《云南省昆明市第一中学高中新课标2023届高三第一次摸底测试数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《云南省昆明市第一中学高中新课标2023届高三第一次摸底测试数学试题含答案.pdf（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1页/共 26页（北京）股份有限昆明市第一中学昆明市第一中学 2023 届高中新课标高三第一次摸底测试届高中新课标高三第一次摸底测试数学试卷数学试卷考试时间：考试时间：8 月月 17 日日 15：00-17：00一一 单选题：本题共单选题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知复数z满足322i(1 i)z，则z的虚部为（）A.iB.iC.1D.12.设集合*ln1,2,1,0,1,2AxxB N，则BA（）A.2,1B.2,1,0C.D.2,1,0,
2、1,23.函数 yf x的图像与函数3xy 的图像关于直线yx对称，则 39ff（）A.1B.2C.3D.44.已知从双曲线虚轴的一个端点看两个顶点的视角为60，则该双曲线的离心率为（）A.33B.3C.2D.45.2021 年 5 月 15 日 7 时 18 分，我国首个自主研发的火星探测器“天问一号”，在经历了 296 天的太空之旅，总距离约4.7亿公里的飞行后，天问一号火星探测器所携带的祝融号火星车及其着陆组合体，成功降落在火星北半球的乌托邦平原南部，实现了中国航天史无前例的突破.已知地球自转的线速度约为火星自转线速度的两倍，地球自转一周为 24 小时，而火星自转一周约为 25 小时.地
3、球与火星均视为球体，则火星的表面积约为地球表面积的（）A.27%B.37%C.47%D.57%6.某圆台上底面圆的半径为 1，下底面圆半径为 2，侧面积为3 2，则该圆台的体积为（）A.3B.73C.53D.237.某师范类高校要安排 6 名大学生到 3 个高级中学进行教育教学实习，每个中学至少安排 1 人，其中甲中学至少要安排 3 人实习，则不同的安排方法种数为（）A.30B.60C.120D.150第 2页/共 26页（北京）股份有限8.若ln2ln3ln 8,232 2abc，则（）A.abcB.bcaC.acbD.cba二二 多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题
4、5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下列说法正确的是（）A.相关系数r的绝对值越大，变量的线性相关性越强B.某人每次射击击中目标的概率为23，若他射击 6 次，击中目标的次数为X，则4E X C.若随机变量X满足2,XN，且(6)(2)0.2P XP X，则(26)0.3PXD.若样本数据12105,5,5xxx的方差是 12，则数据1210,x xx的方差是 710.如图，正方体1111ABCDAB
5、C D中，P是线段11AC上的动点，则（）A.11AC 平面1ABDB.111ACD BC.11AC与1AD所成角的余弦值为12D.三棱锥1ACPD的体积为定值11.已知抛物线2:2(0)C xpy p上的动点M到焦点F的距离最小值是 3，经过点2,1P的直线l与C有且仅有一个公共点，直线PF与C交于,A B，则（）A.抛物线C的方程为26xyB.满足条件的直线l有 2 条C.焦点F到直线l的距离为 2 或3 2或10第 3页/共 26页（北京）股份有限D.60AB 12.已知函数*Nf xx与*Ng xx满足：11f，1234.2fffffxfxx，g xf xfx，则下列结论正确的是（）A
6、.fx在定义域内单调递增B.11123.10212ffffC.g x在定义域内单调递减D.当*Nx时，存在*Nt使得 20g xg xt成立三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知圆221:3100Oxyxy和圆222:240Oxyy交于,A B两点，则直线AB的方程是_.14.若函数 sincosf xaxx的图像关于直线6x对称，则a_.15.已知任意平面向量,ABx y，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量cossin,sincosxyxyAP，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点1,1A，点13,
