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1、初三数学圆知识点一.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧简单记成：一条直线：过圆心垂直弦 平分弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的优弧弧 以上以任意两个为条件，其它三个都成立，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： 是直径 中任意2个条件推出其他3个结论。例1如图，在O中，弦CD垂直于直径AB于点E，假设BAD=30，且BE=2，那么CD=_例2 O的直径，
2、是O的弦，且，垂足为，那么的长为 C ABC或D或例3、如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，做CDAB交外圆于点C测得CD=10cm，AB=60cm，那么这个车轮的外圆半径为 例4、如图，在55的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是A点P B点Q C点R D点M二、圆周角定理1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，等于它所对的圆心的角的一半。即：和是所对的圆心角和圆周角 2、圆周角定理的推论：推论1：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦直径推论2：圆内接四边形的对角互补；由对称
3、性还可知：1、在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等；2、在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；3、在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等；简记：在同圆或等圆中，弦圆心角弧中只要一个相等，其它两个也相等。例1、如图，A、B、C三点在O上，ACBO于D，B=55，那么BOC的度数是70例2、从以下直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是ABC D例3、如图，ABCD的顶点A、B、D在0上，顶点C在0的直径BE上，连接AE，E=360，那么ADC=( ) A,440 B540 C720 D530学生练习
4、：三、与圆有关的位置关系1点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，那么点在圆内_；点在圆上_；点在圆外_2直线与圆的位置关系：如果O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，那么：1直线和圆有_个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的_，公共点叫做_，此时d_r；2直线和圆有_个公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的_，公共点叫做_，此时d_r3直线和圆有_个公共点时，叫做直线与圆相离，此时d_r1切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：且过半径外端 是的切线2性质定理：切线垂直于过切点的半径如上图 推论1：过
5、圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 平分例O的半径为3,A为线段PO的中点,那么当OP=6时,点A与O的位置关系为( )2.O的半径为6,O的一条弦AB长为3,以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是( )3.如下图,O的外形梯形ABCD中,如果ADBC,那么DOC的度数为( ) A.70 B.90 C.60 D.454.如下图,PA与PB分别切O于A
6、、B两点,C是上任意一点,过C作O的切线,交PA及PB于D、E两点,假设PA=PB=5cm,那么PDE的周长是_cm.5、如图，在平面直角坐标系中，半径为的的圆心的坐标为，将沿轴正方向平移，使与轴相切，那么平移的距离为A1 B1或5 C3 D5 6、如图，RtABC中，ABC=90，以AB为直径作半圆O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE1求证：DE是半圆O的切线2假设BAC=30，DE=2，求AD的长7如图，在ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C1求证：AB与O相切；2假设AOB=120，AB=4，求O的面积8.如下图,点I是ABC的内心,AI的延长线交边BC于点
7、D,交ABC外接圆于点E.(1)求证:IE=BE;(2)假设IE=4,AE=8,求DE的长.9、点M，N的坐标分别为0，1，0，1，点P是抛物线上的一个动点1求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线的相切；2设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：练习：8、如图，直线l与半径为4的O相切于点A，P是O上的一个动点不与点A重合，过点P作PBl，垂足为B，连接PA设PA=x，PB=y，那么xy的最大值是29、ABC内接于O，过点A作直线EF1如图所示，假设AB为O的直径，要使EF成为O的切线，还需要添加的一个条件是至少说出两种：BAE=90或者EAC=ABC2如图所示，如果AB
8、是不过圆心O的弦，且CAE=B，那么EF是O的切线吗？试证明你的判断四.扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：1弧长公式：；2扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积2、圆柱： 1圆柱侧面展开图： =2圆柱的体积：3、圆锥侧面展开图1= 2圆锥的体积：4、正多边形的其它性质(1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。(2)边数一样的正多边形相似。5、正多边形的有关计算正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切
9、圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。正n边形的有关计算公式； 2，(3)注意：同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n边形边心距与它的半径之比。这样，同一个正n边形的内切圆和外接圆的相似比例1、一个圆锥的侧面展开图是半径为8cm、圆心角为120的扇形，那么此圆锥底面圆的半径为 Acm Bcm Ccm Dcm例2、圆的半径是，那么该圆的内接正六边形的面积是 A B C D4、如图，O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，那么以下关系式错误的选项是A R2r2=a2 Ba=2Rsin3
10、6 Ca=2rtan36 Dr=Rcos365、如图,O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，ACB的平分线交O于点D.1求弧BC的长；2求弦BD的长. 6.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I表示(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点
11、距离的2倍，通常用G表示(4)垂心：是三角形三边高线的交点例1、ABC中，AB=AC=10，BC=12，那么ABC的外接圆半径是 .外切圆半径为 圆中常见的辅助线1作半径，利用同圆或等圆的半径相等2作弦心距，利用垂径定理进展证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距间的关系进展证明3作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距组成的直角三角形进展计算4作弦构造同弧或等弧所对的圆周角5)作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角6)遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角7)遇到切线，作过切点的半径，构造直角8)欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)假设知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径9)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点10)遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点11)遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线