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1、第一节 代入排除思想代入排除法：是指将题目的选项直接代入题干当中判断选项正误的方法。这是处理“客观单项选择题非常行之有效的方法，广泛应用到各种题型当中。第三节 数字特性思想核心提示数字特性法是指不直接求得最终结果，而只需要考虑最终计算结果的某种“数字特性，从而到达排除错误选项的方法。掌握数字特性法的关键，是掌握一些最根本的数字特性规律。以下规律仅限自然数内讨论奇偶运算根本法那么【根底】奇数奇数= _；偶数偶数= _；偶数奇数= _；奇数偶数= _。【推论】一、任意两个数的与如果是奇数，那么差也是奇数；如果与是偶数，那么差也是偶数。二、任意两个数的与或差是奇数，那么两数奇偶相反；与或差是偶数，那
2、么两数奇偶一样。整除判定根本法那么一、能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2或5整除的数，末一位数字能被2或5整除；能被4或25整除的数，末两位数字能被4或5整除；能被8或125整除的数，末三位数字能被8或125整除；一个数被2或5除得的余数，就是其末一位数字被2或5除得的余数一个数被4或25除得的余数，就是其末两位数字被4或25除得的余数一个数被8或125除得的余数，就是其末三位数字被8或125除得的余数二、能被3、9 整除的数的数字特性能被3或9整除的数，各位数字与能被3或9整除。一个数被3或9除得的余数，就是其各位相加后被3或9除得的余数。倍数关系核心判定特征如果a:
3、b = m:n (m,n互质)，那么 a 是 m 的倍数；b 是 n 的倍数。如果a = (m ,n互质)，那么 a 是 m 的倍数；b 是 n 的倍数。如果a:b = m:n (m,n互质)，那么a b应该是 m n 的倍数。第四节 方程思想核心提示广泛适用于：经济利润类问题、与差倍比问题、行程问题、牛吃草问题、比例问题等。一、设未知数原那么 1.以便于理解为准，设出来的未知数要便于列方程；2.设题目所求的量为未知量。二、消未知数原那么 1.方程组消未知数时，应注意保存题目所求未知量，消去其它未知量；2.消未知数时注重整体代换三、在实际做题时，还可以用有意义的汉字来代替未知数，这样会使题目更
4、加简单直观第二章 初等数学模块第一节 多位数问题核心提示多位数问题常用方法：1.直接代入法在解决多位数问题时显得非常重要。2.对于数页码问题，解题思路是：把个位页码、十位页码、百位页码分开来数。页码=数字3+36【例1】一个三位数，百位上的数比十位上的数大4，个位上的数比十位上的数大2，这个三位数恰好是后两个数字组成的两位数的21倍，那么，这个三位数是？ B.476 【例3】编一本书的书页，用了270个数字重复的也算，如页码115用了2个1与1个5共3个数字，问这本书一共有多少页？A. 117 B. 126 C. 127 D. 189同余问题核心口诀“余同加余，与同加与，差同减差，除数最小公倍
5、数作周期1、余同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数一样，此时该数可以选这个一样的余数，余同取余。例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么取1，表示为60n+1。2、与同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数与除数的与一样，此时该数可以选这个一样的与数，与同加与。例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，那么取7，表示为60n+7。3、差同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数与除数的差一样，此时该数可以选除数的最小公倍数减去这个一样的差数，差同减差。例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，那么取-3，表示为60n-3。“表示为60n+1为一个数，n可以去常数第三节
