《山西省忻州市2023届高三上学期第二次联考数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山西省忻州市2023届高三上学期第二次联考数学试题含答案.pdf（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1页/共 26页（北京）股份有限山西省忻州市山西省忻州市 20232023 届高三上学期第二次联考数学试题届高三上学期第二次联考数学试题考生注意：考生注意：1.本试卷分第本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150 分分.考试时间考试时间 120 分钟分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 不等式不等式 函数与导数函数与导数 三角函数与解三角形三角函数与解三角形 平面平面向量与复数占向量与复数占 70%，其他内容占，其他
2、内容占 30%.第第 I 卷卷一一 选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.已知集合2 23,90AxxBx x，则AB（）A.31xxB.31xx C.13xx D.13xx2.已知复数z满足2i13iz，则z（）A.1 iB.1i5C.55i33D.15i333.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度y与时间x的函数图像大致是（）A.B.第 2页/共 26页
3、（北京）股份有限C.D.4.“0m”是“方程2214xym表示椭圆”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知tan34，则sincos3cossin22（）A.13B.13C.3D.36.已知02a，则192aa的最小值是（）A.4B.6C.8D.167.在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布2100,.若X在85,115内的概率是0.5，则从参加这次考试的学生中任意选取 3 名学生，恰有 2 名学生的成绩不低于 85 的概率是（）A.2764B.964C.34D.9168.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中
4、国人所崇尚的图腾.如图，AB是圆O的一条直径，且4.,ABC D是圆O上的任意两点，2CD，点P在线段CD上，则PA PB 的取值范围是（）A.3,2B.1,0C.3,4D.1,2第 3页/共 26页（北京）股份有限9.九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑PABC中，PA 平面,24ABC ABBCPA，则鳖臑PABC外接球的表面积是（）A.36B.72C.144D.28810.已知函数 2,01,ln,0,xxfxxx 若关于x的方程 220fxafx有 4 个不同的实根，则a的取值范围是（）A.2,4B.2 2,4C.2,3D.2 2,311.已知函数 sin3sin
5、(0)63f xxx在区间,6 3 上单调，且当122xx时，124f xf x，则（）A.2B.4C.6D.812.已知545 8ln2,44ln3,4abce，则（）A.bcaB.cbaC.bacD.abc第第 II 卷卷二二 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量,2,1,1amb，若abb，则m_.14.已知圆C的圆心C在直线yx上，且与直线21yx相切，则圆C的方程是_.（写出一个即可）15.设等差数列 ,nnab的前n项和分别是,nnS T，且2275nnSn
6、Tn，则396aab_.16.在ABC中，内角,A B C所对的边分别是,a b c，且22tantanbAaB，点D是线段BC的中点，若5AD，则ABC面积的最大值是_.三三 解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演步骤证明过程或演步骤.17.在ABC中，内角,A B C所对的边分别是,a b c，且2sin cos3cos10aBAbA.（1）求角A的大小；（2）若2a，求3bc的最大值.18.如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形，PAPC.第 4页/共 26页（北京）股份有限（1）证明：平面PBD
7、平面ABCD.（2）若60,ABCPBPDAB E是棱PD的中点，求平面PAB与平面ACE夹角的余弦值.19.已知函数 sin(0,0,0)f xAxA的部分图象如图所示.（1）求 f x的解析式；（2）若函数 26g xfxfx，对任意的,012 2xg xa 恒成立，求a的取值范围.20.据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为0T，那么经过t分钟后，温度T满足012thaaTTTT，其中aT为室温，h为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯75 C的茶水放在25 Co的房间，10 分钟后茶
8、水降温至50 C.（参考数据：lg20.30,lg30.48）（1）若欲将这杯茶水继续降温至35 C，大约还需要多少分钟？（保留整数）（2）为适应市场需求，2022 年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本 200 万元，每第 5页/共 26页（北京）股份有限生产x千台空调，需另投入成本 f x万元，且 2460,040,36003013700,40.xxxf xxxx已知每台空调售价 3000元，且生产的空调能全部销售完.问 2022 年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.21.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率是5，点F
9、是双曲线C的一个焦点，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离是 2.（1）求双曲线C的标准方程.（2）设点M在直线14x 上，过点M作两条直线12,l l，直线1l与双曲线C交于,A B两点，直线2l与双曲线C交于,D E两点.若直线AB与直线DE的倾斜角互补，证明：MAMEMDMB.22.已知函数1()elnxf xax.（1）若1x 是 f x的极值点，求 f x的单调区间；（2）若关于x的方程()1lnf xa 恰有一个解，求 a 的取值范围.第 6页/共 26页（北京）股份有限高三数学试题高三数学试题考生注意：考生注意：1.本试卷分第本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第 II
10、卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150 分分.考试时间考试时间 120 分钟分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 不等式不等式 函数与导数函数与导数 三角函数与解三角形三角函数与解三角形 平面平面向量与复数占向量与复数占 70%，其他内容占，其他内容占 30%.第第 I 卷卷一一 选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.
