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1、例 1：25（2015.重庆）如图 1，在 ABC中，ACB=90，BAC=60，点 E角平分线上一点，过点 E作 AE的垂线，过点 A作 AB的线段，两垂线交于点D，连接 DB，点 F是BD的中点，DH AC，垂足为 H，连接 EF，HF。（1）如图 1，若点 H是 AC的中点，AC=2，求 AB，BD的长。（2）如图 1，求证：HF=EF。（3）如图 2，连接 CF，CE，猜想：CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由。解：（1）ACB=90 ，BAC=60 ，ABC=30 ，AB=2AC=2 23=43，ADAB，CAB=60 ，DAC=30 ，AH=12AC=3，AD=
2、AHcos30=233，BD=AB2+AD2=213；（2）如图 1，连接 AF，AE 是BAC 角平分线，HAEBA）-60=30 -FBA，EAF=FDH，在DHF 与AEF 中，DHAE HDF EAHDF AF，DHFAEF，HF=EF；（3）如图 2，取 AB 的中点 M，连接 CM，FM，在 RtADE 中，AD=2AE，DF=BF，AM=BM，AD=2FM，FM=AE，E=30 ，ADE=DAH=30 ，在DAE 与ADH 中，AHD DEA90 ADE DAHAD AD，DAE ADH，DH=AE，点 F 是 BD 的中点，DF=AF，EAF=EAB-FAB=30 -FAB F
3、DH=FDA-HDA=FDA-60=（90 -Fbr ABC=30 ，AC=CM=12AB=AM，CAE=12 CAB=30 CMF=AMF-AMC=30 ，在ACE 与MCF 中，ACCM CAE CMFAE MF，ACE MCF，CE=CF，ACE=MCF，ACM=60 ，ECF=60 ，CEF 是等边三角形例 2：27（2015.成都）已知,ACEC分别为四边形 ABCD和 EFCG的对角线，点 E 在ABC内，CAE+CBE=90。（1）如图，当四边形ABCD和 EFCG 均为正方形时，连接BF。1)求证：CAE DCBF；2)若 BE=1,AE=2，求 CE的长。（2）如图，当四边形
4、ABCD和 EFCG 均为矩形，且 AB/BC=EF/FC 时，若 BE=1,AE=2,CE=3，求 k 的值；（3）如图，当四边形 ABCD和 EFCG 均为菱形，且DAB=GEF=45 时，设,BE=m，AE=n，CE=p，试探究,m、n、p 三者之间满足的等量关系。（直接写出结果，不必写出解答过程）（1）（i）证明：四边形ABCD 和 EFCG 均为正方形，ACBC CECF 2，ACB=ECF=45，ACE=BCF，在 CAE和 CBF中，ACBC CECF 2ACE BCF，CAE CBF（ii）解：CAE CBF，CAE=CBF，AEBF ACBC，又 CAE+CBE=90，CBF
5、+CBE=90，EBF=90，又 AEBF ACBC 2，AE=2 2BF2，BF2，EF2=BE2+BF2=12+(2)2=3，EFF，CAE+CBE=90，CBE+CBF=90，EBF=90，EF2=BE2+BF2=1+4k2+1，ECFC k2+1，CEEF=k2+1k，CE=3，EF=3kk2+1，1+4k2+1(3kk2+1)2 9k2k2+1，k258，解得 k=104，ABBC=EFFC=k0，k=104（3）DAB=45，ABC=180-45=135，在 ABC中，根据余弦定理，可得AC2=AB2+BC2-2AB?BC?F=3，CE2=2EF2=6，CE=6 （2）如图，连接B
6、F，ABBC=EFFC=k，BC=a，AB=ka，FC=b，EF=kb，AC=AB2+BC2 k2a2+a2ak2+1，CE=EF2+FC2=k2b2+b2 bk2+1，ACBC ECFC k2+1，ACE=BCF，在 ACE和 BCF中，ACBC ECFC k2+1ACE BCF，ACE BCF，AEBF ACBC k2+1，CAE=CBF，又 AE=2，2BFk2+1，BF=2k2+1，CAE=CBcos135=2BC2-2BC2(-22)=BC2(2+2)在 ACE和 BCF中，ACBC ECFC 2+2ACE BCF，ACE BCF，AEBF ACBC 2+2，CAE=CBF，又 AE