6、 星期日期问题判断方法一共天数2 月平年年份不能被4整除365 天有28天闰年年份可以被4整除366 天有29天包括月份共有天数大月一、三、五、七、八、十、腊月31 天小月二、四、六、九、十一月30 天2 月除外核心公式等差数列通项公式： 等差数列求与公式：第一节 平均速度问题等距离平均速度公式：第二节 相遇追及问题相遇追及问题提示：相遇根本公式：相遇时间= 相遇距离S=大速度+小速度X相遇时间追及根本公式：追及时间 追及距离S=大速度-小速度X追及时间追及距离是固定的，是两者间的距离，不是实际人走的距离。第三节 流水行船问题核心提示：船速静水速+水速=顺水速、船速静水速-水速=逆水速 船速静
7、水速=第四节 环形运动问题环形运动问题中：逆向而行，那么相邻两次相遇的路程与为周长。同向而行，那么相邻两次相遇的路程差为周长。第一节 排列组合问题核心提示：排列组合问题是考生最头痛的问题之一，形式多样，对思维的要求相比照拟高。掌握排列组合问题的关键是明确根本概念、熟练基此题型、背诵常用数字。核心概念：加法原理：分类用加法 排列：及顺序有关乘法原理：分步用乘法 组合：及顺序无关核心公式：排列公式：组合公式：第二节 容斥原理 有重叠问题应用到容斥原理核心公式：1. 两个集合容斥：满足条件1 的个数+满足条件2 的个数-两个都满足的个数=总个数-两个都不满足的个数2. 三个集合容斥：如果是文字类的三
8、个集合容斥题目，那么用图示法解决；如果是图形类的三个集合容斥题目，那么用公式解决：|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|-|AC|+|ABC|。【例1】现有50 名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，那么两种实验都做对的有多少人？A.27 人 B.25 人 C.19 人 D.10 人【例11】三个图形共覆盖的面积为290，其中X、Y、Z的面积分别为64、180、160。X及Y、Y 及Z、Z及X 的重叠面积分别为24、70、36，求阴影局部面积为？ B.16 【例9】某专业有学生50 人，现开设有甲、乙、丙三门选
9、修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30 人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？人 人 人 人第四节 抽屉原理问题核心提示：处理数学运算当中抽屉原理问题最常用方法：运用“最不利原那么。12个球放到10个抽屉里满足需要的条件“最不利的情形，最后+1即可至少数=物体数抽屉数的商+1 这个1如果整除可以不加第六节 方阵问题核心提示：假设方阵最外层一边人数为N，那么：一、最外层人数=N14二、实心方阵人数=NN 边长X边长=面积第七节 过河青蛙爬井问题“过河问题提示:
10、一、 需要有一人将船划回；二、 最后一次过河“只去不回；三、 计算时间的时候多注意是“过一次分钟还是“往返一次分钟M个人过河，船载N个人，一人划船，共需过河次，如果需要三个人划船就-3【例1】有37名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？A.7 次 B.8 次 C.9 次 D.10 次第六章 几何问题模块第一节 周长相关问题核心提示：常用周长公式： 正方形周长 C = 4a；长方形周长 C = 2a+b 圆形周长 C = 2R第二节 面积相关问题常用面积公式：正方形面积 长方形面积；圆形面积 三角形面积；平行四边形面积； 梯形面积；扇形面积第三节 外表积问题核心提示：
11、正方形的外表积 长方形的外表积球的外表积圆柱的外表积 侧面积第四节 体积问题核心提示：正方形的体积 长方形的体积球的体积 圆柱的体积圆锥的体积第七章 杂题模块第一节 年龄问题“年龄问题核心公式：一、每过N年，每个人都长N岁。适用于简单列方程解答的年龄问题。二、两个人的年龄差在任何时候都是固定不变的。三、直接代入法。四、两个年龄之间的倍数关系是随着年份的递增而递减的。五、等差数列解法。【例1】今年小芳父亲的年龄是小芳的3倍，去年小芳的父亲比小芳大26岁，那么小芳明年多大？A. 16 岁 B. 15 岁 C. 14 岁 D. 13 岁第二节 经济利润相关问题经济利润相关问题核心公式：一、总价单价销