11、已知集合2 23,90AxxBx x，则AB（）A.31xxB.31xx C.13xx D.13xx【答案】B【解析】【分析】解不等式后由交集的概念求解【详解】由题意可得1,33Ax xBxx ，则31ABxx .故选：B2.已知复数z满足2i13iz，则z（）A.1 iB.1i5C.55i33D.15i33【答案】A【解析】【分析】由复数的四则运算求解【详解】由题意可得1 3i2i1 3i55i1 i2i2i2i5z.故选：A3.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度y与时间x的函数图像大致是（）第 7页/共
12、26页（北京）股份有限A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据瓷器的形状：中间粗，上下细来分析水的增高速度.【详解】由图可知该青花瓷上下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，直到注满水，结合选项所给图像，只有先慢后快的趋势的 C 选项符合.故选：C4.“0m”是“方程2214xym表示椭圆”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】第 8页/共 26页（北京）股份有限【详解】试题分析：当0m 时方程2214xym不一定表示椭圆，如4m 时方
13、程22144xy，即224xy就表示一个圆，所以“0m”不是“方程2214xym表示椭圆”充分条件；但是当方程2214xym表示椭圆时，应有0m，所以“0m”是“方程2214xym表示椭圆”的必要条件，故选 B.考点：1、充分条件，必要条件；2、椭圆的标准方程.5.已知tan34，则sincos3cossin22（）A.13B.13C.3D.3【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正切恒等变换公式可求得tan=12，对所求式子利用诱导公式进行化简，再利用弦化切即可求解.【详解】因为tan34，所以tan131tan，解得tan=12，则sincossincostan133sincos1tanc
14、ossin22，故选：D.6.已知02a，则192aa的最小值是（）A.4B.6C.8D.16【答案】C【解析】【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】解：因为02a，所以10a，902a，所以19119(2)222aaaaaa第 9页/共 26页（北京）股份有限1291291021082222aaaaaaaa，当且仅当292aaaa，即12a 时等号成立.故选：C7.在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布2100,.若X在85,115内的概率是0.5，则从参加这次考试的学生中任意选取 3 名学生，恰有 2 名学生的成绩不低于 85 的概率是（）A.2764B.964C.34D.
15、916【答案】A【解析】【分析】利用正态分布曲线的特点求出85P X，然后再求恰有 2 名学生的成绩不低于 85 的概率即可.【详解】因为学生成绩服从正态分布2100,，且851150.5PX，所以851000.25PX，850.25P X，3850.754P X，所以从参加这次考试的学生中任意选取 1 名学生，其成绩不低于 85 的概率是34，则从参加这次考试的学生中任意选取 3 名学生，恰有 2 名学生的成绩不低于 85 的概率是2233127C4464.故选：A.8.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图，AB是圆O的一条直径，
16、且4.,ABC D是圆O上的任意两点，2CD，点P在线段CD上，则PA PB 的取值范围是（）A.3,2B.1,0C.3,4D.1,2【答案】B【解析】第 10页/共 26页（北京）股份有限【分析】设O为圆心，连接OP，根据数量积的运算律得到24PA PBPO ，根据点P在线段CD上，即可求出PO 的取值范围，即可得解.【详解】解：如图，O为圆心，连接OP，则 PA PBPOOAPOOB 2POPO OBPO OAOA OB 222224POPOOBOAOAPOOAPO .因为点P在线段CD上且2CD，则圆心到直线的距离22213d，所以32PO，所以234PO，则2140PO ，即PA PB
17、 的取值范围是1,0.故选：B9.九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑PABC中，PA 平面,24ABC ABBCPA，则鳖臑PABC外接球的表面积是（）A.36B.72C.144D.288【答案】A【解析】【分析】判段出PABC补全后为长方体，再利用长方体外接圆半径的计算公式得出半径，即可直接得出答案.【详解】由题意可知ABBC，如图，将鳖臑PABC补全成长方体，第 11页/共 26页（北京）股份有限则鳖臑PABC外接球的半径22234ABBCPAR，故鳖臑PABC外接球的表面积为2436R.故选：A.10.已知函数 2,01,ln,0,xxfxxx 若关于x的方程 2
