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1、等腰三角形典型例题练习等腰三角形典型例题练习一选择题共2小题1如图，C=90，AD平分BAC交BC于D，假设BC=5cm，BD=3cm，那么点D到AB的距离为A5cmB3cmC2cmD不能确定2如图，C是线段AB上的任意一点端点除外，分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边ACD与等边BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N给出以下三个结论：AE=BDCN=CMMNAB其中正确结论的个数是A0B1C2D3二填空题共1小题3如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DEAC，EFAB，FDBC，那么DEF的面积及ABC的面积之比等于_三解答题共15小题4在ABC
2、中，AD是BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且EDF+EAF=180，求证DE=DF5在ABC中，ABC、ACB的平分线相交于点O，过点O作DEBC，分别交AB、AC于点D、E请说明DE=BD+EC6：如图，D是ABC的BC边上的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，且DE=DF请判断ABC是什么三角形？并说明理由7如图，ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD连接DE1E等于多少度？2DBE是什么三角形？为什么？8如图，在ABC中，ACB=90，CD是AB边上的高，A=30求证：AB=4BD9如图，ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延
3、长线上，且BD=CE，DE及BC相交于点F求证：DF=EF10等腰直角三角形ABC，BC是斜边B的角平分线交AC于D，过C作CE及BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE112021牡丹江如图，ABC中AB=AC，P为底边BC上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为E、F、H易证PE+PF=CH证明过程如下：如图，连接APPEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH又SABP+SACP=SABC，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH1如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写
4、出你的猜测，并加以证明：2填空：假设A=30，ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，那么AB边上的高CH=_点P到AB边的距离PE=_12数学课上，李教师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE及DB的大小关系，并说明理由小敏及同桌小聪讨论后，进展了如下解答：1特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE及DB的大小关系，请你直接写出结论：AE_DB填“，“或“= 2特例启发，解答题目解：题目中，AE及DB的大小关系是：AE_DB填“，“或“=理由如下：如图2，过点
5、E作EFBC，交AC于点F请你完成以下解答过程3拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC假设ABC的边长为1，AE=2，求CD的长请你直接写出结果13：如图，AF平分BAC，BCAF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M假设BAC=2MPC，请你判断F及MCD的数量关系，并说明理由14如图，ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD及BE相交于点F1线段AD及BE有什么关系？试证明你的结论2求BFD的度数15如图，在ABC中，AB=BC，ABC=90，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE
6、=BF，连接AE、EF与CF，求证：AE=CF16：如图，在OAB中，AOB=90，OA=OB，在EOF中，EOF=90，OE=OF，连接AE、BF问线段AE及BF之间有什么关系？请说明理由172006郴州如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高1DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；2假设D在底边的延长线上，1中的结论还成立吗？假设不成立，又存在怎样的关系？请说明理由18如图甲所示，在ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，那么P点到两腰的距离之与等于定长腰上的高，即PD+PE=CF，假设P
7、点在BC的延长线上，那么请你猜测PD、PE与CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜测并加以证明等腰三角形典型例题练习参考答案及试题解析一选择题共2小题1如图，C=90，AD平分BAC交BC于D，假设BC=5cm，BD=3cm，那么点D到AB的距离为A5cmB3cmC2cmD不能确定考点：角平分线的性质分析：由条件进展思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD的长，问题可解解答：解：C=90，AD平分BAC交BC于DD到AB的距离即为CD长CD=53=2应选C2如图，C是线段AB上的任意一点端点除外，分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边ACD与等边BCE，连