7、0B ，把点B绕点A沿逆时针方向旋转53得到点P，则向量AB在向量AP上的投影向量为_.（用坐标作答）16.已知函数 e1xf xt xxx在区间0,上有且只有一个极值点，则实数t的取值范围为_.四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.已知ABC的内角,A B C所对边分别为,a b c，且222sinsinsin2sin sinABCBC.（1）求A；（2）若3a，求ABC面积的最大值.18.已知数列 na的前n项和为,0nnS a，且2241nnnaaS.（1）求 na的通项公式
8、；第 4页/共 26页（北京）股份有限（2）设1nnnnSba a的前n项和为nT，求nT.19.如图，三棱柱111ABCABC中，平面ABC 平面1111,2,60AAC C ABAC AAABACA AC，过1A A的平面交线段11BC于点E（不与端点重合），交线段BC于点F.（1）证明：1/AAEF；（2）若2BFFC，求直线11AC与平面1AFC所成角的正弦值.20.甲乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金 256 元，谁先赢满 5 局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为(01)pp，甲赢的概率为1p，每局游戏相互独立，在乙赢了 3 局甲赢了 1 局的情况下，游戏设备出现了故障，
9、游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢 5 局且游戏意外终止的情况，则甲乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比:PP甲乙分配奖金.（1）若34p，则乙应该得多少奖金；（2）记事件 A 为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率 fA，并判断当23p时，事件 A 是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于0.05，则称随机事件为小概率事件）21.已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左右焦点分别为12,F F，且焦距长为 2，过1F且斜率为24的直线与椭圆E的一个交点在x轴
10、上的射影恰好为2F.第 5页/共 26页（北京）股份有限（1）求椭圆E的方程；（2）如图，下顶点为A，过点0,2B作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于,C D两点，直线,AD AC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点.求证：ABG与AOH的面积之积为定值，并求出该定值.22.已知函数 ln1f xxax且 0f x 恒成立.（1）求实数a；（2）若函数 g x满足 2*2111,1,2ngg ng nnnnN，证明：eg n.第 6页/共 26页（北京）股份有限昆明市第一中学昆明市第一中学 2023 届高中新课标高三第一次摸底测试届高中新课标高三第一次摸底测试数学试卷数学试卷考试时间：考
11、试时间：8 月月 17 日日 15：00-17：00一一 单选题：本题共单选题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知复数z满足322i(1 i)z，则z的虚部为（）A.iB.iC.1D.1【答案】D【解析】【分析】利用复数概念、复数的四则运算求解.【详解】3222222i2i2i(2i)i2ii12i1i(1 i)1i2i2i2i222z，所以z的虚部为-1.故 A，B，C 错误.故选：D.2.设集合*ln1,2,1,0,1,2AxxB N，则BA（）A
12、.2,1B.2,1,0C.D.2,1,0,1,2【答案】B【解析】【分析】通过解对数不等式以及集合的补集运算求解.【详解】因为*ln1AxxN，由ln1x 有：0ex，所以1,2A，又2,1,0,1,2B ，所以2,1,0BA，故 A，C，D 错误.故选：B.3.函数 yf x的图像与函数3xy 的图像关于直线yx对称，则 39ff（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】第 7页/共 26页（北京）股份有限【分析】利用反函数以及对数的运算性质求解.【详解】因为 yf x的图像与函数3xy 的图像关于直线yx对称，所以 3logf xx，所以 3339log 3log 9123ff，故 A
