量代入应变将形变分量代入应变协调条件（相容方程）协调条件（相容方程）其中其中所以满足相容方程，符合连续条件。所以满足相容方程，符合连续条件。例题例题 已知薄板有下列形变关

38、系：已知薄板有下列形变关系：式中式中A,B,C,DA,B,C,D皆为常数，试检查在形变过程中是否符合皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连连续条件续条件，若满足并列出，若满足并列出应力分量表达式应力分量表达式。（2 2）在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为 （3 3）平衡微分方程平衡微分方程其中：其中：若满足平衡微分若满足平衡微分方程，必须有：方程，必须有：将平面应力问题物理方程代将平面应力问题物理方程代入入相容方程相容方程将将上述方程与上述方程与平衡微分方程平衡微分方程联立可求出三个应力分量联立可求出三个应力分量 用应力表示的相容方程（用应

39、力表示的相容方程（用应力表示的相容方程（用应力表示的相容方程（平面应力问题平面应力问题平面应力问题平面应力问题）将平衡微分方程写成将平衡微分方程写成 将前一方程对将前一方程对x求导求导,后一方程对后一方程对y求导求导,然后相加然后相加,并注意并注意到到yx=xy 得得 代代代代入入入入用应力表示的相容方程（用应力表示的相容方程（用应力表示的相容方程（用应力表示的相容方程（平面应力问题平面应力问题平面应力问题平面应力问题）平面应平面应变变问题问题 对于平面应变问题对于平面应变问题,进行同样的推演进行同样的推演,可以导出可以导出一个与此相似的方程一个与此相似的方程 相相容容方方程程平面问题平面问题

40、应力应力应力应力问题问题问题问题应变应变应变应变问题问题问题问题2-9 常体力的情况下常体力的情况下的简化的简化拉普拉斯拉普拉斯 (Laplace)Laplace)微微分方程分方程,即即调调调调和方程和方程和方程和方程 在很多的工程问题中在很多的工程问题中,体力是常量体力是常量,也就是说也就是说,体力分量体力分量 fx 和和 fy 在整个弹性体内是常量在整个弹性体内是常量,不随坐标而变。例如重力和平不随坐标而变。例如重力和平行移动时的惯性力行移动时的惯性力,就是常量的体力。就是常量的体力。按应力求解应力边界问题时按应力求解应力边界问题时,在常体力的情况下在常体力的情况下 在在边边界界上上满满足

41、足应应力力边边界界条条件件。在在多多连连体体中中,上上列列应应力力分分量量还还应应当满足当满足位移单值条件位移单值条件。相容方程相容方程平衡微分方程平衡微分方程应满足应满足2-10 应力函数应力函数,逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法齐次微分方程齐次微分方程通解通解特解特解（其中的（其中的三组特解）三组特解）2-10 应力函数应力函数,逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法平衡微分方程平衡微分方程非齐次微分方程组非齐次微分方程组 =通解通解+特解特解 若设函数f=f(x，y)，则有假如函数C和D满足下列关系式那么，对照上式，一定存在某一函数f，使得数学补充数学补充根据微分方程理论，偏导数具有相容性：根

42、据微分方程理论，偏导数具有相容性：求求齐次微分方程组通解齐次微分方程组通解：根据全微分条件根据全微分条件,这就一定存在某一个函数这就一定存在某一个函数 一定存在某一个函数一定存在某一个函数比较两式2-10 应力函数应力函数,逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法比较得到：比较得到：根据全微分条件根据全微分条件,这就一定存在某一个函数这就一定存在某一个函数 即得即得通解通解 不不论论 是是什什么么样样的的函函数数,上上式式应应力力分分量量总总能能满满足足平平衡衡微微分分方方程程。函函数数 称称为为平平面面问问题题的的应应力力函函数数,也也称称为为艾艾艾艾瑞瑞瑞瑞(B.Airy)B.Airy)B.Air

43、y)B.Airy)应力函数应力函数应力函数应力函数。同时也同时也应应满满足相容方程足相容方程 平衡微分方程平衡微分方程非齐次微分方程组非齐次微分方程组=通解通解+特解特解 删去展开展开应力函数是重调和函数应力函数是重调和函数 应力分量在边界上应当满足应力边界条件应力分量在边界上应当满足应力边界条件;在多连在多连体的情况下体的情况下,这些应力分量还须满足这些应力分量还须满足位位移单值条件。移单值条件。逆解法逆解法就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数,再求出应力分量,然后根据应力边界条件来考察,在各种形状的弹性体上,这些应力分量对应于什么样的面力,从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。

44、应力函数应力函数的求法一的求法一2-10 2-10 应力函数应力函数，逆解法与逆解法与半半逆解法逆解法 半逆解法半逆解法半逆解法半逆解法就是针对所要求解的问题,根据弹性体的边界形状和受力情况,假设部分或全部应力分量为某种相对简单些的函数,从而推出应力函数，然后来考察,这个应力函数是否满足相容方程,以及原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量,是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足,自然也就得出正确的解答;如果某一方面不能满足,就要另作假设,重新考察。应力函数应力函数的求法二的求法二2-10 应力函数应力函数,逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法思考题思

