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1、j. 椭圆方程数值解法本章考虑椭圆微分方程数值解法。首先以二维二阶椭圆方程为例，给出矩形网与三角网上的差分法。然后以一维二阶椭圆方程为例，简要描述有限元法的根本思想。J.1 矩形网上差分方程考虑二维区域区域=连通的开集上的二阶椭圆型偏微分方程第一边值问题j.1 其中,是常数；是给定的光滑函数；是的边界；。假设J.1存在光滑的唯一解。考虑一种简单情形，即求解区域是矩形区域，并且其四个边与相应坐标轴平行。令与分别为与方向的步长，用平行于坐标轴的直线段分割区域，构造矩形网格： 为网格内点节点集合，为网格边界节点集合，。对于内点，用如下的差分方程逼近微分方程J.1：(J.2) 其中。J.2通常称为五点
2、差分格式。方程J.2可以整理改写为J.3 +对每一内点都可以列出这样一个方程。方程中遇到边界点时，注意到边界点上函数值，将相应的项挪到右端去。最后得到以的内点近似值为未知数的线性方程组。这个方程组是稀疏的，并且当与足够小时是对角占优的。用J.1的真解在网点上的值、等等分别替换J.2中的、等等，然后在点处作Tailor展开，便知差分方程J.2逼近微分方程J.1的截断误差阶为。另外可以证明，五点差分格式的收敛阶为，并且关于右端与初值都是稳定的。矩形网格差分格式的优点是计算公式简单直观。但是，当是非矩形区域，并且边界条件包含法向导数第二与第三边值条件时，在矩形网格边界点建立差分方程是一件颇为令人烦恼
3、的事情。矩形网格的另一个大缺点是不能局部加密网格。 图J.1 一般区域的矩形网格 . 三角网差分格式本节我们将积分插值法用于三角网，建立三角网差分格式。三角网差分格式具有网格灵活与法向导数边界条件易于处理等优点，特别地，它还保持积分守恒质量守恒，深受使用者欢送。文献上常称之为有限体积法或广义差分法。考虑有界区域上的Poisson方程在边界的各个局部、与分别给定第一、第二与第三边值条件：a b c 其中是常数，是边界的外法向。作的三角剖分：在上取一系列点，连成闭折线，并记为由围成且逼近的多边形区域。将分割成有限个三角形之与，使每个三角形的每个内角不大于，并且每个三角形的任一顶点与其他三角形或者不
4、相交，或者相交于顶点。引入如下术语。节点：三角形的顶点；单元：每个三角形；相邻节点：同一条边上的两个节点；相邻单元：有一条公共边的两个三角形。对于任一节点，考虑所有以它为顶点的三角形单元与以它为顶点的三角形边，过每一条边作中垂线，交于外心，得到围绕该节点的小多边形，称为对偶单元。全体对偶单元构成区域的一个新的网格剖分，称为对偶剖分。 图J.2 三角网及其对偶剖分 图J.3 内点(a)与边界点(b)的对偶单元对于与，分别利用右矩形公式与梯形公式计算所涉及到的积分，导出如下差分近似：这里。将上述六个公式带入中，就得到边界点的差分方程。所有内点与边界点的差分方程构成一个封闭的线性方程组，其系数矩阵是
5、稀疏的，并且当时是对称的。J.3 椭圆方程的有限元法有限元法是与差分法并驾齐驱的一套求解偏微分方程的方法。它的根本想法是，首先把微分方程转化成一种变分方程微分积分方程，从而降低了对解的光滑性与边值条件的要求；然后，把求解区域划分成有限个单元有限元，构造分片光滑函数，这个光滑函数由其在单元顶点上的函数值决定；最后，把这个分片光滑函数带入到上述微分积分方程中去，就得到关于单元顶点函数值的一个线性方程组，解之即得有限元解。与差分法相比，有限元法易于处理边界条件，易于利用分片高次多项式等等来提高逼近精度。 函数集合 作为例子，我们将考虑区间上的椭圆微分方程。用表示在上勒贝格平方可积函数的集合，表示本身