12、售量；总利润单件利润销售量二、利润额售价本钱；利润率利润/本钱售价本钱/本钱三、“二折，即现价为原价的20%，“九折，即现价为原价的90%【注释】现价为原价的85%，可叫做“八五折或“八点五折第三节 牛吃草问题 比例工程、追及型行程牛吃草问题核心公式：草场原有草量Y=(N-X)xT =牛数-每天长草量天数追及距离 S=(V大-V小)xT1. 因为我们不知道牛吃草的速度，不妨假设每头牛每单位时间吃草的量是“1，牛数也就是牛数每单位时间吃草的量；2. 草场上原有的草量是固定不变的，长草量即每单位时间草的生长速度，一般假设是X，天数泛指时间，小时、天、年等；3. 这里存在一个重要的识别特征，当考生看
13、到“假设用12个注水管注水，9小时可注满水池，假设用9 个注水管，24小时可注满水，现在用8 个注水管注水，那么可用多少小时注满水池？等类似排比句的出现时，直接代入牛吃草问题公式，原有草量=牛数-变量时间，且注意牛吃草速度“1及变量X 的变化形式。【例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，那么它可供多少头牛吃4天？A.20 C.30 【例3】有一池泉水，泉底均匀不断的涌出泉水，如果用8台抽水机10小时能把全池的水抽干，或者用12台抽水机6小时能把全池的水抽干。如果用14 台抽水机把全池水抽干那么需要的时间是？A.5 小时 B.4 小时 C.3 小时 D.5.5 小时混合稀释型
14、工程问题发车间隔前后过车类似等距离平均公式、加权平均第N次相遇等距离平均公式与等发车间隔，前后过车植树装路灯型做数列1、先观察5秒有没有各种规律；2、没有发现就做差，而且要做两次差以上才能放弃或另想；50%做差；其他变式、倍比、修正数列，奇偶偶叫葵花宝典，把偶贴在床头吧，每天入睡之前大声朗读一遍，你就可以睡觉了，且专治各种健忘、失眠症。数字推理一、当一列数中出现几个整数，而只有一两个分数而且是几分之一的时候，这列数往往是负幂次数列。【例】1、4、3、1、1/5、1/36、 二、当一列数几乎都是分数时 ，它根本就是分式数列，我们要注意观察分式数列的分子、分母是一直递增、递减或者不变，并以此为依据
15、找到突破口，通过“约分、“反约分实现分子、分母的各自成规律。【例】、4、( )A. B.8 C.16 三、当一列数比拟长、数字大小比拟接近、有时有两个括号时，往往是间隔数列或分组数列。【例】33、32、34、31、35、30、36、29、 A. 33 B. 37 C. 39 D. 41四、在数字推理中，当题干与选项都是个位数，且大小变动不稳定时，往往是取尾数列。取尾数列一般具有相加取尾、相乘取尾两种形式。【例】6、7、3、0、3、3、6、9、5、 A.4 C.2 五、当一列数都是几十、几百或者几千的“清一色整数，且大小变动不稳定时，往往是及数位有关的数列。【例】448、516、639、347、
16、178、( )A.163 B.134 六、幂次数列的本质特征是：底数与指数各自成规律，然后再加减修正系数。对于幂次数列，考生要建立起足够的幂数敏感性，当数列中出现6？、12？、14？、21？、25？、34？、51？、312？，就优先考虑、()、。【例】0、9、26、65、124、( )A. 165 B. 193 C. 217 D. 239七、在递推数列中，当数列选项没有明显特征时，考生要注意观察题干数字间的倍数关系，往往是一项推一项的倍数递推。【例】118、60、32、20、( )A.10 B.16 C.18 八、如果数列的题干与选项都是整数且数字波动不大时，不存在其它明显特征时，优先考虑做差