7、=n，BF2AE22+2 n22+2，CAE=CBF，CAE+CBE=90，CBE+CBF=90，EBF=90，EF2=BE2+BF2，p22+2m2+n22+2，（2+2）m2+n2=p2，即 m，n，p 三者之间满足的等量关系是：（2+2）m2+n2=p2 例 3：23.(2015.安徽)如图 1，在四边形 ABCD中，点 E、F分别是 AB、CD的中点，过点 E作 AB的垂线，过点 F作 CD的垂线，两垂线交于点G，连接 AG、BG、CG、DG，且 AGD BGC(1)求证：ADBC；(2)求证：AGD EGF；(3)如图 2，若 AD、BC所在直线互相垂直，求AD/EF的值考点：相似形
8、综合题.分析：（1）由线段垂直平分线的性质得出GA=GB，GD=GC，由 SAS证明 AGDBGC，得出对应边相等即可；（2）先证出 AGB=DGC，由，证出 AGBDGC，得出比例式，再证出 AGD=EGF，即可得出 AGDEGF；（3）延长 AD 交 GB 于点 M，交 BC的延长线于点H，则 AHBH，由AGD BGC，得出 GAD=GBC，再求出 AGE=AHB=90，得出 AGE=AGB=45，求出，由 AGD EGF，即可得出的值解答：（1）证明：GE是 AB 的垂直平分线，GA=GB，同理：GD=GC，在AGD和BGC中，AGD BGC（SAS），AD=BC；（2）证明：AGD=
9、BGC，AGB=DGC，在AGB和DGC中，AGB DGC，又AGE=DGF，AGD=EGF，AGD EGF；（3）解：延长AD 交 GB于点 M，交 BC的延长线于点H，如图所示：则 AHBH，AGD BGC，GAD=GBC，在GAM 和HBM 中，GAD=GBC，GMA=HMB，AGE=AHB=90，AGE=AGB=45，又AGD EGF，=点评：本题是相似形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线综合运用（1）（2）的结论和三角函数才能得出结果例 4：23（2015?潍坊
10、）如图 1，点 O 是正方形 ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点 E，使 OG=2OD，OE=2OC，然后以 OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接 AG，DE（1）求证：DEAG；（2）正方形 ABCD固定，将正方形 OEFG绕点 O 逆时针旋转角（0 360）得到正方形 OEFG，如图 2在旋转过程中，当 OAG 是直角时，求的度数；若正方形 ABCD的边长为 1，在旋转过程中，求AF 长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由解：（1）如图 1，延长 ED 交 AG 于点 H，点O 是正方形 ABCD 两对角线的交点，OA=OD，OAOD，OG=OE，在 AOG
11、和 DOE 中，AOG DOE，AGO=DEO，AGO+GAO=90，AGO+DEO=90，AHE=90，即 DEAG；（2）在旋转过程中，OAG 成为直角有两种情况：（）由 0增大到90过程中，当OAG =90 时，OA=OD=OG=OG，在Rt OAG 中，sinAG O=，AG O=30，OA OD，OA AG，OD AG，DOG =AG O=30，即=30；（）由 90增大到180 过程中，当 OAG =90 时，同理可求BOG=30，=180 30 =150 综上所述，当 OAG =90 时，=30 或150 如图 3，当旋转到 A、O、F在一条直线上时，AF的长最大，正方形 ABC
12、D 的边长为 1，OA=OD=OC=OB=，OG=2OD，OG=OG=，OF=2，AF=AO+OF=+2，COE=45，此时=315 例 5：23（2015.海南）如图9-1，菱形 ABCD 中，点 P 是 CD 的中点，BCD=60，射线 AP 交 BC 的延长线于点E，射线 BP 交 DE 于点 K，点 O 是线段 BK 的中点（1）求证：ADP ECP；（2）若 BP=n PK，试求出n 的值；（3）作 BMAE 于点 M，作 KNAE 于点 N，连结 MO、NO，如图 9-2 所示 请证明MON 是等腰三角形，并直接写出MON 的度数（1）证明：四边形 ABCD 为菱形，AD BC，D
