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1、高三复习提纲平面向量一、常用结论（一）向量的几何运算1、（M为AB中点）2、数量积：，在方向上的投影=3、不等关系：； （二）平面向量的坐标运算1、；2、；3、；4、若，则（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；二、对向量夹角的考查（）OAB1、记号：=；2、范围：，；3、只有非零向量才有夹角概念；作角时两向量必须共起点；4、.5、为直角：；6、为锐角：；7、为钝角： 范例解析1、已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b和c；(2)若m2ab，nac，求向量m与向量n的夹角的大小2、已知a(1,3)，b(1,1)，cab，若a和c的夹角是锐
2、角，则的取值范围是()A. B. C0 D.(0，)3、已知a(1,0)，b(0,1)，当k为整数时，向量mkab与nakb的夹角能否为60？证明你的结论三、对向量的模的考查：1、；2、若，则；3、的含义范例解析4、已知均为单位向量，那么若，则_.5、设为单位向量,非零向量,若的夹角为， 则的最大值等于_.6、在ABC中，若对任意kR，有|k|，则ABC的形状是( )A等腰三角形B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形7、在平面斜坐标系xOy中，xOy45，点P的斜坐标定义为“若x0e1y0e2(其中e1，e2分别为与斜坐标系的x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的坐标为(x0，
3、y0)”若F1(1,0)，F2(1,0)，且动点M(x，y)满足|，则点M在斜坐标系中的轨迹方程为()Axy0 Bxy0C.xy0 D.xy08、已知向量(cos ，sin )(0)，(sin ，cos )，其中O为坐标原点(1)若且1，求向量与的夹角；(2)若|2|对任意实数，都成立，求实数的取值范围四、对向量共线的考查1、定理：若，则存在唯一实数使得（符号代表方向，）2、共线范例解析9、已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6，则的值为()A. BC. D10、设a、b是不共线的两个非零向量，(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A、B、C三点共线；(2
4、)若8akb与ka2b共线，求实数k的值；(3)设ma，nb， a b，其中m、n、均为实数，m0，n0，若M、P、N三点共线，求证：1.11、如图，平行四边形ABCD中，b，a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线五、向量与三角形1、角的定性：；2、判定形状：锐角（或直角、钝角），等腰，等边，等腰非等边，3、若三角形的三线（中线、高线、内角平分线）中有两线合一，则必为等腰三角形；4、若三角形的四心（重心、垂心、内心、外心）中有两心合一，则必为等边三角形；5、四心结论：；范例解析12、在ABC中，()| |2，则三角形ABC的形状一定是() A.等边三角形 B.等腰
5、三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形13、已知O为ABC所在平面内一点，满足=，则O点是ABC的( )A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心14、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足=(+),则点P一定为三角形ABC的（ ）A. AB边中线的中点 B. AB边中线的三等分点（非重心）C. 重心 D. AB边的中点六、解决向量问题的常用思路1、基底法：在图形中选择两条相交线段对应的向量作为基底，其余所有向量全部均可用唯一表示，利用加法、减法、共线及基底表示的唯一性等建立等量关系。2、坐标法：根据题意，建系设点，把向量的起点确定下来，利用坐标把几何问题
6、转化为代数问题进行求解。3、几何法：利用向量中的几何特征，如夹角、距离（模、投影）、平行、垂直，利用三角形法则或平行四边形法则及共线、垂直等数形结合进行求解。范例解析15、在矩形ABCD中，AB2，BC1，E为BC的中点，若F为该矩形内(含边界)任意一点，则的最大值为_16、如图，O、A、B是平面上的三点，向量a，b，设P为线段AB的垂直平分线上任意一点，向量p.若|a|4，|b|2，则p(ab)等于()A1 B3 C5 D6七、平面向量与三角函数的交汇三角函数与向量的结合，常常包括向量与三角函数化简、求值和证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面.范例解析17、设向量a、b的夹