6、以及直到阶的导数都属于的函数的集合。我们下面用到的主要是。这里所说的导数准确地说是应该是广义导数，对此我们不予详细说明，只需知道比方说，连续的分片线性函数折线函数就属于，其广义导数是分片常数函数。另外，我们还用到函数集合。 变分方程 考虑两点边值问题其中都是区间上的光滑函数，并且，是一个正常数。用中任一函数乘式两端，并在上积分，得利用分部积分，并注意与，得以此代入到得到 为了方便，定义那么相应于微分方程1-3的变分方程为：求满足注意在中不出现二阶导数。我们已经看到，满足微分方程的光滑解一定满足变分方程。而变分方程的解称为微分方程的广义解，它可能只有一阶导数，因此可能不是1-3的解；但是如果它在
7、通常意义下二阶可微，那么一定也是的解。另外，注意在变分方程中，强制要求广义解满足边值条件，因而称之为强制或本质边界条件；而对边值条件，那么不加要求。但是可以证明，如果广义解在通常意义下二阶可微，那么一定有，即这个边界条件自然满足。这类边界条件称之为自然边界条件。总之，变分方程不但降低了对解的光滑性的要求，也降低了对边值条件的要求。有限元空间 构造有限元法的第一步与差分法一样，也是对求解区间作网格剖分。相邻节点之间的小区间称为第个单元，其长度为。记。顺便说一下，有限元法不要求步长是常数。而差分法通常要求步长是常数，以免截断误差阶数降低。在空间中，按如下原那么选取有限元空间：它的元素在每一单元上是
8、次多项式，并且在每个节点上都是连续的。当时，就得到最简单的线性元，这时每个可表为其中。图. 一维线性元线性元的另外一种表示方法用到以下具有局部支集的基函数：图. 线性元的基函数显然，任一可以表为有限元方程 将变分方程9局限在有限元空间上考虑，就得到有限元方程：求有限元解满足注意到与都可以表示成形式，容易看出等价于如下的线性方程组：求节点上的近似解满足这个线性方程组是三对角的，可以用追赶法求解。可以把微分方程J.1、变分方程与有限元方程比喻为确定“好人的三种标准：他每时每刻表现都好；大家都说他好；一个遴选委员会说他好。误差估计 可以证明，微分方程的解与有限元方程的解之间的误差满足其中是一个常数；
9、表示如下定义的范数：二维椭圆方程有限元法 以二维区域上的Poisson方程第一边值问题为例：其中是以为边界的一个二维区域。利用Green公式，容易推出相应的变分方程：求满足其中函数集合由满足以下条件的所有函数组成：在边界上为零，且本身及其广义偏导数在区域上勒贝格可积； 二维区域上最常用剖分是形如下列图的三角剖分：我们可以相应地构造三角剖分上的线性元。对内点集合例如上图中3，6，5这三个点中每个节点，定义其基函数为一个分片线性函数，它在节点取值为1，而在所有其他节点为0。这样，有限元空间中任一元素就可以表示成。把它带入到变分方程便得有限元方程：求上的近似解满足高次元 可以从两个途径来提高有限元法的精度，一个是加密网格，另一个是利用高次元。例如对于一维问题，可以使用所谓Hermite三次元，它在每一个单元上是一个三次多项式，由两个端点上的函数值与导数值总共4个待定参数确定。这时，相应于我们有误差估计对于二维问题也可以使用高次元，但是其定义稍微复杂一点。习题1 设边值条件为 ，步长为=0.25。写出相应的线性元的各个基函数，并图示。习题2 假设如习题1，并设，具体写出线性元有限元方程相应的线性方程组。习题3 仿照32，将Crank-Nicolson格式33写成线性方程组形式。习题4 将边界条件3换成，试推出相应于14的有限元方程。第 7 页