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1、用待定系数法求递推数列通项公式初探摘要: 本文通过用待定系数法分析求解9个递推数列的例题，得出适用待定系数法求其通项公式的七种类型的递推数列，用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法与公式法等不能解决的数列的通项问题。关键词:变形 对应系数 待定 递推数列 数列在高中数学中占有重要的地位，推导通项公式是学习数列必由之路，特别是根据递推公式推导出通项公式，对教师的教学与学生的学习来说都是一大难点，递推公式千奇百怪，推导方法却各不一样，灵活多变。对学生的观察、分析能力要求较高，解题的关键在于如何变形。常见的方法有观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法与公式法。但是比照拟复杂的递推公
2、式，用上述方法难以完成，用待定系数法将递推公式进展变形，变成新的数列等差数列或等比数列。下面就分类型谈谈如何利用待定系数法求解几类数列的递推公式。一、 型为常数，且例题1.在数列中，,试求其通项公式。分析：显然，这不是等差或等比数列，但如果在的两边同时加上1，整理为，此时，把与看作一个整体，或者换元，令，那么，即，因此，数列或就是以2为首项，以2为公比的等比数列，或者，进一步求出。启示：在这个问题中，容易看出在左右两边加上1就构成了新的等比数列，那不易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时，该怎么办呢？其实，可变形为的形式，然后展开括号、移项后再与相比拟，利用待定系数法可得。这样，对于形如其
3、中为常数，且的递推数列，先变为的形式，展开、移项，利用待定系数法有即 那么数列首项为等比数列 因此，形如这一类型的数列，都可以利用待定系数法来求解。 那么，假设变为,是关于非零多项式时，该怎么办呢？是否也能运用待定系数法呢？二 型例题2.在数列中，,试求其通项公式。分析：按照例题1的思路，在两边既要加上某一常数同时也要加上n的倍数，才能使新的数列有一致的形式。先变为，展开比拟得进一步那么数列是的等比数列，所以 同样，形如的递推数列，设展开、移项、整理，比拟对应系数相等，列出方程解得 即那么数列是以为首项，以p为公比的等比数列。于是就可以进一步求出的通项。 同理，假设其中是关于n的多项式时，也可
4、以构造新的等比数列，利用待定系数法求出其通项。比方当=时，可设展开根据对应系数分别相等求解方程即可。 为n的三次、四次、五次等多项式时也能用同样的思路与方法进展求解。 而如果当是n的指数式，即时，递推公式又将如何变形呢？三 例题3.在数列中，,试求其通项。分析1：由于与例题1的区别在于2n是指数式，可以用上面的思路进展变形，在两边同时加上变为即那么数列是首项为3，公比为3的等比数列，那么分析2：如果将指数式先变为常数，两边同除就回到了我们的类型一。进一步也可求出。例题4.在数列中，,试求的通项。分析：假设按例题3的思路2，在两边同时除以，虽然产生了、，但是又增加了，与原式并没有大的变化。所以只
5、能运用思路1，在两边同时加上10整理进一步 那么数列是首项为15，公比为3的等比数列即 启示：数列的首项，1） 当,即由例题3知，有两种思路进展变换，利用待定系数法构造首项与公比或可求的等比数列。思路一：在两边同时除以，将不含的项变为常数，即为前面的类型一，再用类型一的待定系数法思想可得数列最终求解出的通项。思路二：在两边同时加上的倍数，最终能变形为对应系数相等得 ，即即 求出数列的通项，进一步求出的通项。2） 当时，即由例4可知只能在选择思路二，两边既要加的倍数，也要加常数，最终能变形为比拟得x，y的方程组于是 求出数列的通项，进一步求出的通项。四：其中可以为常数、n的多项式或指数式以=0为