13、，B，D 错误.故选：C.4.已知从双曲线虚轴的一个端点看两个顶点的视角为60，则该双曲线的离心率为（）A.33B.3C.2D.4【答案】C【解析】【分析】设双曲线的半实轴长为a，半虚轴长为b，根据题意可得,a b的关系，再结合双曲线基本量的关系求解即可.【详解】由题意，设双曲线的半实轴长为a，半虚轴长为b，设双曲线虚轴的一个端点B看两个顶点12,A A的视角为60，则12A BA为正三角形.则无论双曲线的焦点在x还是y轴时，都有tan603ba，故离心率为2212ba.故选：C5.2021 年 5 月 15 日 7 时 18 分，我国首个自主研发的火星探测器“天问一号”，在经历了 296 天
14、的太空之旅，总距离约4.7亿公里的飞行后，天问一号火星探测器所携带的祝融号火星车及其着陆组合体，成功降落在火第 8页/共 26页（北京）股份有限星北半球的乌托邦平原南部，实现了中国航天史无前例的突破.已知地球自转的线速度约为火星自转线速度的两倍，地球自转一周为 24 小时，而火星自转一周约为 25 小时.地球与火星均视为球体，则火星的表面积约为地球表面积的（）A.27%B.37%C.47%D.57%【答案】A【解析】【分析】令地球、火星半径分别为,R r，结合题设有2548rR，应用球体表面积公式即可得火星的表面积相对地球表面积的数量关系.【详解】令地球、火星半径分别为,R r，则222242
15、5Rr，故2548rR，所以火星的表面积约为地球表面积22427%4rR.故选：A6.某圆台上底面圆的半径为 1，下底面圆半径为 2，侧面积为3 2，则该圆台的体积为（）A.3B.73C.53D.23【答案】B【解析】【分析】根据圆台的侧面积和体积公式，结合题意，准确运算，即可求解.【详解】设圆台的母线长为l，高为h，因为圆台上底面圆的半径为 1，下底面圆半径为 2，侧面积为3 2，可得()(2 1)3 2Rrll ，解得2l，所以圆台的高为222()2(2 1)1hlRr，所以圆台的体积为22117()(42 1)1333VRRrrh.故选：B.7.某师范类高校要安排 6 名大学生到 3 个
16、高级中学进行教育教学实习，每个中学至少安排 1 人，其中甲中学至少要安排 3 人实习，则不同的安排方法种数为（）A.30B.60C.120D.150【答案】D第 9页/共 26页（北京）股份有限【解析】【分析】根据题意，分甲中学安排 3 人实习和安排 4 人实习两种情况讨论求解即可.【详解】解：当甲中学安排 3 人实习时，有322632C C A120种可能的情况；当甲中学安排 4 人实习时，有4262C A30种可能的情况，所以，满足条件的安排方法有12030150种.故选：D8.若ln2ln3ln 8,232 2abc，则（）A.abcB.bcaC.acbD.cba【答案】A【解析】【分析
17、】设 ln xf xx，用导数判断出 f x的单调性由此判断cb、的大小，再利用做差法可判断ab、的大小，可得答案.【详解】设 ln xf xx，则21 ln()0 xfxxx，当0,ex时，()0fx，所以()f x在(0,e)上递增，()f x在e，上递减，因为e2 23，所以 2 23ff，cb，因为ln3ln22ln33ln2ln9ln803266ba，所以ba；故abc.故选：A.二二 多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求题目要求.全部选对的得全部选对
18、的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下列说法正确的是（）A.相关系数r的绝对值越大，变量的线性相关性越强B.某人每次射击击中目标的概率为23，若他射击 6 次，击中目标的次数为X，则4E X C.若随机变量X满足2,XN，且(6)(2)0.2P XP X，则(26)0.3PXD.若样本数据12105,5,5xxx的方差是 12，则数据1210,x xx的方差是 7第 10页/共 26页（北京）股份有限【答案】ABC【解析】【分析】由相关系数的实际意义判断 A；应用二项分布期望公式求X的期望判断 B；根据正态分布对称性及已知条件得2，再由对
19、称性求概率判断 C；利用方差的性质求原数据的方差判断 D.【详解】A：由相关系数的实际意义：绝对值越大，变量线性相关性越强，正确；B：由题意，击中目标的次数X服从2(6,)3B分布，故2()643E X，正确；C：根据正态分布的对称性及已知条件知：2，故(26)0.5(6)0.3PXP X，正确；D：由(5)12D X，故数据1210,x xx的方差()12D X，错误.故选：ABC10.如图，正方体1111ABCDABC D中，P是线段11AC上的动点，则（）A.11AC 平面1ABDB.111ACD BC.11AC与1AD所成角的余弦值为12D.三棱锥1ACPD的体积为定值【答案】BCD【