8、接AE交CD于M，连接BD交CE于N给出以下三个结论：AE=BDCN=CMMNAB其中正确结论的个数是A0B1C2D3考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定及性质；等边三角形的性质分析：由ACD与BCE是等边三角形，根据SAS易证得ACEDCB，即可得正确；由ACEDCB，可得EAC=NDC，又由ACD=MCN=60，利用ASA，可证得ACMDCN，即可得正确；又可证得CMN是等边三角形，即可证得正确解答：解：ACD与BCE是等边三角形，ACD=BCE=60，AC=DC，EC=BC，ACD+DCE=DCE+ECB，即ACE=DCB，ACEDCBSAS，AE=BD，故正确；EAC=NDC，A
9、CD=BCE=60，DCE=60，ACD=MCN=60，AC=DC，ACMDCNASA，CM=CN，故正确；又MCN=180MCANCB=1806060=60，CMN是等边三角形，NMC=ACD=60，MNAB，故正确应选D二填空题共1小题3如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DEAC，EFAB，FDBC，那么DEF的面积及ABC的面积之比等于1：3考点：相似三角形的判定及性质；全等三角形的判定及性质；等边三角形的性质分析：首先根据题意求得：DFE=FED=EDF=60，即可证得DEF是正三角形，又由直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求
10、得DF：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果解答：解：ABC是正三角形，B=C=A=60，DEAC，EFAB，FDBC，AFE=CED=BDF=90，BFD=CDE=AEF=30，DFE=FED=EDF=60，DEF是正三角形，BD：DF=1：，BD：AB=1：3，DEFABC，=，DF：AB=1：，DEF的面积及ABC的面积之比等于1：3故答案为：1：3三解答题共15小题4在ABC中，AD是BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且EDF+EAF=180，求证DE=DF考点：全等三角形的判定及性质；角平分线的定义分析：过D作DMAB，于M，DNAC于N，根据
11、角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的内角与定理与平角定义求出AED=CFD，根据全等三角形的判定AAS推出EMDFND即可解答：证明：过D作DMAB，于M，DNAC于N，即EMD=FND=90，AD平分BAC，DMAB，DNAC，DM=DN角平分线性质，DME=DNF=90，EAF+EDF=180，MED+AFD=360180=180，AFD+NFD=180，MED=NFD，在EMD与FND中，EMDFND，DE=DF5在ABC中，ABC、ACB的平分线相交于点O，过点O作DEBC，分别交AB、AC于点D、E请说明DE=BD+EC考点：等腰三角形的判定及性质；平行线的性质分析：根据OB与O
12、C分别平分ABC与ACB，与DEBC，利用两直线平行，内错角相等与等量代换，求证出DB=DO，OE=EC然后即可得出答案解答：解：在ABC中，OB与OC分别平分ABC与ACB，DBO=OBC，ECO=OCB，DEBC，DOB=OBC=DBO，EOC=OCB=ECO，DB=DO，OE=EC，DE=DO+OE，DE=BD+EC6：如图，D是ABC的BC边上的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，且DE=DF请判断ABC是什么三角形？并说明理由考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定及性质分析：用HL证明EBDFCD，从而得出EBD=FCD，即可证明ABC是等腰三角形解答：ABC是等腰三角形证
13、明：连接AD，DEAB，DFAC，BED=CFD=90，且DE=DF，D是ABC的BC边上的中点，BD=DC，RtEBDRtFCDHL，EBD=FCD，ABC是等腰三角形7如图，ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD连接DE1E等于多少度？2DBE是什么三角形？为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定分析：1由题意可推出ACB=60，E=CDE，然后根据三角形外角的性质可知：ACB=E+CDE，即可推出E的度数；2根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是ABC的角平分线，即得：DBC=30，然后再结合1中求得的结论，即可推出DBE是等腰三角形解
14、答：解：1ABC是等边三角形，ACB=60，CD=CE，E=CDE，ACB=E+CDE，2ABC是等边三角形，BDAC，ABC=60，E=30，DBC=E，DBE是等腰三角形8如图，在ABC中，ACB=90，CD是AB边上的高，A=30求证：AB=4BD考点：含30度角的直角三角形分析：由ABC中，ACB=90，A=30可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，那么结论即可证明解答：解：ACB=90，A=30，AB=2BC，B=60又CDAB，DCB=30，BC=2BDAB=2BC=4BD9如图，ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE及BC相交于点F求证
