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1、高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1向量a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，若a与b共线，则()Ax1，y1Bx，yCx，y Dx，y解析由ab知，ab，2x，12y,39，x，y.答案C2已知a(3,2,5)，b(1，x，1)，且ab2，则x的值是()A6 B5C4 D3解析ab32x52，x5.答案B3设l1的方向向量为a(1,2，2)，l2的方向向量为b(2,3，m)，若l1l2，则实数m的值为()A3 B2C1 D.解析l
2、1l2，ab，ab0，262m0，m2.答案B4若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析ab|a|b|cosa，b，而ab|a|b|.cosa，b1，a，b0.a与b共线反之，若a与b共线，也可能ab|a|b|，因此应选B.答案B5在ABC中，c，b.若点D满足2，则()A.bc B.cbC.bc D.bc解析如图，()cb.答案A6已知a，b，c是空间的一个基底，设pab，qab，则下列向量中可以与p，q一起构成空间的另一个基底的是()Aa BbCc D以上都不对解析a，b，c不共面，ab，ab，c不共面
3、，p，q，c可构成空间的一个基底答案C7已知ABC的三个顶点A(3,3,2)，B(4，3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为()A2 B3C. D.解析BC的中点D的坐标为(2,1,4)，(1，2,2)|3.答案B8与向量a(2,3,6)共线的单位向量是()A(，)B(，)C(，)和(，)D(，)和(，)解析|a|7，与a共线的单位向量是(2,3,6)，故应选D.答案D9已知向量a(2,4，x)，b(2，y,2)，若|a|6且ab，则xy为()A3或1 B3或1C3 D1解析由|a|6，ab，得解得或xy1，或3.答案A10已知a(x,2,0)，b(3,2x，x2)，且a与b的夹角为
4、钝角，则实数x的取值范围是()Ax4 Bx4C0x4 D4x0.解析a，b为钝角，ab|a|b|cosa，b0，即3x2(2x)0，x4.答案B11已知空间四个点A(1,1,1)，B(4,0,2)，C(3，1，0)，D(1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为()A30 B45C60 D90解析设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)，(5，1,1)，(4，2，1)，由n0及n0，得令z1，得x，y，n(，1)又(2，1,3)，设AD与平面ABC所成的角为，则sin，30.答案A12已知二面角l的大小为50，P为空间中任意一点，则过点P且与平面和平面所成的角都是25的直线的条数为()A
5、2 B3C4 D5解析过点P分别作平面，的垂线l1和l2，则l1与l2所成的角为130或50，问题转化为过点P与直线l1，l2成65角的直线有几条，与l1，l2共面的有一条，不共面的有2条因此，共有3条答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填在题中横线上)13已知i，j，k为单位正交基底，且aij3k，b2i3j2k，则向量ab与向量a2b的坐标分别是_；_.解析依题意知，a(1,1,3)，b(2，3，2)，则ab(1，2,1)，a2b(1,1,3)2(2，3，2)(5,7,7)答案(1，2,1)(5,7,7)14在ABC中，已知(2,4,0)，(1,3,0)，则ABC
6、_.解析cos，ABC.答案15正方体ABCDA1B1C1D1中，面ABD1与面B1BD1所夹角的大小为_解析建立空间直角坐标系Dxyz，如图设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)(1,0，1)，(1,1，1)，(1,1,0)设平面ABD1的法向量为m(x1，y1，z1)，平面B1BD1的法向量为n(x2，y2，z2)，则由m0，m0，可得m(1,0,1)，由n0，nD1B10，得n(1，1,0)，cosm，n.所求二平面的大小为60.答案6016在下列命题中：若a，b共线，则a，b所在的直线平行；若a，b所在的直线是异面直线，则a，b
7、一定不共面；若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面；已知三向量a，b，c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc，其中不正确的命题为_解析a，b共线，包括a与b重合，所以错空间任意两个向量均共面，所以错以空间向量的一组基底a，b，c为例，知它们两两共面，但它们三个不共面，所以错当与a，b，c共面时，不成立，所以错答案三、解答题(本大题共6小题，满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)如图，空间四边形OABC中，E，F分别为OA，BC的中点，设a，b，c，试用a，b，c表示.解()abc.18(12分)设a12ijk，a2i3j2k，a
8、32ij3k，a43i2j5k，试问是否存在实数a，b，c使a4aa1ba2ca3成立？如果存在，求出a，b，c的值；如果不存在，请说明理由解假设a4aa1ba2ca3成立由已知a1(2，1,1)，a2(1,3，2)，a3(2,1，3)，a4(3,2,5)，可得(2ab2c，a3bc，a2b3c)(3,2,5)解得：a2，b1，c3.故有a42a1a23a3.综上知，满足题意的实数存在，且a2，b1，c3.19(12分)四棱柱ABCDABCD中，AB5，AD3，AA7，BAD60，BAADAA45，求AC的长解，()2()22222()259492(53cos6057cos4537cos45)
9、9856.|，即AC的长为.20(12分)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB2，PC与平面ABCD所成角是45，F是AD的中点，M是PC的中点求证：DM平面PFB.证明以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由PC与平面ABCD所成的角为45，即PCD45，得PD2，则P(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，F(1,0,0)，D(0,0,0)，M(0,1,1)，(1,2,0)，(1,0,2)，(0,1,1)设平面PFB的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则x2，z1.故平面PFB的一个法向量为n(2,1，1)n0，n.又DM平面PFB，则DM平面PFB.21(
10、12分)如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点E在C1C上，且C1E3EC.(1)证明A1C平面BED；(2)求二面角A1DEB的余弦值解以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.依题设B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)(0,2,1)，(2,2,0)，(2,2，4)，(2,0,4)(1)0，0，A1CBD，A1CDE.又DBDED，A1C平面DBE.(2)设向量n(x，y，z)是平面DA1E的法向量，则n、n.2yz0,2x4z0.令y1，则z2，x4，n(4,1，2)cosn，.n，等于二面角A1
11、DEB的平面角，二面角A1DEB的余弦值为.22(12分)正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点(1)证明：平面AED平面A1FD1；(2)在AE上求一点M，使得A1M平面DAE.解(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)设平面AED的法向量为n1(x1，y1，z1)，则令y11，得n1(0,1，2)同理可得平面A1FD1的法向量n2(0,2,1)n1n20，平面AED平面A1FD1.(2)由于点M在AE上，可设(0,2,1)(0,2，)，可得M(2,2，)，于是(0,2，2)要使A1M平面DAE，需A1MAE，(0,2，2)(0,2,1)520，得.故当AMAE时，即点M坐标为(2，)时，A1M平面DAE.第 - 11 - 页