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1、特殊的平行四边形讲义 知识点归纳矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定有三个角是直角;是平行四边形且有一个角是直角;是平行四边形且两条对角线相等.四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是平行四边形且两条对角线互相垂直。是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角。对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形矩形，菱形与正方形之间的联系如下表所示：四边形分类专题汇总专题一：特殊四边形的判定【知识点】1.平行四边形的
2、判定方法：1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 2.矩形的判定方法：1_ 2_ 3_ 3.菱形的判定方法：1_ 2_ 3_ 4.正方形的判定方法：1_ 2_ 3_ 5.等腰梯形的判定方法：1_ 2_ 3_ 【练一练】一选择题1能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是 AABCD，AD=BC BA=B，C=D CAB=CD，AD=BC DAB=AD，CB=CD2具备以下条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为 A相邻的角互补 B两组对角分别相等 C一组对边平行，另一组对边相等 D对角线交点是两对角线中点3.以下条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边
3、平行，一组对角相等C.一组对边平行，一组邻角互补 D.一组对边相等，一组邻角相等4如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，以下判断正确的选项是 A假设AO=OC，那么ABCD是平行四边形; B假设AC=BD，那么ABCD是平行四边形; C假设AO=BO，CO=DO，那么ABCD是平行四边形;D假设AO=OC，BO=OD，那么ABCD是平行四边形 5不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是 AAB=CD，AD=BC BABCD，AB=CDCAB=CD，ADBC DABCD，ADBC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是 AAO=CO，BO=DO BAO=BO=CO=DOCA
4、B=BC，AO=CO DAO=CO，BO=DO，ACBD，要使它变为矩形，需要添加的条件是 AAB=CD BAD=BC CAB=BC DAC=BD8.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，以下条件能判定这个四边形是正方形的是 A、ACBD，ABCD，ABCD B、ADBC，ACC、AOBOCODO，ACBD D、ACCO，BODO，ABBC9.在以下命题中，真命题是 两条对角线相等的四边形是矩形 两条对角线互相垂直的四边形是菱形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形10.在以下命题中，正确的选项是 A一组对边平行的四边形是平行四边形 B有一个角是直角的四
5、边形是矩形C有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形11.如图，四边形ABCD是平行四边形，以下结论中不正确的选项是 A当AB=BC时，它是菱形 B当ACBD时，它是菱形DCBAC当ABC=900时，它是矩形 D当AC=BD时，它是正方形12.如图，在中，点分别在边，上，且，以下四个判断中，不正确的选项是A四边形是平行四边形 B如果，那么四边形是矩形C如果平分，那么四边形是菱形D如果且，那么四边形是菱形13.以下条件中不能判定四边形是正方形的条件是 。A、对角线互相垂直且相等的四边形 B、一条对角线平分一组对角的矩形C、对角线相等的棱形 D、对角线互相垂直的矩形1
6、4.以下命题中，假命题是 。A、四个内角都相等的四边形是矩形 B、四条边都相等的平行四边形是正方形C、既是菱形又是矩形的四边形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形中，是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是 。A、， B、，C、， D、，16.以下命题正确的选项是 A对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 C对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D对角线相等的四边形是等腰梯形17.如图，四边形ABCD是平行四边形，以下结论中不正确的选项是 A、当AB=BC时，它是菱形 B、当ACBD时，它是菱形C、当ABC=90时，它是矩形 D、当AC=BD是，它
7、是正方形18.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是 一矩形例1：假设矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，那么该矩形的面积为 例2：菱形具有而矩形不具有的性质是 A 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等；D.邻角互补例3： ：如图， ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形二菱形例1：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F求证：四边形AFCE是菱形例2、如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，假设AB=AE,EAD=2BAE。求证：AM=BE。例3中考题如图，在菱形ABCD中，A=60
8、,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OEAB，垂足为E求线段的长例4、如图，四边形ABCD是菱形，DEAB交BA的延长线于E，DFBC，交BC的延长线于F。请你猜测DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜测例5、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.1求证：BDEBCF； 2判断BEF的形状，并说明理由；3设BEF的面积为S，求S的取值范围.三正方形例1、2021海南如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点P与A、C不重合，点E在射线BC上，且PE=PB.ABCPDE1求证： PE=PD ； PEPD；2设AP=x,
9、PBE的面积为y. 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.专题二：矩形的有关线段计算1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC题2B F CA H DE G，BD交于点O，AB=2.5，那么AC的长为 。2. 如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，假设EH3厘米，EF4厘米，那么边AD的长是_厘米.3. 如图，矩形中，过对角线交点作交于那么的长是 A1.6 B2.5 C3 D4. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，那么AG的长为 AGDBCA