18、20fxafx有 4 个不同的实根，则a的取值范围是（）A.2,4B.2 2,4C.2,3D.2 2,3【答案】D【解析】【分析】画出 fx的图象，根据 f xt并讨论 t 研究其实根的分布情况，将问题化为2()2h ttat在1,2内有两个不同的零点，结合二次函数性质求参数范围.【详解】如图，画出 fx的图象，设 f xt结合图象知：当1t或2t 时 f xt有且仅有 1 个实根；当12t 时 f xt有 2 个实根；问题转化为2()2h ttat在1,2内有两个不同的零点，第 12页/共 26页（北京）股份有限从而2(1)30(2)62012280hahaaa，解得2 23a.故选：D11
19、.已知函数 sin3sin(0)63f xxx在区间,6 3 上单调，且当122xx时，124f xf x，则（）A.2B.4C.6D.8【答案】A【解析】【分析】首先根据题意得到 2sin6f xx，根据124f xf x得到21TkkZ，从而得到42kkZ，再根据 f x的单调性得到11662362kk，1k Z，即可得到答案.【详解】sin3cos2sin(0)666f xxxx.因为124f xf x，所以12122xxTkTkZ，则21TkkZ，从而42kkZ.因为,6 3x，所以,66636x.因为 f x在区间,6 3 上单调，所以11662362kk，1k Z.解得111623
20、2kkkZ.因为1116232320kkk，所以12433k.第 13页/共 26页（北京）股份有限因为k Z，所以10k 或11k，所以22 或45.因为42kkZ，0，所以2.故选：A12.已知545 8ln2,44ln3,4abce，则（）A.bcaB.cbaC.bacD.abc【答案】A【解析】【分析】构造函数 e41xf xx，ln1g xxx，利用导数分析两个函数的单调性，结合两个函数单调性分析即得解【详解】设函数 e41xf xx，则 e4xfx.由 0fx，得ln4x；由 0fx，得ln4x.则 f x在,ln4上单调递减，在ln4,上单调递增.设 ln1g xxx，则 111
21、xgxxx.由 0gx，得01x；由 0gx，得1x.所以 g x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，所以 10g xg，即ln1xx，则33ln1ee，故35ln3e4.因为ln1xx，所以11ln1xx，所以1ln1xx（当且仅当1x 时，等号成立），所以4eln1e4，即e5ln4244.因为5ln4,ln3,4afbfcf，所以bca.故选：A第第 II 卷卷二二 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量,2,1,1amb，若abb，则m_.第 14页/共 26页
22、（北京）股份有限【答案】4【解析】【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】由题意可得1,3abm，则130m ，解得4m .故答案为：414.已知圆C的圆心C在直线yx上，且与直线21yx相切，则圆C的方程是_.（写出一个即可）【答案】2215xy（答案不唯一）【解析】【分析】由圆心的位置以及圆心到直线的距离等于半径即可得到满足条件的圆方程.【详解】设圆心,C a a，则半径15ar，故圆C的方程为222(1)()()15axayaa 取0a,则2215xy，故答案为:2215xy15.设等差数列 ,nnab的前n项和分别是,nnS T，且2275nnSnTn，则396aab_.【答案】2
23、3【解析】【分析】根据等差数列前n项和公式求解即可.【详解】由等差数列的性质可知3962aaa，则3961166112 2222227753aaaSbbT.故答案为：2316.在ABC中，内角,A B C所对的边分别是,a b c，且22tantanbAaB，点D是线段BC的中点，若5AD，则ABC面积的最大值是_.第 15页/共 26页（北京）股份有限【答案】503#2163【解析】【分析】利用同角三角函数关系和二倍角公式可转化原式为sin2sin2AB，可得AB或2AB，分类讨论，结合均值不等式和余弦定理，即得解【详解】因为22tantanbAaB，所以22sinsinsinsincosc
24、osBAABAB，所以sin cossin cosBBAA，所以sin2sin2AB，所以22AB或22AB，即AB或2AB.当2AB时，因为5AD，所以2225CDAC，所以222522CDACCD AC，当且仅当CDAC时等号成立则ABC的面积为125222CD AC；当AB时，则ACBC.设CDm，则2ACm.在ACD中，由余弦定理可得222222(2)5525cos2 24mmmCmm，则2242225259250625sin144mmmCmm，故ABC的面积24222211925062511251000050sin432242393mmSabCmmm，当且仅当21259m 时，等号成
25、立.综上，ABC面积的最大值是503.故答案为：503三三 解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演步骤证明过程或演步骤.17.在ABC中，内角,A B C所对的边分别是,a b c，且2sin cos3cos10aBAbA.（1）求角A的大小；第 16页/共 26页（北京）股份有限（2）若2a，求3bc的最大值.【答案】（1）6A（2）4【解析】【分析】（1）由正弦定理以及同角关系即可得3tan3A 即可求解，（2）根据正弦定理化边为角，利用三角的变换以及函数的性质即可求解.【小问 1 详解】因为2sin cos3