20、解析】【分析】利用线面垂直定理、异面直线所成角的求法以及棱锥的体积公式求解判断.【详解】对于选项 A，正方体1111ABCDABC D中，11ADAD，1ADAB,又1ADABA，所以1AD 平面1ABD，又1111ADACA，故 A 不正确；第 11页/共 26页（北京）股份有限对于选项 B,正方体1111ABCDABC D中，1111ACB D，111ACBB,又1111B DBBB，所以11AC 平面11BDD B，又1D B 平面11BDD B，所以111ACD B，故 B 正确；对于选项 C,正方体1111ABCDABC D中，11/ADBC，所以11AC与1AD所成角即为11AC与
21、1BC所成角，因为11ABCV是等边三角形，所以11AC与1BC所成角为3，即11AC与1AD所成角的余弦值为12，故 C 正确；对于选项 D,正方体1111ABCDABC D中，因为11/ACAC，所以无论P在线段11AC上怎么移动，点P到平面1ACD的距离是定值，又1ACD的面积是定值，11A CPDP ACDVV，所以即三棱锥1ACPD的体积为定值，故 D 正确.第 12页/共 26页（北京）股份有限故选：BCD.11.已知抛物线2:2(0)C xpy p上的动点M到焦点F的距离最小值是 3，经过点2,1P的直线l与C有且仅有一个公共点，直线PF与C交于,A B，则（）A.抛物线C的方程
22、为26xyB.满足条件的直线l有 2 条C.焦点F到直线l的距离为 2 或3 2或10D.60AB【答案】CD【解析】【分析】由题设可得32p=即可得抛物线方程，设过 P 的直线方程并联立抛物线得到一元二次方程，由0 求切线方程，结合点与抛物线位置判断交点只有一个的直线条数，再由点线距离公式求F到直线l的距离，写出PF的方程弦长公式求AB.【详解】由题设知：32p=，则6p=，故2:12C xy且(0,3)F，A 错误；因为2,1P在C外，令过 P 的直线(2)1yk x与C相切，所以21224120 xkxk，若214496480kk，可得13k 或1k，故310 xy、30 xy与C相切，
23、又2x 与C只有一个交点，所以过2,1P与C有且仅有一个公共点的直线共有三条，B 错误；对于310 xy，F到直线l的距离1|09 1|101 9d；对于30 xy，F到直线l的距离2|033|3 21 1d；第 13页/共 26页（北京）股份有限对于2x，F到直线l的距离32d，C 正确；由题设，PF为230 xy，联立2:12C xy，可得224360 xx，则24,36ABABxxx x ，故221|5(24)4(36)60ABABkxx ，D 正确.故选：CD12.已知函数*Nf xx与*Ng xx满足：11f，1234.2fffffxfxx，g xf xfx，则下列结论正确的是（）A
24、.fx在定义域内单调递增B.11123.10212ffffC.g x在定义域内单调递减D.当*Nx时，存在*Nt使得 20g xg xt成立【答案】ABD【解析】【分析】先根据，利用累加法可得 21xf x，进而得到 22xxg x【详解】由 1234.2fffffxfxx得 1234.1211fffff xf xx，两式相减可得：2211f xf xf x，即 1211f xf x.故 211211221.2112xxf xf xf xf，所以 21xf x*Nx，故 222211xxxxg x*Nx.对 A，21xf x 在定义域*Nx内为增函数，正确；对 B，1011123.102101
25、022110212fffff，故 B 正确；对 C，22xxg x*Nx为增函数，故 C 错误；对 D，因为 22xxgxg x，故当*Nx时，g x为奇函数，又 g x为增函数，故 20g xg xt即 22g xg xtg tx，所以题意转化为存在tR使得2xtx 成立，第 14页/共 26页（北京）股份有限即2xxt有解，因为2211224yxxx，显然成立，故 D 正确；故选：ABD三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知圆221:3100Oxyxy和圆222:240Oxyy交于,A B两点，则直线AB的方程是_.【答案
26、】360 xy【解析】【分析】由两圆相交弦方程为两圆方程相减得到，将已知圆的方程相减即可得结果.【详解】由两圆相交，则交线AB的方程由两圆方程相减得到，所以直线AB的方程是360 xy.故答案为：360 xy14.若函数 sincosf xaxx的图像关于直线6x对称，则a_.【答案】33【解析】【分析】由题知216fa，进而解方程即可得答案.【详解】解：因为函数 sincosf xaxx的图像关于直线6x对称，所以函数 sincosf xaxx在6x时取得最值，所以，结合辅助角公式得：216fa，即213122aa，整理得：2232 31310aaa，解得33a.故答案为：3315.已知任意
