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1、第六节 空间向量 知识提要 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有 与 的量叫做向量。2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下如图。运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律：3. 共线向量。1如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。2共线向量定理：空间任意两个向量、，/存在实数，使 。4. 共面向量 1定义：一般地，能平移到同一 内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是 的。2共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数，使 。5. 空间向量根本定理：如果三个向量不共面
2、，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使 。假设三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设是不共面的四点，那么对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。6. 空间向量的直角坐标系： 1空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。2假设空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。3空间向量的直角坐标运算律：假设，那么，假设，那么。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向
3、量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。4模长公式：假设，那么，5夹角公式：。6两点间的距离公式：假设，那么，或 7. 空间向量的数量积。1空间向量的夹角及其表示：两非零向量，在空间任取一点，作，那么叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；假设，那么称与互相垂直，记作：。2向量的模：设，那么有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。3向量的数量积：向量，那么叫做的数量积，记作，即。4空间向量数量积的性质：5空间向量数量积运算律：。交换律。分配律。 典例精析 例1. 平行六面体ABCD，化简以下向量表达式，标出化简结果的向量。例2. 空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底
4、向量表示向量。例3. 如图，在空间四边形中，求与的夹角的余弦值。说明：由图形知向量的夹角易出错，如易错写成，切记！例4. 长方体中，为与的交点，为与的交点，又，求长方体的高。例5如图，矩形ABCD与矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且. 求证：MN/平面CDE分析：要证明线面平行，只需证明与共面。 稳固提高 1. A0，2，3，B-2，1，6，C1，-1，5，假设的坐标为 .2、空间四边形，连结，设分别是的中点，化简以下各表达式，并标出化简结果向量：1； 2； 3。3. 如图，在正方体中，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量表示与4、空间三点A0，2，3，B2，1，6，C1，1，5。求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；假设向量分别与向量垂直，且|，求向量的坐标。5. 一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它与两个面所成的角都是300，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.第 5 页