26、cos10aBAbA，由正弦定理得：2sin cos3cos10bAAbA，所以2sin cos0n3siAAA，因为0A，所以sin0A,故得cos3sinAA，进而得3tan3A,所以6A.【小问 2 详解】因为,aA26，所以4sinaA.由正弦定理可得4sinsinsinbcaBCA，则4sin,4sinbB cC.因为ABC，所以56BC，所以56CB，所以534 3sin4sin2 3sin2cos4sin66bcBBBBB.当=62B，即23B 时，4sin6B取得最大值 4，即3bc的最大值为 4.18.如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形，PAPC.第 17页/共
27、 26页（北京）股份有限（1）证明：平面PBD 平面ABCD.（2）若60,ABCPBPDAB E是棱PD的中点，求平面PAB与平面ACE夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）2 77【解析】【分析】（1）记ACBDO，连接OP，根据线面垂直的判定证明AC 平面PBD即可；（2）先证明OP 平面ABCD，再以O为原点，分别以,OC OD OP 的方向为,x y z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，根据面面角的向量求法求解即可.【小问 1 详解】证明：记ACBDO，则O为,AC BD的中点，连接OP.因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.因为,PAPC O为AC的中点，所以OPAC
28、.因为,BD OP 平面PBD，且BDOPO，所以AC 平面PBD.因为AC 平面ABCD，所以平面PBD 平面ABCD.【小问 2 详解】因为,PBPD O为BD的中点，所以OPBD.因为,AC BD 平面ABCD，所以OP 平面ABCD，则以O为原点，分别以,OC OD OP 的方向为,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设2AB，则3 11,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,0,122ABCEP，故第 18页/共 26页（北京）股份有限3 11,3,0,1,0,1,2,0,0,1,22ABAPACAE .设平面PAB的法向量111,nx y z，则11113
29、00n ABxyn APxz ，令13x，得3,1,3n.设平面ACE的法向量222,mxyz，则22222031022m ACxm AExyz，令21y，得0,1,3m.设平面PAB与平面ACE的夹角为，则1 32 7coscos,72 7n mn mn m .19.已知函数 sin(0,0,0)f xAxA的部分图象如图所示.（1）求 f x的解析式；第 19页/共 26页（北京）股份有限（2）若函数 26g xfxfx，对任意的,012 2xg xa 恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）2sin32f xx（2）2 3a【解析】【分析】（1）根据图得到5263T，进而得到2，再根据 f
30、 x的图象经过点,03和点0,3，求得和A即可；由（1）得到 g x2 3sin 26x，再利用正弦函数的性质求得最值，再根据恒成立求解.【小问 1 详解】解：由图可知5263T，则2.因为 f x的图象经过点,03，所以sin 203A，所以223kkZ，所以23kkZ，因为0，所以3.因为 f x的图象经过点0,3，所以sin33A，所以2A.故 2sin32f xx.【小问 2 详解】第 20页/共 26页（北京）股份有限由（1）可知2sin26fxx，则 2sin 24sin23g xxx，3sin23cos22 3sin 26xxx ，因为122x，所以52366x，所以3sin 2
31、126x，所以2 32 3sin 236x，即 g x的值域为2 3,3.因为对任意的,012 2xg xa 恒成立，所以2 3a.20.据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为0T，那么经过t分钟后，温度T满足012thaaTTTT，其中aT为室温，h为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯75 C的茶水放在25 Co的房间，10 分钟后茶水降温至50 C.（参考数据：lg20.30,lg30.48）（1）若欲将这杯茶水继续降温至35 C，大约还需要多少分钟？（保留整数）（2）为适应市场需求，
32、2022 年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本 200 万元，每生产x千台空调，需另投入成本 f x万元，且 2460,040,36003013700,40.xxxf xxxx已知每台空调售价 3000元，且生产的空调能全部销售完.问 2022 年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.第 21页/共 26页（北京）股份有限【答案】（1）13 分钟（2）当该企业该型号的变频空调总产量为 30 千台时，获利最大，最大利润为 3400 万元.【解析】【分析】（1）由题意列方程求解（2）由题意得出利润与x的函数关系，结合基本不等式求解最值【小问 1