27、平面向量,ABx y，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量cossin,sincosxyxyAP，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点第 15页/共 26页（北京）股份有限1,1A，点13,0B ，把点B绕点A沿逆时针方向旋转53得到点P，则向量AB在向量AP上的投影向量为_.（用坐标作答）【答案】(0,1)【解析】【分析】设点,P m n，求出0,2AP，再利用投影向量的公式求解.【详解】解：设点,P m n，则1,1mnAP，根据题意若将AP逆时针旋转3，即可得AB，故1 cos1 sin,1 sin1 cos3333ABmnmn，整理得3131+11,2222nm
28、mnAB，而由 A、B 两点坐标可知3,1AB，故：13(1)32231(1)122mnnm，解得11mn ，则点 P 的坐标为1,1，所以0,2AP.所以向量AB在向量AP上的投影向量为22(0,2)(0,1)4|AB APAPAP故答案为：(0,1)16.已知函数 e1xf xt xxx在区间0,上有且只有一个极值点，则实数t的取值范围为_.【答案】(,1【解析】【分析】根据题意转化为 0fx在0,只有一个实数根，进而转化为方程1e()0 xt x在区间0,上没有实数根，得出yt与 e1xg xx的图象在0,上没有交点，利用导数求得 g x的单调性与最值，即可求解.第 16页/共 26页（
29、北京）股份有限【详解】由题意，函数 e1xf xt xxx，可得 22222(1)(1)(1)(1)(1)e1ee1xxxxxt xxt xfxtxxxx，因为函数 f x在区间0,上有且只有一个极值点，所以 0fx在区间0,上有且只有一个实数根，即方程2(1)(1e)0 xxxt x在区间0,上有且只有一个实数根，因为1x 时方程2(1)(1e)0 xxxt x的根，所以方程1e()0 xt x在区间0,上没有实数根，即方程,0e1xtxx在区间0,上没有实数根，等价于yt与 e1xg xx的图象在0,上没有交点，又由 22(1)0(1)(1eee)xxxxxgxxx，所以 g x在0,上单
30、调递增，所以 min01g xg，且当x 时，g x，所以1t，即实数t的取值范围是(,1.故答案为：(,1.四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.已知ABC的内角,A B C所对边分别为,a b c，且222sinsinsin2sin sinABCBC.（1）求A；（2）若3a，求ABC面积的最大值.【答案】（1）4（2）()32 14+【解析】第 17页/共 26页（北京）股份有限【分析】（1）将已知条件由正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求解；（2）结合（1）由基本不等式及三
31、角形的面积公式即可求解.【小问 1 详解】解：在ABC中，因为222sinsinsin2sin sinABCBC，所以由正弦定理可得2222abcbc，即2222cbabc，所以2222cos22cbaAbc，因为0A，所以4A；【小问 2 详解】解：3a 时，由（1）可得223222cbbcbcbc，所以()3322222bc=+-，当且仅当bc时等号成立，所以()()11323sin222 122224ABCSbcA=+，所以ABC面积的最大值为()32 14+.18.已知数列 na的前n项和为,0nnS a，且2241nnnaaS.（1）求 na的通项公式；（2）设1nnnnSba a的
32、前n项和为nT，求nT.【答案】（1）21nan（2）242nnnTn【解析】【分析】（1）先用1n替换原式中的n，然后两式作差，结合na与nS的关系，即可得到 na为等差数列，从而得到其通项.（2）由（1）的结论，求得nS及1na，代入1nnnnSba a化简，得到nT的式子，裂项相消即可.【小问 1 详解】第 18页/共 26页（北京）股份有限2241nnnaaSQ，2111241nnnaaS，两式作差得:1120nnnnaaaa，102nnnaaa Q，na成等差数列，又当1n 时，2110a，所以11a 即11221nann【小问 2 详解】由（1）知21nan，则1212122nnn