10、A1 B C D25. 将矩形纸片ABCD按如下图的方式折叠，AE、EF为折痕，BAE30，AB，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处那么BC的长为 A、 B、2 C、3 D、6. 黄冈)如图矩形纸片ABCD，AB5cm，BC10cm，CD上有一点E，ED2cm，AD上有一点P，PD3cm，过P作PFAD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，那么PQ的长是_cm.ABCFE题11D7. 把一张矩形纸片矩形ABCD按如图方式折叠，使顶点B与点D重合，折痕为EF假设AB = 3 cm，BC = 5 cm，那么重叠局部DEF的面积是 cm2ABB1
11、CDE8. 如图(十二)，长方形ABCD中，E为中点，作的角平分线交于F点。假设6，16，那么的长度为 A4 B5 C6 D8 9. 如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，那么折痕EF的长为_cm.10. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB2cm，点E在BC上，且AECE假设将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，那么AC cm专题三：菱形的有关线段计算1. 一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是43，那么这个菱形的面积是 A12cm2 B 24cm2 C 48cm2 D 96cm2 2. .假设一个菱形的边长为2，那么这个菱形两条对角线的平方与为 A 1
12、6 B 8 C 4 D 13. 如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PEAB于点E，PE4cADCEBm，那么点P到BC的距离是_cm. 4. 菱形ABCD中，B60，AB2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，那么AEF的周长为 A B C D 5. 菱形的面积是，对角线cm，那么菱形的边长是_cm；6. 菱形中，垂直平分，垂足为，那么，菱形的面积是 ，对角线的长是 7. 菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BAD=120，AC=4，那么该菱形的面积是A、16B、16 C、8D、88. 如图为菱形ABCD与ABE的重迭情形，其中D在BE上假设AB=17，BD=16，
13、AE=25，那么DE的长度为何A、8B、9C、11D、129. 如下图，将两张等宽的长方形纸条穿插叠放，重叠局部是一个四边形ABCD，假设AD=6cm，ABC=60，那么四边形ABCD的面积等于 cm2专题四：正方形的有关线段计算1. 如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A，折痕交AD于点E,假设M、N分别是AD、BC边的中点，那么AN= ; 2. 如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，那么图中阴影局部的面积是 cm2BCEADF3. 如图，将边长为8的正方形AB
14、CD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，那么线段CN的长是 A3cNMFEDCBA题3m B4cm C5cm D6cm4. 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，1=2 ， 3=4. 1证明：ABEDAF；2假设AGB=30，求EF的长.5. 如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，那么的长是BA专题五：有关特殊四边形的角度计算1. 如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，那么ACP度数是 2. 如图，矩形DABCml65的顶点在直线上
15、，那么DCBAEP 度ADEPCBFBCDAP3. 如图，在菱形ABCD中，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，那么_度4. 如图，在菱形ABCD中，A=110，E，F分别是边AB与BC的中点，EPCD于点P，那么FPC= A35 B45 C50 D555. 如图19，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C处，折痕为EF，假设ABE20，那么EFC的度数为 度6. 如图，矩形纸片，点是的中点，点是上的一点，现沿直线将纸片折叠，使点落在约片上的点处，连接，那么与相等的角的个数为 A.4 B.四边形动点专题： 专题一：证明与计算与中点相关的证明，或构造平行四边形
16、将条件集中，或构造出中位线等等。1.如图l，在四边形A8CD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N，那么BME=CNE(不需证明)(温馨提示：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，可证得HE=HF，从而HFE=HEF，再利用平行线的性质，可证得BME=CNE)问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断OMN的形状，请直接写出结论问题二：如图3，在ABC中，ACAB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别
17、是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G， 假设EFC=600，连结GD，判断AGD的形状并证明ACBDFENMOEBCDHAFNM12图1图2图3ABCDFGE2.在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点四边形BCGF与CDHN都是正方形AE的中点是M1如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FMMH；2将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：FMH是等腰直角三角形；3将图2中的CE缩短到图14-3的情况，FMH还是等腰直角三角形吗？ AHCDE图3BFGMNG图2AHCDEBFNM图1AHC(
18、M)DEBFG(N)3.正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG1求证：EG=CG；2将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问1中的结论是否仍然成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由FBADCEG图FBADCEG图DFBACE图3将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问1中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？4.：在RtABC中，AB=BC，在RtADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM与BM1假设点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索BM、DM的关系并给予证明； 图图2如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么1中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明第 12 页