17、多级数列，其次是倍数递推数列，往往是两项推一项的倍数递推。【例】0、6、24、60、120、 A.180 B.210 九、当题干与选项都是整数，且数字大小波动很大时，往往是两项推一项的乘法或者乘方的递推数列。【例】3、7、16、107、 ( ) B.1704 C.1086 十、当数列选项中有两个整数、两个小数时，答案往往是小数，且一般是通过乘除来实现的。当然如果出现了两个正数、两个负数诸如此类的标准配置时，答案也是负数。【例】2、13、40、61、 B.82 十一、数字推理如果没有任何线索的话，记得要选择相对其他比拟特殊的选项，譬如：正负关系、整分关系等等。【例】2、7、14、21、294、
18、B.35 C.273 十二、小数数列是整数及小数局部各自呈现规律，日期数列是年、月、日各自呈现规律，且注意临界点月份的28、29、30 或31天。【例】、( )C. 7.12 十三、对于图形数列，三角形、正方形、圆形等其本质都是一样的，其运算法那么：加、减、乘、除、倍数与乘方。三角形数列的规律主要是：中间=左角+右角-上角N、中间=左角-右角上角；圆圈推理与正方形推理的运算顺序是：先观察对角线成规律，然后再观察上下半部与左右半部成规律；九宫格那么是每行或每列成规律。数学运算十四、注意数字组合、逆推复原等问题中“直接代入法的应用。【例】一个三位数，各位上的数的与是15，百位上的数及个位上的数的差
19、是5，如颠倒百位及个位上的数的位置，那么所成的新数是原数的3倍少39。求这个三位数？A. 196 B. 348 C. 267 D. 429十五、注意数学运算中命题人的根本逻辑，优先考虑是否可以排除局部干扰选项，尤其要注意正确答案往往在相似选项中。【例】两个一样的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精及水的体积比是31，另一个瓶子中酒精及水的体积比是41，假设把两瓶酒精溶液混合，那么混合后的酒精与水的体积之比是多少？9 2 40 11十六、当题目中出现几比几、几分之几等分数时，谨记倍数关系的应用，关键是：前面的数是分子的倍数，后面的数是分母的倍数。譬如：A=B，那么前面的数A是分子的倍数即5的倍数，后
20、面的数B是分母的倍数即13的倍数，A及B的与A+B那么是5+13=18的倍数，A及B的差A-B那么是13-5=8的倍数。【例】某城市共有四个区，甲区人口数是全城的，乙区的人口数是甲区的，丙区人口数是前两区人口数的，丁区比丙区多4000 人，全城共有人口多少万？ 万 B.15.6 万 C.21.8 万 D.22.3 万十七、当题目中出现了好几次比例的变化时，记得特例法的应用。如果是加水，那么溶液是稀释的，且减少幅度是递减的；如果是蒸发水，那么溶液是变浓的，且增加幅度是递增的。【例】一杯糖水，第一次参加一定量的水后，糖水的含糖百分比变为15；第二次又参加同样多的水，糖水的含糖百分变比为12；第三次
21、再参加同样多的水，糖水的含糖百分比将变为多少？十八、当数学运算题目中出现了甲、乙、丙、丁的“多角关系时，往往是方程整体代换思想的应用。对于不定方程，我们可以假设其中一个比拟复杂的未知数等于0，使不定方程转化为定方程，那么方程可解。【例】甲、乙、丙、丁四人做纸花，甲、乙、丙三人平均每人做了37 朵，乙、丙、丁三人平均每人做了39朵，丁做了41朵，问甲做了多少朵？A.35 朵 B.36 朵 C.37 朵 D.38 朵十九、注意余数相关问题，余数的范围0余数除数及同余问题的核心口诀，“余同加余，与同加与，差同减差，除数的最小公倍数作周期。【例】自然数P满足以下条件：P除以10 的余数为9，P除以9
22、的余数为8，P除以8 的余数为7。如果：100P1000，那么这样的P有几个A.不存在 B.1 个 C.2 个 D.3 个二十、在工程问题中，要注意特例法的应用，当出现了甲、乙、丙轮班工作现象时，假设甲、乙、丙同时工作，找到将完成工程总量的临界点。【例】完成某项工程，甲单独工作需要18小时，乙需要24 小时，丙需要30小时。现按甲、乙、丙的顺序轮班工作，每人工作一小时换班。当工程完工时，乙总共干了多少小时？A.8 小时 B.7 小时44 分 C.7 小时 D.6 小时48 分二十一、当出现两种比例混合为总体比例时，注意十字穿插法的应用，且注意分母的一致性，谨记减完后的差之比是原来的质量人数之比