33、 aannSn，即21111212142121nnnnSnba annnn111148 2121nn，故1111111483352121nnTnnL2111482148442nnnnnnnn.19.如图，三棱柱111ABCABC中，平面ABC 平面1111,2,60AAC C ABAC AAABACA AC，过1A A的平面交线段11BC于点E（不与端点重合），交线段BC于点F.第 19页/共 26页（北京）股份有限（1）证明：1/AAEF；（2）若2BFFC，求直线11AC与平面1AFC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】【分析】（1）由棱柱的性质有11/AACC，
34、根据线面平行的判定可得1/AA面11BCC B，再由线面平行的性质证结论.（2）构建空间直角坐标系，求11AC的方向向量和面1AFC的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.【小问 1 详解】在三棱柱111ABCABC中11/AACC，1AA 面11BCC B，1CC 面11BCC B，所以1/AA面11BCC B，又过1A A的平面1AAEF 面11BCC BEF，所以1/AAEF.【小问 2 详解】面ABC 面11,AAC C ABAC面ABC 面11,AAC CACAB面ABC，所以AB 面11,AAC CAC 面11,AAC C则ABAC，过A作Az 面ABC，则可构建A为
35、原点，,AB AC Az为,x y z轴的空间直角坐标系，又112,60AAABACA AC，且2BFFC，所以1(0,1,3)A，1(0,3,3)C，(0,0,0)A，2 4(,0)3 3F，第 20页/共 26页（北京）股份有限则11(0,2,0)AC，1(0,3,3)AC ，2 4(,0)3 3AF ，若(,)mx y z为面1AFC的法向量，则133024033m ACyzm AFxy ，令1y，即(2,1,3)m ，所以1122cos,42 2 2m AC，直线11AC与平面1AFC所成角的正弦值为24.20.甲乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金 256 元，谁先赢满 5 局，谁便赢
36、得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为(01)pp，甲赢的概率为1p，每局游戏相互独立，在乙赢了 3 局甲赢了 1 局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢 5 局且游戏意外终止的情况，则甲乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比:PP甲乙分配奖金.（1）若34p，则乙应该得多少奖金；（2）记事件 A 为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率 fA，并判断当23p时，事件 A 是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于0.05，则称随机事件为小概
37、率事件）【答案】（1）252（元）（2）事件 A 是小概率事件，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据已知，利用二项分布、相互独立事件、和事件的概率公式计算概率，再进行求解.（2）利用概率公式计算概率，转化为函数问题，再利用导数研究最值，再根据结果进行判断.【小问 1 详解】第 21页/共 26页（北京）股份有限设游戏再继续进行下去 X 局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.由题知，当2X 时，乙以5:1赢，所以339(2)4416P X，当3X 时，乙以5:2赢，所以1233118(3)C44464P X，当4X 时，乙以5:3赢，所以12333127(4)C()444256P X，当5X
38、时，乙以5:4赢，所以1343319(5)C()444256P X，所以乙赢得全部奖金的概率为9182792521664256256256，所以乙应该得多少奖金为252256252256（元）.【小问 2 详解】设游戏继续进行 Y 局甲获得全部奖金，则最后一局必然甲赢.由题知，当4Y 时，甲以5:3赢，所以4(4)(1)P Yp，当5Y 时，甲以5:4赢，所以3344(5)(1)C(1)4(1)P Yppppp，甲获得全部奖金的概率 444(1)4(1)(41)(1)ppppfpA，所以 4442(1)4(1)(41)(1),1)3pppppApf，所以 4333(1)(41)4(1)4(1)