7、角是x，|a|，|b|3，m是b在a方向上的投影，求函数y|a|m的最大值和最小值18、已知向量，且，求 (1) 及; (2)若的最小值是，求实数的值.19、设a(cos ，(1)sin )，b(cos ，sin ) 是平面上的两个向量，若向量ab与ab互相垂直(1)求实数的值；(2)若ab，且tan ，求tan 的值复习提纲平面向量一、常用结论（一）向量的几何运算1、（M为AB中点）2、数量积：，在方向上的投影=3、不等关系：； （二）平面向量的坐标运算1、；2、；3、；4、若，则（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；二、对向量夹角的考查（）OAB1、记号：=；2、范围：，
8、；3、只有非零向量才有夹角概念；作角时两向量必须共起点；4、.5、为直角：；6、为锐角：；7、为钝角： 范例解析1、已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b和c；(2)若m2ab，nac，求向量m与向量n的夹角的大小解析(1)ab，3x360.x12.ac，344y00.y3.b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)，设m，n的夹角为，则cos.0，即m，n的夹角为.2、已知a(1,3)，b(1,1)，cab，若a和c的夹角是锐角，则的取值范围是(D)A. B. C0 D.(0，) 解
9、析由条件得，c(1，3)，从而(0，)3、已知a(1,0)，b(0,1)，当k为整数时，向量mkab与nakb的夹角能否为60？证明你的结论解析假设m、n的夹角能为60，则cos60，mn|m|n|.又a(1,0)，b(0,1)，|a|b|1，且ab0.mnka2abk2abkb22k，|m|n|k21.由，得2k(k21)k24k10.该方程无整数解 m、n的夹角不能为60.三、对向量的模的考查1、；2、若，则；3、的含义范例解析4、已知均为单位向量，那么若，则_.答案：由已知可得，故.5、设为单位向量,非零向量,若的夹角为， 则的最大值等于_.【解析】此题考查了向量中最常用的一个结论，即，
10、很多问题中要求向量的模都是通过求向量的平方来求解的。此题中利用求出，然后求出的表达式，最后利用函数最值的求法即可求出答案；即由已知得到： ，设的最大值为4，所以答案是2。6、在ABC中，若对任意kR，有|k|，则ABC的形状是(B)A等腰三角形B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形7、在平面斜坐标系xOy中，xOy45，点P的斜坐标定义为“若x0e1y0e2(其中e1，e2分别为与斜坐标系的x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的坐标为(x0，y0)”若F1(1,0)，F2(1,0)，且动点M(x，y)满足|，则点M在斜坐标系中的轨迹方程为()Axy0 Bxy0C.xy0 D.x
11、y0解析：选D依题意，(1x，y)(1x)e1ye2，(1x，y)(1x)e1ye2，由|，得22，(1x)e1ye22(1x)e1ye22，4x4ye1e20.xOy45，e1e2，故2xy0，即xy0.8、已知向量(cos ，sin )(0)，(sin ，cos )，其中O为坐标原点(1)若且1，求向量与的夹角；(2)若|2|对任意实数，都成立，求实数的取值范围解：(1)当1时，(cos ，sin )，故| 1，| 1.cos (sin )sin cos sin()sin，故cos，.又因为，0，所以，.(2) (cos sin ，sin cos )，故|2|对任意实数，都成立，即(cos
12、 sin )2(sin cos )24对任意实数，都成立，整理得212sin()4对任意实数，都成立因为1sin()1，所以或解得3或3.所以所求实数的取值范围为(，33，)四、对向量共线的考查1、定理：若，则存在唯一实数使得（符号代表方向，）2、共线范例解析9、已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6，则的值为()A. BC. D解析：选B由已知得，向量a(x1，y1)与b(x2，y2)反向，3a2b0，即3(x1，y1)2(x2，y2)(0,0)，得x1x2，y1y2，故.10、设a、b是不共线的两个非零向量，(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A、B
