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1、椭圆焦点三角形四心的轨迹北京市日坛中学延静里校区 邱继勇 100025 对椭圆的焦点三角形的研究，是考察学生根底知识、根本技能、根本方法与三者综合运用能力的重要载体，是历年高考与高考复习的重要内容；同时，利用几何画板绘制动态图形的功能，可以为研究几何图形性质提供更加简洁的思路，可以更好的表达几何学的本质下面介绍利用几何画板，研究椭圆：焦点三角形四心轨迹的过程一、 椭圆：焦点三角形内心的轨迹及其方程：利用几何画板，先画出它的轨迹，再求它的方程 利用参数方程，绘制椭圆： 绘制点，并且作出焦点三角形，如图1 作出与角平分线，设交点为I，如图2 使点P在椭圆上运动，观察点I的运动轨迹，如图3图1 图2
2、 图3 下面求它的轨迹方程：解：如图4，设点P，内心为，焦点，那么过内心I作垂直于点 点I是的内心，点是内切圆的切点， 图4 由切线长定理，得方程组：，结合，解得：而， ，既又 面积，既= 将代入，得可知，椭圆焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆，它的离心率是二、椭圆：焦点三角形重心的轨迹及其方程：椭圆：焦点三角形重心的轨迹仍是一个椭圆，如图5，它的离心率与的离心率一样，方程为解法略去 图5三、椭圆：焦点三角形垂心的轨迹及其方程：我们还是利用几何画板，先画出它的轨迹，再求它的方程如图(6)它的轨迹是关于原点对称的两条抛物线吗？我们通过它的方程来答复这个问题图(6)解：如图7，设点P，垂心为，焦点，那
3、么，=0 图7又 ， 而， 将式代入式，整理得： 由方程可以看出，椭圆焦点三角形垂心的轨迹不是两条抛物线，它与哪些初等函数图象有关？请大家思考四、椭圆：焦点三角形的外心的轨迹及其方程由于轴是椭圆焦点三角形的一条边的中垂线，所以，可以判断出外心的轨迹是轴或轴的一局部，利用几何画板画出的轨迹图形可以说明这一点，如图8下面求焦点三角形外心W的运动范围解：设点P，外心为，焦点由，得： 图8整理，得：可知，椭圆：焦点三角形的外心的轨迹或者是轴，或者是轴上的两条射线从上面求椭圆：焦点三角形的四心的轨迹及其方程的过程来看，比拟充分的表达了“利用方程研究图形的解析几何根本内容；显示了几何画板在研究几何问题中，直观、生动、引发思考的巨大作用事实上，通过对课件的观察，我们还可以得到更多的、开放性的问题，如欧拉线的问题等，这里不在讨论，请读者通过链接的课件的自己研究焦点三角形的四操作步骤： 以内心轨迹形成为例 点击 出现三角形的角平分线与内心“I 点击出现点P运动，并角平分线交点“I形成内心轨迹 再点击停顿运动，可以观察图形性质再点击角平分线及交点“I隐藏第 5 页