33、详解】由题意可得101502575252h，解得10h.设经过t分钟，这杯茶水降温至35 C，则101352550252t，解得2110log 5 1010213lg2t（分钟）.故欲将这杯茶水降温至35 C，大约还需要 13 分钟.【小问 2 详解】设 2022 年该企业该型号的变频空调的利润为 W x，当040 x时，223002004604(30)3400W xxxxx，当30 x 时，W x取得最大值 3400 万元；当40 x时，3600360030020030137003500W xxxxxx，因为36002 3600120 xx，当且仅当60 x 时，等号成立，则当60 x 时，
34、W x取得最大值 3380 万元.因为34003380，所以当该企业该型号的变频空调总产量为 30 千台时，获利最大，最大利润为 3400 万元.21.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率是5，点F是双曲线C的一个焦点，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离是 2.（1）求双曲线C的标准方程.（2）设点M在直线14x 上，过点M作两条直线12,l l，直线1l与双曲线C交于,A B两点，直线2l与双曲第 22页/共 26页（北京）股份有限线C交于,D E两点.若直线AB与直线DE的倾斜角互补，证明：MAMEMDMB.【答案】（1）2214yx（2）证明见解析【解析】【分析】（1）
35、由题知2222252cabcbacab，进而解方程即可得答案；（2）由题设1,4Mt，直线111221:,4lyk xt A x yB xy，进而与双曲线联立方程结合韦达定理得222141544ktMAMBk，直线2l的斜率为k，同理可得222141544ktMDMEk ，进而根据22kk 可得MAMBMDME，进而可证明结论.【小问 1 详解】解：根据双曲线的对称性，不妨设,0F c，其渐近线方程为0bxay，因为焦点F到双曲线C的一条渐近线的距离是 2.所以222bcba，因为双曲线C的离心率是5，所以，2222252cabcbacab，解得1,2.ab所以，双曲线C的标准方程为2214y
36、x.【小问 2 详解】第 23页/共 26页（北京）股份有限证明：由题意可知直线1l的斜率存在，设1,4Mt，直线111221:,4lyk xt A x yB xy.联立221()414yk xtyx整理得2222211142402162kxktkxkktt，所以，222121222111421622,44kkttktkxxx xkk.故222212121221 4151111114441644ktMA MBkxxkx xxxk.设直线2l的斜率为k，同理可得222141544ktMDMEk .因为直线AB与直线DE的倾斜角互补，所以kk，所以22kk，则222222141514154444k
37、tktkk，即MAMBMDME，所以MAMEMDMB.22.已知函数1()elnxf xax.（1）若1x 是 f x的极值点，求 f x的单调区间；（2）若关于x的方程()1lnf xa 恰有一个解，求 a 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为1,，单调递减区间为0,1；（2）1【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意 10f，即可求出a的值，再利用导数求出函数的单调区间；（2）求出函数的导函数1e1()xaxfxx，令 1e1xg xax，0,x，利用导数说明 g x的单调第 24页/共 26页（北京）股份有限性，由零点存在性定理可得存在010,1xa使得00g x，即可得到 f
38、 x的单调性，从而求出 f x的最小值0fx，依题意可得01lnf xa，即可求出0 x的值，从而得解.【小问 1 详解】解：因为1()elnxf xax，所以11()exfxax，因为1x 是 f x的极值点，所以 1 11e10fa，解得1a，经检验符合题意，所以1()elnxf xx0,x，11()exfxx，又1exy与1yx 在0,上单调递增，所以11()exfxx在0,上单调递增，又 10f，所以当01x时()0fx，当1x 时()0fx，即 f x的单调递增区间为1,，单调递减区间为0,1；【小问 2 详解】解：显然0a，又111e1()exxaxfxaxx，令 1e1xg xa
39、x，0,x，则 11 e0 xgxa x恒成立，所以 g x在0,上单调递增，且 010g ，1111 e10agaa，所以存在010,1xa使得00g x，当00,xx时 0g x，即()0fx，当0,xx时 0g x，即()0fx，所以 f x在00,x上单调递减，在0,x 上单调递增，所以当0 xx时 f x取得最小值，由00g x，可得010e10 xax，即0101exax，则00ln1lnaxx ，因为关于x的方程()1lnf xa 恰有一个解，所以01lnf xa，即010eln1lnxaxa，所以010001eln1ln20 xaxaxx，当01x 时等号成立，第 25页/共 26页（北京）股份有限由0101exax，可得1a，即a的取值范围为 1；【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理