13、、C三点共线；(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值；(3)设ma，nb， a b，其中m、n、均为实数，m0，n0，若M、P、N三点共线，求证：1.解：(1)证明：(3ab)(2ab)a2b，而(a3b)(3ab)2a4b2，与共线，且有公共端点B，A、B、C三点共线. (2)8akb与ka2b共线，存在实数，使得(8akb)(ka2b)(8k)a(k2)b0，a与b不共线， (3)证明：M、P、N三点共线，存在实数，使得，ab.a、b不共线， 1.11、如图，平行四边形ABCD中，b，a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线解析在ABD中，因为a，b，所以
14、ba.N点是BD的三等分点，(ba)b，(ba)bab.M为AB中点，a，()ab.由可得：. 由共线向量定理知：，又与有公共点C，C、M、N三点共线五、向量与三角形1、角的定性：；2、判定形状：锐角（或直角、钝角），等腰，等边，等腰非等边，3、若三角形的三线（中线、高线、内角平分线）中有两线合一，则必为等腰三角形；4、若三角形的四心（重心、垂心、内心、外心）中有两心合一，则必为等边三角形；5、四心结论：；范例解析12、在ABC中，()| |2，则三角形ABC的形状一定是() A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形解析：由 ，A=90.答案：C13、已知O为ABC所在
15、平面内一点，满足=，则O点是ABC的( A )A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心解：由已知得= 0= 0，. 同理，. 故选A .14、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足=(+),则点P一定为三角形ABC的（ B ）A. AB边中线的中点 B. AB边中线的三等分点（非重心）C. 重心 D. AB边的中点解析：取AB边的中点M，则，由= (+2)可得，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.六、解决向量问题的常用思路1、基底法：在图形中选择两条相交线段对应的向量作为基底，其余所有向量全部均可用唯一表示，利用加法、减法
16、、共线及基底表示的唯一性等建立等量关系。2、坐标法：根据题意，建系设点，把向量的起点确定下来，利用坐标把几何问题转化为代数问题进行求解。3、几何法：利用向量中的几何特征，如夹角、距离（模、投影）、平行、垂直，利用三角形法则或平行四边形法则及共线、垂直等数形结合进行求解。范例解析15、在矩形ABCD中，AB2，BC1，E为BC的中点，若F为该矩形内(含边界)任意一点，则的最大值为_解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则E.设F(x，y)，则2xy.令z2xy，当z2xy过点(2,1)时，取最大值. 答案：16、如图，O、A、B是平面上的三点，向量a，
17、b，设P为线段AB的垂直平分线上任意一点，向量p.若|a|4，|b|2，则p(ab)等于()A1 B3 C5 D6答案D解析由图知，则0，p()，则p(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)(a2b2)(|a|2|b|2)0(4222)6.七、平面向量与三角函数的交汇三角函数与向量的结合，常常包括向量与三角函数化简、求值和证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面.范例解析17、设向量a、b的夹角是x，|a|，|b|3，m是b在a方向上的投影，求函数y|a|m的最大值和最小值解析由题意得m|b|cosx3cosx，y|a|m()3cosx.由0x，得33cosx3， y8.故yma
18、x8，ymin.18、已知向量,且 求 (1) 及; (2)若的最小值是,求实数的值. 解析： (1)易求, = ;(2) = 从而 当时,与题意矛盾, 不合题意; 当时, ; 当时,解得,不满足;综合可得: 实数的值为.19、设a(cos ，(1)sin )，b(cos ，sin ) 是平面上的两个向量，若向量ab与ab互相垂直(1)求实数的值；(2)若ab，且tan ，求tan 的值解：(1)由题设，可得(ab)(ab)0，即|a|2|b|20.代入a，b的坐标，可得cos2(1)2sin2cos2sin20，所以(1)2sin2sin20.因为00) 故2.(2)由(1)及题设条件，知abcos cos sin sin cos().因为0，所以0.所以sin()，tan().所以tan tan().所以tan .第 13 页