45、考题2.对于按应力函数求解方法和按位移求解的方法，对于按应力函数求解方法和按位移求解的方法，试比较其未知函数，求解的方程及其物理意义，试比较其未知函数，求解的方程及其物理意义，求解的难易程度及局限性？求解的难易程度及局限性？1.在在常常体体力力、应应力力边边界界条条件件和和单单连连体体的的条条件件下下，对对于于不不同同材材料料和和两两类类平平面面问问题题的的 x，y和和 xy均均相相同。试问其余的应力以及应变和位移是否相同？同。试问其余的应力以及应变和位移是否相同？2-11 平平面面问题中一点问题中一点的应力的应力状态状态 在在平平面面问问题题中中,如如果果已已知知任任一一点点P P处处的的应

46、应力力分分量量 ,就就可可以以求求得得经经过过该该点点的的平平行行于于z轴轴而而倾倾斜斜于于x轴轴和和y轴的任何斜面上的应力。轴的任何斜面上的应力。设设 AB 的长度为的长度为 ds PB 的长度为的长度为 lds PA 的长度为的长度为 mds1.1.ABAB面外法线面外法线n n方向余弦表示：方向余弦表示：2.2.由平衡条件由平衡条件1.1.任任一一斜面上的应力斜面上的应力计算计算正正应力应力 （2-21）（2-22）斜面上的斜面上的切应力切应力 （2-23）求求经过经过P P点的任一斜面上的正应力点的任一斜面上的正应力和和切应力切应力公式公式 或表示为或表示为 设经过设经过P P点的某一

47、斜面上的点的某一斜面上的切应切应力等于零力等于零，则该斜面上的正应力称则该斜面上的正应力称为为P P点的一个点的一个主应力主应力主应力主应力，而该斜面称而该斜面称为为P P点的一个应力主面点的一个应力主面，该斜面的该斜面的法线方向法线方向(即主应力的方向即主应力的方向)称为称为P P点的一个点的一个应力主向应力主向。2.2.主主应力应力、应力主向的计算、应力主向的计算主应力主应力 a.a.主应力主应力 计算计算 （2-24）b.b.主应力主应力方向计算方向计算 设设 与与x x轴轴的的夹夹角角为为设设 与与x x轴轴的的夹夹角角为为说明说明 与与 方向相方向相互垂直互垂直 如果已经求得任一点的

48、两如果已经求得任一点的两个主应力个主应力,以及与之对应的应以及与之对应的应力主向力主向,就极易求得这一点的就极易求得这一点的最大应力与最小应力。最大应力与最小应力。为了便于分析为了便于分析,将将x x轴和轴和y y轴轴分别放在两个主应力方向分别放在两个主应力方向,于于是就有是就有 b.b.主应力主应力方向计算方向计算 的最大为1，最小0说明说明两个主应力包含了最大与最小的正应力两个主应力包含了最大与最小的正应力！将 x 轴和 y 轴分别放在两个主应力方向代入代入c.c.求最大、最小主求最大、最小主应力应力计算计算 c.c.求最大、最小切求最大、最小切应力应力计算计算 当当 为最大或 最小最大、

49、最小切最大、最小切应力应力发生在与发生在与x x轴及轴及y y轴（即应力主向）成轴（即应力主向）成45450 0的斜面上的斜面上c.c.求最大、最小切求最大、最小切应力应力计算计算 问题：问题：平面问题中，平面问题中，(a)a)已已知知一一点点的的应应力力为为 ，那那么么任任一一方方向的正应力向的正应力 n 为为 n 为为 ;（b b）已知已知 那么那么 本章内容小结本章内容小结本章内容小结本章内容小结 1.1.平平面面问问题题包包括括平平面面应应力力问问题题和和平平面面应应变变问问题题。它它们们的特征是的特征是平面应力问题平面应力问题:(1)z=zx=0=zy=0,只有平面应力x,y和xy

50、存在;(2)应力和应变均只是 x,y 的函数。平平面面应应变变问问题题:(1)z=zx=zy=0,只有平面应变z ,z 和xy存在:(2)应力、应变和位移只是 x,y的函数。平面应力问题对应的弹性体通常为等厚度薄板平面应力问题对应的弹性体通常为等厚度薄板,而平面应而平面应变问题对应的弹性体通常为常截面长变问题对应的弹性体通常为常截面长柱柱体。这两类平面问体。这两类平面问题的平衡微分方程、几何方程、应力和位移边界条件都完题的平衡微分方程、几何方程、应力和位移边界条件都完全相同全相同,只有物理方程的系数不同。如果将平面应力问题只有物理方程的系数不同。如果将平面应力问题的物理方程作的物理方程作 EE