15、：DF=EF考点：全等三角形的判定及性质；等腰三角形的性质分析：过D点作DGAE交BC于G点，由平行线的性质得1=2，4=3，再根据等腰三角形的性质可得B=2，那么B=1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得DFGEFC，即可得到结论解答：证明：过D点作DGAE交BC于G点，如图，1=2，4=3，AB=AC，B=2，B=1，DB=DG，而BD=CE，DG=CE，在DFG与EFC中，DFGEFC，DF=EF10等腰直角三角形ABC，BC是斜边B的角平分线交AC于D，过C作CE及BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE考点：全等三角形的判定及性质分析：延长CE，BA交于一点F，由条件可
16、证得BFE全BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明ADBFAC可得FC=BD，所以BD=2CE解答：证明：如图，分别延长CE，BA交于一点FBEEC，FEB=CEB=90，BE平分ABC，FBE=CBE，又BE=BE，BFEBCE ASAFE=CECF=2CEAB=AC，BAC=90，ABD+ADB=90，ADB=EDC，ABD+EDC=90又DEC=90，EDC+ECD=90，FCA=DBC=ABDADBAFCFC=DB，BD=2EC112021牡丹江如图，ABC中AB=AC，P为底边BC上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为E、F、H易证PE+PF=CH证明过程如下：
17、如图，连接APPEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH又SABP+SACP=SABC，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH1如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并加以证明：2填空：假设A=30，ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，那么AB边上的高CH=7点P到AB边的距离PE=4或10考点：等腰三角形的性质；三角形的面积分析：1连接AP先根据三角形的面积公式分别表示出SABP，SACP，SABC，再由SABP=SACP+SA
18、BC即可得出PE=PF+PH；2先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由ABC的面积为49，求出CH=7，由于CHPF，那么可分两种情况进展讨论：P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH解答：解：1如图，PE=PF+CH证明如下：PEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH，SABP=SACP+SABC，ABPE=ACPF+ABCH，又AB=AC，PE=PF+CH；2在ACH中，A=30，AC=2CHSABC=ABCH，AB=AC，2CHCH=49，CH=7分两种情况：P为底边BC上一点，如图
19、PE+PF=CH，PE=CHPF=73=4；P为BC延长线上的点时，如图PE=PF+CH，PE=3+7=10故答案为7；4或1012数学课上，李教师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE及DB的大小关系，并说明理由小敏及同桌小聪讨论后，进展了如下解答：1特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE及DB的大小关系，请你直接写出结论：AE=DB填“，“或“= 2特例启发，解答题目解：题目中，AE及DB的大小关系是：AE=DB填“，“或“=理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F请你完成以下解答过程3
20、拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC假设ABC的边长为1，AE=2，求CD的长请你直接写出结果考点：等边三角形的判定及性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定及性质；等腰三角形的性质分析：1根据等边三角形性质与等腰三角形的性质求出D=ECB=30，求出DEB=30，求出BD=BE即可；2过E作EFBC交AC于F，求出等边三角形AEF，证DEB与ECF全等，求出BD=EF即可；3当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由2求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1解答：解：1故答案为：=2过E作EFBC交AC于F
21、，等边三角形ABC，ABC=ACB=A=60，AB=AC=BC，AEF=ABC=60，AFE=ACB=60，即AEF=AFE=A=60，AEF是等边三角形，AE=EF=AF，ABC=ACB=AFE=60，DBE=EFC=120，D+BED=FCE+ECD=60，DE=EC，D=ECD，BED=ECF，在DEB与ECF中，DEBECF，BD=EF=AE，即AE=BD，故答案为：=3解：CD=1或3，理由是：分为两种情况：如图1过A作AMBC于M，过E作ENBC于N，那么AMEM，ABC是等边三角形，AB=BC=AC=1，AMBC，BM=CM=BC=，DE=CE，ENBC，CD=2CN，AMEN，