39、(141)420(1)fApppppppp，2,1)3p，320(1)0pfAp，fA在2,1)3上单调递减，所以 45max211111()()0.0450.053333fAf，故事件 A 是小概率事件.21.已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左右焦点分别为12,F F，且焦距长为 2，过1F且斜率为24的直线与椭圆E的一个交点在x轴上的射影恰好为2F.第 22页/共 26页（北京）股份有限（1）求椭圆E的方程；（2）如图，下顶点为A，过点0,2B作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于,C D两点，直线,AD AC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点.求证：ABG与AOH的面积之
40、积为定值，并求出该定值.【答案】（1）2212xy（2）证明见解析，定值为12【解析】【分析】（1）写出直线方程，取1x 求得y值，得到直线与椭圆的交点，再由已知列关于a，b的方程组，求解a，b的值，则椭圆方程可求；（2）由题意知，直线BC的斜率存在，设直线:2BC ykx，由椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得D，C横纵坐标的和与积，分别写出AD，AC的方程，求得H与G的坐标，再写出两三角形面积的乘积，结合根与系数的关系可得ABG与AOH的面积之积为定值12【小问 1 详解】由题意，11,0F，21,0F，故过1F且斜率为24的直线的方程为2(1)4yx，令1x，得22y，由题意可得2222
41、11112abab，解得22a，21b 求椭圆E的方程为2212xy；【小问 2 详解】证明：由题意知，直线BC的斜率存在，设直线:2BC ykx，第 23页/共 26页（北京）股份有限1(D x，1)y，2(C x，2)y，联立22212ykxxy，得22(12)860kxkx122812kxxk，122612x xk，由216240k，得232k，121224()412yyk xxk，2212121212242(2)(2)2()412ky ykxkxk x xk xxk，直线AD的方程为1111yyxx，令0y，解得111xxy，则11(1xHy，0)，同理可得22(1xGy，0)，121
42、212121131|3|21214(1)(1)ABGAOHxxx xSSyyyy 2122221212226333636112|4424 144 1244249211212x xkkyyy ykkkk【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题22.已知函数 ln1f xxax且 0f x 恒成立.（1）求实数a；（2）若函数 g x满足 2*2111,1,2ngg ng nnnnN，证明：eg n.【答案】（1）1（2
43、）证明见解析【解析】【分析】（1）0a 时 0fx，由 f x单调性判断不符合题意；0a 时，利用导数判断出 11ln f xf aaaa，令 1ln0h xxxx x，由导数可得 10h xh，而1ln0aaa 恒成立，即1ln0aaa，结合单调性可得答案；第 24页/共 26页（北京）股份有限（2）由（1）ln1xx恒成立，转化为2211ln1nn，取对数 22211lnlnln1ln1ng ng ng nnn，利用裂项相消可得 ln g n111n，可得答案.【小问 1 详解】11111 axafxxxx，当0a 时 0fx，f x单调递增，而 00ln10fa，即10 x 时 0f x
44、 不合题意，故0a，当1xa时 0fx，f x单调递增，当11xa 时 0fx，f x单调递减，所以 11ln f xf aaaa，因为 0f x 恒成立，即1ln0aaa 恒成立，令 1ln0 h xxxx x，1 ln1lnh xxx ，当01x时，0h x，h x单调递增，当1x 时，0h x，h x单调递减，所以 11 1 ln10 h xh，而1ln0aaa 恒成立，即1ln0aaa，可得1a；【小问 2 详解】由（1）ln10f xxx恒成立，所以ln1xx恒成立，当且仅当0 x 时等号成立，所以2211ln1nn，因为 2211ng ng nn，所以 22211lnlnln1ln1ng ng ng nnn，第 25页/共 26页（北京）股份有限因为 11ln2ln144gg，所以 142eeg，且 11e g，当3n 时，lnlnln1ln1ln2ln2ln1g ng ng ng ng ngg，又因为 21lnln1g ng nn，所以 22111111ln41122 11g nnn nnnn1111111212 nnnn111n，所以 ln1g n，即 eg n，综上所述，eg n.【点睛】方法点睛：数列放缩的向包含两层意思：1.放缩成什么形式；2.放大还是缩小.要根据不等式符号决定放大还是放小.常用的放缩方向：朝等比放缩和朝裂项相消法放缩.