13、AP=CEP，ADP=ECP，在 ADP 和 ECP中，ADP ECP；（2）如图 1，作 PICE 交 DE 于 I，则=，又点 P 是 CD 的中点，=，ADP ECP，AD=CE，=，BP=3PK，n=3；（3）如图 2，作 OGAE 于 G，BM 丄 AE 于，KN 丄 AE，BM OGKN，点O 是线段 BK 的中点，MG=NG，又 OGMN，OM=ON，即 MON 是等腰三角形，由题意得，BPC，AMB，ABP 为直角三角形，设 BC=2，则 CP=1，由勾股定理得，BP=，则 AP=，根据三角形面积公式，BM=，由（2）得，PB=3PO，OG=BM=，MG=MP=，tan MOG
14、=，MOG=60，MON 的度数为 120 例 6：25(2015.福州)如图.在锐角中，D，E分别为 AB,BC中点,F为 AC上一点，且 AFE=A，DM/EF 交 AC于点 M(1)求证:DM=DA(2)点 G在 BE上,且BDG=C.如图,求证:DEG ECF（3）在图中.取 CE上一点 H，使 CFH=B.若 BG=1 求 EH的长.（1）证明：如图1 所示，DM EF，AMD=AFE，AFE=A，AMD=A，DM=DA；（2）证明：如图2 所示，D、E 分别是 AB、BC的中点，DE AC，BDE=A，=B，BDG BED，BDBE BGBD，BD2=BG?BE，AFE=A，CFH
15、=B，C=180-A-B=180-AFE-CFH=EFH，又 FEH=CEF，EFH EDEG=C，AFE=A，BDE=AFE，BDG+GDE=C+FEC，BDG=C，DGE=FEC，DEG ECF；（3）解：如图3 所示，BDG=C=DEB，B EHEF EFEC，EF2=EH?EC，DE AC，DM EF，四边形 DEFM 是平行四边形，EF=DM=DA=BD，BG?BE=EH?EC，BE=EC，EH=BG=1 例 7：26（2015.河北)平面上，矩形 ABCD与直径为 QP的半圆 K如图 151 摆放，分别延长 DA 和 QP交于点 O，且 DOQ=60，OQ=OD=3，OP=2，OA
16、=AB=1，让线段 OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆 K 一起绕着点 O 按逆时针方向开始旋转，设旋转角为（0 60）.发现：(1)当=0，即初始位置时，点P 直线 AB上.(填“在”或“不在”)，求当是多少时，OQ经过点 B？(2)在 OQ 旋转过程中，简要说明是多少时，点P，A 间的距离最小？并指出这个最小值；(3)如图 152，当点 P恰好落在 BC边上时，求及S阴影.拓展：如图 153，当线段 OQ与 CB边交于点 M，与 BA边交于点 N 时，设 BM=x(x0)，用含 x 的代数式表示 BN的长，并求 x 的取值范围.探究：当半圆 K与矩形 ABCD的边相切时，求
17、sin的值.例 8：25.(2015.陕西)如图，在每一个四边形ABCD中，均有 ADBC，CDBC，ABC=60，AD=8，BC=12(1)如图 1，点 M 是四边形 ABCD边 AD上的一点，则BMC的面积为；(2)如图 2，点 N 是四边形 ABCD边 AD上的任意一点，请你求出BNC周长的最小值；(3)如图 3，在四边形 ABCD的边 AD上，是否存在一点 P，使得 cosBPC的值最小？若存在，求出此时 cosBPC的值；若不存在，请说明理由解：（1）如图，过A 作 AEBC，四边形 AECD 为矩形，EC=AD=8，BE=BC EC=12 8=4，在 Rt ABE 中，ABE=60
18、，BE=4，AB=2BE=8，AE=4，则 S BMC=BC?AE=24；故答案为：24；（2）如图，作点 C 关于直线 AD 的对称点 C，连接 C N，C D，C B 交 AD 于点 N，连接 CN，则 BN+NC=BN+NCBC=BN +CN，BNC 周长的最小值为 BN C 的周长=BN +CN +BC=BC +BC，AD BC，AEBC，ABC=60，过点 A 作 AEBC，则 CE=AD=8，BE=4，AE=BE?tan60 =4，CC=2CD=2AE=8，BC=12，BC=4，BNC 周长的最小值为4+12；（3）如图所示，存在点P，使得 cosBPC 的值最小，作 BC 的中垂