22、AMBENB，=，=，BN=，CN=1+=，CD=2CN=3；如图2，作AMBC于M，过E作ENBC于N，那么AMEM，ABC是等边三角形，AB=BC=AC=1，AMBC，BM=CM=BC=，DE=CE，ENBC，CD=2CN，AMEN，=，=，MN=1，CN=1=，CD=2CN=113：如图，AF平分BAC，BCAF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M假设BAC=2MPC，请你判断F及MCD的数量关系，并说明理由考点：全等三角形的判定及性质；等腰三角形的性质分析：根据全等三角形的性质与判定与线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出CDA=CAD=CPM，求
23、出MPF=CDM，PMF=BMA=CMD，在DCM与PMF中根据三角形的内角与定理求出即可解答：解：F=MCD，理由是：AF平分BAC，BCAF，CAE=BAE，AEC=AEB=90，在ACE与ABE中，ACEABEASAAB=AC，CAE=CDEAM是BC的垂直平分线，CM=BM，CE=BE，CMA=BMA，AE=ED，CEAD，AC=CD，CAD=CDA，BAC=2MPC，又BAC=2CAD，MPC=CAD，MPC=CDA，MPF=CDM，MPF=CDM等角的补角相等，DCM+CMD+CDM=180，F+MPF+PMF=180，又PMF=BMA=CMD，MCD=F14如图，ABC是等边三角
24、形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD及BE相交于点F1线段AD及BE有什么关系？试证明你的结论2求BFD的度数考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质分析：1根据等边三角形的性质可知BAC=C=60，AB=CA，结合AE=CD，可证明ABECAD，从而证得结论；2根据BFD=ABE+BAD，ABE=CAD，可知BFD=CAD+BAD=BAC=60解答：1证明：ABC为等边三角形，BAC=C=60，AB=CA在ABE与CAD中，ABECADAD=BE2解：BFD=ABE+BAD，又ABECAD，ABE=CADBFD=CAD+BAD=BAC=6015如图，在ABC中，AB=B
25、C，ABC=90，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF与CF，求证：AE=CF考点：全等三角形的判定及性质分析：根据利用SAS即可判定ABECBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF解答：证明：ABC=90，ABE=CBF=90，又AB=BC，BE=BF，ABECBFSASAE=CF16：如图，在OAB中，AOB=90，OA=OB，在EOF中，EOF=90，OE=OF，连接AE、BF问线段AE及BF之间有什么关系？请说明理由考点：全等三角形的判定及性质；等腰直角三角形分析：可以把要证明相等的线段AE，CF放到AEO，BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角
26、形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去BOE的结果，当然相等了，由此可以证明AEOBFO；延长BF交AE于D，交OA于C，可证明BDA=AOB=90，那么AEBF解答：解：AE及BF相等且垂直，理由：在AEO及BFO中，RtOAB及RtOEF等腰直角三角形，AO=OB，OE=OF，AOE=90BOE=BOF，AEOBFO，AE=BF延长BF交AE于D，交OA于C，那么ACD=BCO，由1知OAE=OBF，BDA=AOB=90，AEBF172006郴州如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高1DE
27、，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；2假设D在底边的延长线上，1中的结论还成立吗？假设不成立，又存在怎样的关系？请说明理由考点：等腰三角形的性质分析：1连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进展分析证明；2类似1的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积三角形ACD的面积解答：解：1DE+DF=CG证明：连接AD，那么SABC=SABD+SACD，即ABCG=ABDE+ACDF，AB=AC，CG=DE+DF2当点D在BC延长线上时，1中的结论不成立，但有DEDF=CG理由：连接AD，那么SABD
28、=SABC+SACD，即ABDE=ABCG+ACDFAB=AC，DE=CG+DF，即DEDF=CG同理当D点在CB的延长线上时，那么有DEDF=CG，说明方法同上18如图甲所示，在ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，那么P点到两腰的距离之与等于定长腰上的高，即PD+PE=CF，假设P点在BC的延长线上，那么请你猜测PD、PE与CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜测并加以证明考点：等腰三角形的性质；三角形的面积分析：猜测：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF根据SPAB=ABPD，SPAC=ACPE，SCAB=ABCF，SPAC=ACPE，ABPD=ABCF+ACPE，即可求证解答：解：我的猜测是：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF理由如下：连接AP，那么SPAC+SCAB=SPAB，SPAB=ABPD，SPAC=ACPE，SCAB=ABCF，又AB=AC，SPAC=ABPE，ABPD=ABCF+ABPE，即ABPE+CF=ABPD，PD=PE+CF第 20 页