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1、椭圆标准方程典型例题(参考答案)例1 椭圆的一个焦点为0，2求的值解：方程变形为因为焦点在轴上，所以，解得又，所以，适合故例2 椭圆的中心在原点，且经过点，求椭圆的标准方程解：当焦点在轴上时，设其方程为由椭圆过点，知又，代入得，故椭圆的方程为当焦点在轴上时，设其方程为由椭圆过点，知又，联立解得，故椭圆的方程为例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹解： 1以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点因，有，故其方程为2设，那么 由题意有代入，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆除去轴上两点例4 点在以坐标轴为对称
2、轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解：设两焦点为、，且，从椭圆定义知即从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，可求出，从而所求椭圆方程为或例5 椭圆方程，长轴端点为，焦点为，是椭圆上一点，求：的面积用、表示解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限由余弦定理知： 由椭圆定义知： ，那么得 故 例6 动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程解：如下图，设动圆和定圆内切于点动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：例7
3、椭圆，1求过点且被平分的弦所在直线的方程；2求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； 3过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；4椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程 解：设弦两端点分别为，线段的中点，那么得由题意知，那么上式两端同除以，有，将代入得1将，代入，得，故所求直线方程为： 将代入椭圆方程得，符合题意，为所求2将代入得所求轨迹方程为： 椭圆内局部3将代入得所求轨迹方程为： 椭圆内局部4由得 ： ， ， 将平方并整理得， ， ， 将代入得： ， 再将代入式得： ， 即 例8 椭圆及直线1当为何值时，直线与椭圆有公共点？2假设直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程
4、解：1把直线方程代入椭圆方程得 ，即，解得2设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，由1得，根据弦长公式得 ：解得方程为例9 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程解：如下图，椭圆的焦点为，点关于直线的对称点的坐标为9，6，直线的方程为解方程组得交点的坐标为5，4此时最小所求椭圆的长轴：，又，因此，所求椭圆的方程为例10 方程表示椭圆，求的取值范围解：由得，且满足条件的的取值范围是，且例11 表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围解：方程可化为因为焦点在轴上，所以因此且从而例12求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程解：设所求椭圆方
5、程为(，)由和两点在椭圆上可得即所以，故所求的椭圆方程为例13 知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹解：设点的坐标为，点的坐标为，那么，因为在圆上，所以将，代入方程得所以点的轨迹是一个椭圆例14 长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为，所以因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为由直线方程与椭圆方程联立得：设，为方程两根，所以， 从而 (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为，设，那么，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以 (法3)利用
6、焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，它们分别是，的横坐标再根据焦半径，从而求出例15椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，那么为坐标原点的值为A4B2 C8 D解：如下图，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一定义得，所以，又因为为的中位线，所以，故答案为A例16 在面积为1的中，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程解：以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设那么即得所求椭圆方程为例17 是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程解：方法一：设所求直线方程为代入椭圆方程，整理得 设直线与椭圆的交点为，那么、是的两根，为中点，所求直线方程为方法二：设直线与椭圆交点，为中点，又，在椭圆上，两式相减得，即直线方程为方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为，另一个交点、在椭圆上，。 从而，在方程的图形上，而过、的直线只有一条，直线方程为