6、例。例题5.在数列中，,试求的通项。分析：这是三项之间递推数列，根据前面的思路，可以把看做常数进展处理，可变为，先求出数列的通项 然后利用累加法即可进一步求出的通项。 对于形如的递推数列，可以设展开，利用对应系数相等，列方程 于是数列就是以为首项，y为公比的等比数列，不难求出的通项进一步利用相关即可求出。 同理，当为非零多项式或者是指数式时，也可结合前面的思路进展处理。问题的关键在于先变形 然后把看做一个整体就变为了前面的类型。五：型，为正项数列例题6.在数列中，试求其通项。分析：此题与前面的几种类型没有一样之处，左边是一次式，而右边是二次式，关键在于通过变形，使两边次数一样，由于，所以可联想
7、到对数的相关性质，对两边取对数，即就是前面的类型一了，即变形得 对于类似的递推数列，由于两边次数不一致，又是正项数列，所以可以利用对数性质，两边同时取对数，得然后就是前面的类型一了，就可以利用待定系数法进一步构造数列为首项与公比的等比数列了。求出最终就可以得出的通项。 同样，如果将中的p换为指数式时，同样可以利用一样的方法。即：两边取对数 变为类型二 即可进一步得出的通项。 以上是一些整式型的递推数列通项公式的求解，接下来再看看比拟复杂的分式型递推数列。六：例题7.在数列中，试求其通项。分析：这是一个分式型数列，如果去分母变为后就无法进展处理了。两边同时取倒数就是前面的类型一了。 所以数列是首
8、项为，公比为2的等比数列，不难求出例题8.在数列中，试求其通项。分析：此题比例题7的区别多了常数项，两边取倒左右两边与并不一致。但可以对照例题7的思路，取倒数之后分母会具有一致的构造，根据等式与分式的性质，我们可在两边同时加上某一常数，整理：此时如果，那么递推式左边与右边分母就一致了。解方程得因此 此时可选择其中一个递推式按照例题7的方式进展处理，这里选择，两边取倒回到了类型一 根据类型一的方法易求出：现在我们将两式相比：那么数列是我首项与公比的等比数列，进一步化简求出。 通过以上两个例题可知，形如这一类型的递推数列，对学生的综合能力要求较高。1、如果右边分子缺常数项，即，那么直接对两边取倒数
9、即可得：此时，假设，那就是我们熟悉的等差数列，假设，那就是前面的类型一用待定系数法求解。2、 假设，就需要先变形，使左边与右边分子构造一致。两边同时加上某一个常数()然后令，解出的值。而另一种思路是直接设变形之后为然后展开，根据对应项系数相等得二元方程组求出。 两种思路都是解的一元二次方程，设其解为。 假设时，那就只能利用例题7的方法，两边取倒数，局部分式整理即可转变为类型一。最终求出。 当时，可以选择其中的一个按照上面的方式进展求解，但是此时计算量颇大，于是直接将两式相比得：所以数列是首项为，公比为的等比数列。进一步求出。七：例题9.在数列中，试求其通项。分析：此题属于分式非线性递推式，与类
10、型五又有相似之处，所以我们可以结合类型五、六的思路，进展变换：两边同时加上某个常数，设最终变为：与原式比拟，对应系数相等，得解方程得 即有：对单个式子进展处理，无从下手，两式相比得然后，两边取对数得：那么数列是首项为，公比为2的等比数列。进一步解得 显然，按照例题9的思路，形如这一类型的参数必须满足一定的条件，所得方程应有两个不相等的实根。现在来探讨应该满足哪些条件？设，即：所以 对应系数相等得 方程要满足设方程的两根为那么有两式相比得 两边取对数得 数列是首项为，公比为的等比数列。求出的通项再整理一下就得出了的通项，问题就得以解决了。 本文主要是通过例题的分析讲解，并进展归纳总结概括而形成的，是我在平时的学习中，通过平时自己的一些积累与参考其他作者的思路，对用待定系数法求解递推数列的初步探讨与认识。例题的深度层层深入，前面的类型是后面的根底，特别是第一种类型，是学习其他几种类型的充分依据，其他的类型最终都会转变为第一种类型之后再进展求解。参考文献第 10 页