《导数中的二次求导问题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数中的二次求导问题.doc（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021高考数学热点难点突破技巧第03讲：导数中的二次求导问题【知识要点】1、高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求，导数在研究函数中的应用，既是高考考察的重点，也是难点与必考点. 利用导数求解函数的单调性、极值与最值等问题是高考考察导数问题的主要内容与形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考察运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力与函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透与综合运用，难度较大.2、在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导就可以解决，但是有些问题“一次求导，不能求出原函数的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导才能找到导数的正负，找到
2、原函数的单调性，才能解决问题. “再构造，再求导是破解函数综合问题的有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路与“用数学的新意识与新途径.【方法讲评】方法二次求导使用情景对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.解题步骤设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.【例1】(理2021全国卷第20题)函数.假设，求的取值范围；证明：化简得，所以两边同乘可得，所以有，在对求导有，即当时，0，在区间上为增函数；当时，；当时，0，在区间上为减函数.所以在时有最大值，即.又因为，所以.当时，同理，当时，即在区间上为增函数，那么，此时
3、，为增函数，所以，易得也成立.综上，得证.方法二：，那么题设等价于. 令，那么.当时，；当时，是的最大值点，所以 .综上，的取值范围是.由知，即.当时，因为0，所以此时.当时，. 所以【点评】1比拟上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低，否那么，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出.2大家一定要理解二次求导的使用情景，是一次求导得到之后，解答难度较大甚至解不出来. 3二次求导之后，设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性. 【例2
4、】设函数 假设在点处的切线为，求的值；求的单调区间；假设，求证：在时，【解析】，在点处的切线为，即在点的切线的斜率为，切点为，将切点代入切线方程，得，所以，；要证：当时，即证：，令，那么只需证：，由于，由于不等式是超越不等式,所以此处解不等式解答不出，所以要构造函数二次求导.设所以函数在单调递增，又因为.所以在内存在唯一的零点，即在内存在唯一的零点，设这个零点为.【点评】1由于不等式是超越不等式,所以不等式解答不出，所以要构造函数二次求导.这是要二次求导的起因. 2仅得到函数在单调递增是不够的，因为此时，所以，所以的单调性还是不知道，所以无法求.所以必须找到这个零点与零点所在区间，这个零点与零
5、点的区间找到很关键很重要，直接关系到的单调性与.【反应检测1】【2021课标II，理】函数，且.(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点，且.【反应检测2】函数R在点处的切线方程为.1求的值；2当时，恒成立，求实数的取值范围；3证明：当N，且时，.高考数学热点难点突破技巧第03讲：导数中二次求导问题参考答案【反应检测1答案】1；2证明略.【反应检测1详细解析】1的定义域为设，那么等价于因为假设，那么.当时，单调递减；当时，0，单调递增.所以是的极小值点，故，综上，.又，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，当时，.因为，所以是的唯一极大值点.由，由得.因为是在0,1的最大值点，由得，所以. 【反应检测2答案】1；2；3见解析.【反应检测2详细解析】1解：， . 直线的斜率为，且过点， 即解得. 令，那么.当时，函数在上单调递增，故从而，当时，即函数在上单调递增，故.因此，当时，恒成立，那么.所求的取值范围是.解法2：由1得. 当时，恒成立，即恒成立. 令，那么.方程的判别式.当，即时，那么时，得，故函数在上单调递减.由于，那么当时，即，与题设矛盾.当，即时，那么时，.故函数在上单调递减，那么，符合题意. 而由知，当时，得，从而.故当时，符合题意.综上所述，的取值范围是. 3证明：由2得，当时，可化为， 又， 从而，. 把分别代入上面不等式，并相加得，第 9 页