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1、高中数学专题训练曲边梯形的面积与定积分 曲边梯形的面积与定积分【知识网络】1了解定积分的实际背景。2初步了解定积分的概念，并能根据定积分的意义计算简单的定积分。【典型例题】例1（1）已知和式当n+时，无限趋近于一个常数A，则A可用定积分表示为（）AB C D（2）下列定积分为1是（）A B C D（3）求由围成的曲边梯形的面积时，若选择为积分变量，则积分区间为（）A0，B0，2 C1，2D0，1（4）由y=cosx及x轴围成的介于0与2之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 （5）计算= 。 例2利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？（1）； （2）； （3）利用定积分的几何意义
2、，比较下列定积分的大小 例3计算下列定积分：例4 利用定积分表示图中四个图形的面积：xOay = x2 l (1)xO21y = x2 (2)yyy=(x-1)2 -1Ox12(3)xabOl y = 1(4)yy 【课内练习】1下列定积分值为1的是（）AB。C。D。2=（）A0B。CD。3设连续函数f(x)0，则当ab时，定积分的符号（ ）A一定是正的B当0ab时为正，当ab0时为负C一定是负的D当0ab时为负，当ab0时为正4由直线，及轴所围成平面图形的面积为（）AB。CD。5和式当n+时，无限趋近于一个常数A，则A用定积分可表示为 。6曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为7计算曲边三
3、角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。试用该方法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x2所围成的曲边三角形的面积。（下列公式可供使用：12+22+n2=）8求由曲线与所围的图形的面积.9计算，其中,10弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是正的常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所做的功。 曲边梯形的面积与定积分A组1若是上的连续偶函数，则 （）AB0CD2变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为，则当秒末它所在的位置为（）ABCD3由直线，及轴所围成平面图形的面积为（）ABCD4设且，给出下列结论：A0；B0；其中所有正确的结
4、论有 。5设函数f (x)的图象与直线x =a, x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在a，b上的面积。已知函数ysinnx在0，（nN*）上的面积为。ysin3x在0,上的面积为 ；ysin（3x）1在，上的面积为 。6求由曲线与所围的图形的面积。7试根据定积分的定义说明下列两个事实：8物体按规律（m）作直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10（m/s）时阻力为2（N），求物体从x=0到x=2阻力所做的功的积分表达式 曲边梯形的面积与定积分B组1如果1kg力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，则力所作的功为（）A0.18kgmB0.26kgmC0.12kgmD0.28
5、kgm2已知ba，下列值：，|的大小关系为（）A|B。|C= |=D= |3若与是上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x=a, x=b所围图形的面积（）ABCD4给出下列命题：若0，ba，则f(x)0；若f(x)0，ba，则0；若=0，ba，则f(x)=0；若f(x)=0，ba，则=0；若=0，ba，则f(x)=0。其中所有正确命题的序号为 。5给出下列定积分：其中为负值的有 。6求由曲线所围图形的面积。7计算：。8试问下面的结论是否成立？若函数f(x)在区间a，b上是单调增函数，则若成立，请证明之；若不成立，请说明理由。参考答案 曲边梯形的面积与定积分【典型例题】例1（1）B（2）C3B。
6、（4）或。（5）。提示：这是求单位圆落在第一象限内部分的面积。 例2（1）正 (2)正 (3)负。 例3 (1)； (2) ；(3)0 ；(4)0。 例4 (1) ； (2) ； (3) ；(4) 【课内练习】1C。2A。提示：被积函数为奇函数，且积分区间又关于原点对称，利用定积分的几何意义知，面积的代数和为0。3A。4C。5。6。7。提示：请参看教材P4244。86。96。10可用“分割；以直代曲；作和；逼近”求得：。 曲边梯形的面积与定积分A组1C。2B。3C。4。5；。6。7定积分的定义实质反映了计算的过程，也就是：分割；以直代曲；作和；逼近。可尝试用这四步进行说明或证明。8变力作功公式中，F(x)是用x表示的，而此题中只有x对t的关系式，故首先将F表示出来依题意得：Fkv，但这不是x的函数，应将v用x表示v=x=8t，而， 另外，此题F是与物体运动方向相反的，B组1A。2B。3A。4。5。6。72。提示：问题即求上半圆的面积。8结论成立。说明可按照定积分的定义进行。第 9 页