19、线 PQ 交 BC 于点 Q，交 AD 于点 P，连接 BP，CP，作BPC 的外接圆 O，圆 O 与直线 PQ 交于点 N，则 PB=PC，圆心 O 在 PN 上，AD BC，圆O 与 AD 相切于点 P，PQ=DC=46，PQBQ，BPC90，圆心O 在弦 BC 的上方，在 AD 上任取一点 P，连接P B，P C，P B 交圆 O 于点 M，连接 MC，BPC=BMC BP C，BPC 最大，cosBPC 的值最小，连接 OB，则BON=2 BPN=BPC，OB=OP=4OQ，在 Rt BOQ 中，根据勾股定理得：OQ2+62=（4OQ）2，解得：OQ=，OB=，cos BPC=cos
20、BOQ=，则此时 cos BPC 的值为例 9：25（2015.贵阳）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点 C落在 AD边上的点 M 处，折痕为 PE，此时 PD=3（1）求 MP 的值；（4 分）（2）在 AB 边上有一个动点 F，且不与点 A，B 重合 当 AF等于多少时，MEF的周长最小？（4 分）（3）若点 G，Q 是 AB 边上的两个动点，且不与点 A，B 重合，GQ=2 当四边形 MEQG的周长最小时，求最小周长值.（计算结果保留根号）（4 分）解：（1）四边形 ABCD 为矩形，CD=AB=4，D=90，矩形 ABCD 折叠，使点C 落在 AD
21、边上的点 M 处，折痕为 PE，PD=PH=3，CD=MH=4，H=D=90，MP=5；（2）如图 1，作点 M 关于 AB 的对称点 M，连接M E 交 AB 于点 F，则点 F 即为所求，过点E作 ENAD，垂足为 N，AM=AD MP PD=12 53=4，AM=AM=4，矩形 ABCD 折叠，使点C 落在 AD 边上的点 M 处，折痕为 PE，CEP=MEP，而CEP=MPE，MEP=MPE，ME=MP=5，在 Rt ENM 中，MN=3，NM =11，AFME，AFM NEM，=，即=，解得 AF=，即 AF=时，MEF 的周长最小；（3）如图 2，由（2）知点 M 是点 M 关于
22、AB 的对称点，在EN 上截取 ER=2，连接 M R 交 AB于点 G，再过点 E 作 EQRG，交 AB 于点 Q，ER=GQ，ERGQ，四边形 ERGQ 是平行四边形，QE=GR，GM=GM，MG+QE=GM+GR=M R，此时 MG+EQ最小，四边形MEQG 的周长最小，在 Rt M RN 中，NR=4 2=2，M R=5，ME=5，GQ=2，四边形 MEQG 的最小周长值是7+5例 10：25（2015.山东临沂）如图 1，在正方形 ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.（1）请判断：AF 与 BE 的数量关系是，位置关系是；（2）如图 2，若将条件“两个等
23、边三角形ADE和 DCF”变为“两个等腰三角形ADE和 DCF，且 EA=ED=FD=FC，第（1）问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明；（3）若三角形 ADE和 DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断.解：（1）AF 与 BE 的数量关系是：AF=BE，位置关系是：AFBE 答案是：相等，互相垂直；（2）结论仍然成立理由是：正方形 ABCD 中，AB=AD=CD，在ADE 和DCF 中，AE DFAD CDDE CF，ADE DCF，DAE=CDF，又正方形 ABCD 中，BAD=ADC=90 ，BAE=ADF，在ABE 和AD
24、F CDDE CF，ADE DCF，DAE=CDF，又正方形 ABCD 中，BAD=ADC=90 ，BAE=ADF，在ABE 和ADF 中，AB DABAE ADFAE DF，ABE ADF，BE=AF，ABM=DAF，又DAF+BAM=90 ，ABM+BAM=90 ，在ABM 中，AMB=180 -（ABMF 中，AB DABAEADFAE DF，ABE ADF，BE=AF，ABM=DAF，又DAF+BAM=90 ，ABM+BAM=90 ，在ABM 中，AMB=180 -（ABM+BAM）=90 ，BEAF；（3）第（1）问中的结论都能成立理由是：正方形 ABCD 中，AB=AD=CD，在ADE 和DCF 中，AE DFADM）=90 ，BEAF