23、。【例】某市现有70万人口，如果5年后城镇人口增加4，农村人口增加，那么全市人口将增加，那么这个市现有城镇人口多少万？A.30 万 B.31.2 万 C.40 万 D.41.6 万二十二、重点掌握行程问题中的追及及相遇公式，相遇时间= 追及时间=；环形运动中的：异向而行的 同向而行的钟面问题的。【例】甲、乙二人同时从A 地去B 地，甲每分钟行60米，乙每分钟行90 米，乙到达B 地后立即返回，并及甲相遇，相遇时，甲还需行3 分钟才能到达B 地，问A、B 两地相距多少米？A.1350 米 B.1080 米 米 D.720 米二十三、流水行船问题中谨记两个公式，船速= 水速=。【例】一只船沿河顺水
24、而行的航速为30 千米/小时，按同样的航速在该河上顺水航行3小时与逆水航行5 小时的航程相等，那么此船在该河上顺水漂流半小时的航程为？A. 1 千米 B. 2千米 C. 3 千米 D. 6 千米二十四、题目所提问题中出现“最多、“最少、“至少等字眼时，往往是构造类与抽屉原理的考核，注意条件限制及最不利原那么的应用。【例】四年级一班选班长，每人投票从甲、乙、丙三个候选人中选一人，全班共有52人，并且在计票过程中的某一时刻，甲得到17 票，乙得到16 票，丙得到11 票。如果得票最多的候选人将成为班长，甲最少得多少张票就能够保证中选？A.1 张 B.2 张 张 张二十五、在排列组合问题中，排列、组
25、合公式的熟练，及分类加法原理及分步乘法原理思想的应用。并同概率问题联系起来，总体概率满足条件的各种情况概率之与，分步概率满足条件的每个步骤概率之积。【例】盒中有4 个白球6 个红球，无放回地每次抽取1 个，那么第二次取到白球的概率是？A. B. C. D. 二十六、重点掌握容斥原理，两个集合容斥用公式：满足条件1的个数+满足条件2的个数-两个都满足的个数=总个数-两个都不满足的个数，并注意两个集合容斥的倍数应用变形。三个集合容斥文字型题目用画图解决， 三个图形容斥用公式解决：。二十七、注意“多1、“少1问题的融会贯穿，数数问题、爬楼梯问题、乘电梯问题、植问题、截钢筋问题等。【例】把一根钢管锯成
26、5 段需要8 分钟，如果把同样的钢管锯成20 段需要多少分钟A.32 分钟分钟分钟分钟二十八、注意几何问题中的一些关键结论，两边之与大于第三边，两边之差小于第三边；周长一样的平面图形中，圆的面积最大；外表积一样的立体图形中，球的体积最大；无论是堆放正方体还是挖正方体，堆放或者挖一次都是多四个侧面；另外谨记“切一刀多两面。【例】假设一个边长为20厘米的正方体外表上挖一个边长为10 厘米的正方体洞，问大正方体的外表积增加了多少？二十九、看到“假设用12 个注水管注水，9 小时可注满水池，假设用9 个注水管，24 小时可注满水，现在用8 个注水管注水，那么可用多少小时注满水池？等类似排比句的出现，直
27、接代入牛吃草问题公式，原有量=牛数-变量时间，且注意牛吃草量“1及变量X的变化形式。【例】在春运顶峰时，某客运中心售票大厅站满等待买票的旅客，为保证售票大厅的旅客平安，大厅入口处旅客排队以等速度进入大厅按次序等待买票，买好票的旅客及时离开大厅。按照这种安排，如果开10 个售票窗口，5小时可使大厅内所有旅客买到票；如果开12 个售票窗口，3 小时可使大厅内所有旅客买到票，假设每个窗口售票速度一样。由于售票大厅入口处旅客速度增加到原速度的1.5 倍，为了在2 小时内使大厅中所有旅客买到票，按这样的安排至少应开售票窗口数为多少个？A.15 B.16 C.18 三十、记住这些好用的公式吧：裂项相加的。日期问题的“一年就是一、闰日再加一加二。等差数列的An=A1+n-1d，Sn=。剪绳子问题的。方阵问题的最外层人数=4N-1；方阵总人数=NN。年龄问题的五条核心法那么。翻硬币问题：NN 必须为偶数枚硬币，每次同时翻转其中N-1 枚，至少需要N 次才能使其完全改变状态；当N为奇数时，每次同时翻转其中偶数枚硬币，无论如何翻转都不能使其完全改变状态。拆数问题：只能拆成2与3，而且要尽可能多的拆成3，2的个数不多于两个。换瓶子问题的，所换新瓶数=。第 13 页