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1、特殊的平行四边形根底【学习目标】1. 理解矩形、菱形、正方形的概念.2. 掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理.3. 了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的附属关系.【要点梳理】要点一、矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形 叫做正方形.要点二、矩形、菱形、正方形的性质矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条
2、对角线平分一组对角；3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点三、矩形、菱形、正方形的判定矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角或“对角线相等都能判定平行四边形是矩形. 菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱
3、形.3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.要点诠释：前一种方法是在四边形的根底上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的根底上外加一个条件来判定菱形，正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.有一个内角是直角的菱形是正方形.要点四、特殊平行四边形之间的关系要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状1顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.2顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.3顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.4顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.1假设原四边形的对角线互相垂
4、直，那么新四边形是矩形. 2假设原四边形的对角线相等，那么新四边形是菱形.3假设原四边形的对角线垂直且相等，那么新四边形是正方形.【典型例题】类型一、矩形的性质和判定1、如下图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOD120，AB4，那么矩形对角线AC长为_【答案】8；【解析】解： 四边形ABCD是矩形， AOBO AOD120， AOB60又 AOBO， AOB是等边三角形， AC2AO2AB8【总结升华】矩形的性质常用于求线段的长度与角的度数，在解题过程中应根据题目选择不同的性质来加以应用2、：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连结AF、CE.1求证：BECDFA；2连
5、接AC，假设CACB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.【答案与解析】证明：1四边形ABCD是平行四边形，ABCD,BD，BCAD.E、F分别是AB、CD的中点，BEAB，DFCD.BEDF.BECDFA.2四边形AECF是矩形.四边形ABCD是平行四边形，ABCD，且ABCD.E、F分别是AB、CD的中点，BEAB，DFCD.AECF且AECF.四边形AECF是平行四边形.CACB，E是AB的中点，CEAB，即AEC90.四边形AECF是矩形.【总结升华】要证明BEC和DFA全等，主要运用判定定理边角边；四边形AECF是矩形，先证明四边形AECF是平行四边形，再证这个平行四
6、边形对角线相等或者有一个角是直角.举一反三：【变式】如图，在ABC中，ABAC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.【答案】证明：四边形ABDE是平行四边形，AEBC，ABDE，AEBDD为BC的中点，CDBDCDAE，CDAE四边形ADCE是平行四边形ABACACDE平行四边形ADCE是矩形.类型二、菱形的性质和判定3、如下图，在菱形ABCD中，AC8，BD10求：(1)AB的长(2)菱形ABCD的面积 【答案与解析】 解：(1) 四边形ABCD是菱形 ACBD，AOAC，OBBD 又 AC8，BD10 AO84，OB105 在RtABO中， ， (2)由菱
7、形的性质可知： 【总结升华】(1)由菱形的性质及勾股定理求出AB的长(2)根据“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半来计算举一反三：【变式】菱形的两条对角线长为6和8，那么菱形的边长为_【答案】5；解：设该菱形为ABCD，对角线相交于O，AC8，BD6，由菱形性质知：AC与BD互相垂直平分， ， 4、如下图，在ABC中，CD是ACB的平分线，DEAC，DFBC，四边形DECF是菱形吗试说明理由【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DEAC，DFBC知四边形DECF是平行四边形，再由123得到邻边相等即可【答案与解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下： DEAC，DFBC 四边形DECF是平行四
8、边形 CD平分ACB， 12 DFBC， 23， 13 CFDF， 四边形DECF是菱形【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形类型三、正方形的性质和判定5、如图，在一正方形ABCD中E为对角线AC上一点，连接EB、ED，1求证：BECDEC；2延长BE交AD于点F，假设DEB140求AFE的度数【思路点拨】先由正方形的性质得出CD=CB，DCA=BCA，根据SAS证出BECDEC，再由全等三角形的对应角相等得出DEC=BEC=70，然后根据对顶角相等求出AEF，根据正方形的性质求出DAC，最后根据三角形的内角和定理即可求
9、出AFE的度数【答案与解析】1证明：四边形ABCD是正方形，CDCB，DCABCA，CECE，BECDEC2解：DEB140，BECDEC，DECBEC70，AEFBEC70，DAB90，DACBAC45，AFE180704565答：AFE的度数是65【总结升华】此题主要考察对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，对顶角等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进展推理是解此题的关键.举一反三：【变式】：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CECF，连接DE，BF求证：DEBF【答案】证明：四边形ABCD是正方形，BCDC，BCD90E为BC延
10、长线上的点，DCE90，BCDDCE在BCF和DCE中，BCFDCESAS，BFDE6、如下图，在RtABC中，C90，BAC、ABC的平分线相交于点D，且DEBC于点E，DFAC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗请说明理由【答案与解析】解：是正方形，理由如下： 作DGAB于点G AD平分BAC，DFAC，DGAB， DFDG 同理可得：DGDE DFDE DFAC，DEBC，C90， 四边形CEDF是矩形 DFDE 四边形CEDF是正方形【总结升华】(1)此题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形来判定正方形(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等1个直角或四个角都是直角来证明正方形