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1、|走进 2018年中考数学复习专题攻略第五讲二次函数压轴问题【专题解析】函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题.解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数关系式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案.【方法点拨】二次函数主要是借助动点问题和三角形、四边形相关的研究，分析此类问题主要是化动为静，化大为小，逐一解答的过程。【类型突破】类型一：函数动点问题（2017营口）如图，抛物线 y=ax2+bx2 的对称轴是直线 x=1，与 x轴交于
2、A，B 两点，与 y轴交于点 C，点 A的坐标为（2，0） ，点 P为抛物线上的一个动点，过点 P作 PDx 轴于点 D，交直线 BC于点 E（1）求抛物线解析式；（2）若点 P在第一象限内，当 OD=4PE时，求四边形 POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点 M为直线 BC上一点，点 N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 M和点 N，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】【考点】HF：二次函数综合题|【分析】 （1）由抛物线 y=ax2+bx2 的对称轴是直线
3、 x=1，A（2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；（2）根据函数解析式得到 B（4，0） ，C（0，2） ，求得 BC的解析式为y=x2，设 D（m，0） ，得到 E（m，m2） ，P（m，m 2m2） ，根据已知条件列方程得到 m=5，m=0（舍去） ，求得 D（5，0） ，P（5， ） ，E（5， ） ，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）设 M（n，n2） ，以 BD为对角线，根据菱形的性质得到 MN垂直平分BD，求得 n=4+，于是得到 N（，） ；以 BD为边，根据菱形的性质得到MNBD，MN=BD=MD=1，过 M作 MHx 轴于 H，根据勾股定理列方程即可得到结论【解
4、答】解：（1）抛物线 y=ax2+bx2 的对称轴是直线 x=1，A（2，0）在抛物线上， ，解得： ，抛物线解析式为y=x2x2；（2）令 y=x2x2=0，解得：x 1=2，x 2=4，当 x=0时，y=2，B（4，0） ，C（0，2） ，设 BC的解析式为 y=kx+b，则 ，解得：，y=x2，设 D（m，0） ，DPy 轴，E（m，m2） ，P（m，m 2m2） ，OD=4PE，m=4（m 2m2m+2） ，m=5，m=0（舍去） ，D（5，0） ，P（5， ） ，E（5， ） ，四边形 POBE的面积=S OPD S EBD =5 1= ；（3）存在，设 M（n，n2） ，以 BD为
5、对角线，如图 1，四边形 BNDM是菱形，MN 垂直平分 BD，n=4+，M（， ） ，M，N 关于 x轴对称，N（，） ；以 BD为边，如图 2，四边形 BNDM是菱形，MNBD，MN=BD=MD=1，过 M作 MHx 轴于 H，MH 2+DH2=DM2，即（n2） 2+（n5） 2=12，|n 1=4（不合题意） ，n 2=5.6，N（4.6， ） ，同理（n2） 2+（4n） 2=1，n 1=4+ （不合题意，舍去） ，n 2=4 ，N（5 ， ） ，以 BD为边，如图 3，过 M作 MHx 轴于 H，MH 2+BH2=BM2，即（n2） 2+（n4） 2=12，n 1=4+ ，n 2=
6、4 （不合题意，舍去） ，N（5+ ， ） ，综上所述，当 N（，）或（4.6， ）或（5 ， ）或（5+ ， ） ，以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是菱形【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、勾股定理，三角形的面积公式、菱形的性质、根据题意画出符合条件的图形是解题的关键变式练习：|（2017 黑龙江鹤岗）如图，矩形 AOCB的顶点 A、C 分别位于 x轴和 y轴的正半轴上，线段 OA、OC 的长度满足方程|x15|+ =0（OAOC） ，直线 y=kx+b分别与 x轴、y 轴交于 M、N 两点，将BCN 沿直线 BN折叠，点 C
7、恰好落在直线MN上的点 D处，且 tanCBD=（1）求点 B的坐标；（2）求直线 BN的解析式；（3）将直线 BN以每秒 1个单位长度的速度沿 y轴向下平移，求直线 BN扫过矩形 AOCB的面积 S关于运动的时间 t（0t13）的函数关系式【考点】FI：一次函数综合题【分析】 （1）由非负数的性质可求得 x、y 的值，则可求得 B点坐标；（2）过 D作 EFOA 于点 E，交 CB于点 F，由条件可求得 D点坐标，且可求得= ，结合 DEON，利用平行线分线段成比例可求得 OM和 ON的长，则可求得 N点坐标，利用待定系数法可求得直线 BN的解析式；（3）设直线 BN平移后交 y轴于点 N，
8、交 AB于点 B，当点 N在 x轴上方时，可知 S即为BNNB的面积，当 N在 y轴的负半轴上时，可用 t表示出直线 BN的解析式，设交 x轴于点 G，可用 t表示出 G点坐标，由 S=S 四边形BNNB S OGN ，可分别得到 S与 t的函数关系式【解答】解：（1）|x15|+ =0，x=15，y=13，OA=BC=15，AB=OC=13B（15，13） ；（2）如图 1，过 D作 EFOA 于点 E，交 CB于点 F，|由折叠的性质可知 BD=BC=15，BDN=BCN=90，tanCBD= ， = ，且 BF2+DF2=BD2=152，解得 BF=12，DF=9，CF=OE=1512=
9、3，DE=EFDF=139=4，CND+CBD=3609090=180，且ONM+CND=180，ONM=CBD， = ，DEON， = = ，且 OE=3， = ，解得 OM=6，ON=8，即 N（0，8） ，把 N、B 的坐标代入 y=kx+b可得 ，解得 ，直线 BN的解析式为 y= x+8；（3）设直线 BN平移后交 y轴于点 N，交 AB于点 B，当点 N在 x轴上方，即 0t8 时，如图 2，由题意可知四边形 BNNB为平行四边形，且 NN=t，S=NNOA=15t；当点 N在 y轴负半轴上，即 8t13 时，设直线 BN交 x轴于点 G，如图3，|NN=t，可设直线 BN解析式为
10、 y= x+8t，令 y=0，可得 x=3t24，OG=24，ON=8，NN=t，ON=t8，S=S 四边形 BNNB S OGN =15t （t8） （3t24）= t2+39t96；综上可知 S与 t的函数关系式为 S= 类型二：二次函数存在点问题研究（2017 贵州安顺）如图甲，直线 y=x+3 与 x轴、y 轴分别交于点 B、点 C，经过 B、C 两点的抛物线 y=x2+bx+c与 x轴的另一个交点为 A，顶点为 P（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点 M，使以 C，P，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说
11、明理由；（3）当 0x3 时，在抛物线上求一点 E，使CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探究） 【考点】HF：二次函数综合题【分析】 （1）由直线解析式可求得 B、C 坐标，利用待定系数法可求得抛物线解|析式；（2）由抛物线解析式可求得 P点坐标及对称轴，可设出 M点坐标，表示出MC、MP 和 PC的长，分 MC=MP、MC=PC 和 MP=PC三种情况，可分别得到关于 M点坐标的方程，可求得 M点的坐标；（3）过 E作 EFx 轴，交直线 BC于点 F，交 x轴于点 D，可设出 E点坐标，表示出 F点的坐标，表示出 EF的长，进一步可表示出CBE 的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最
12、大值时 E点的坐标【解答】解：（1）直线 y=x+3 与 x轴、y 轴分别交于点 B、点 C，B（3，0） ，C（0，3） ，把 B、C 坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，抛物线解析式为 y=x24x+3；（2）y=x 24x+3=（x2） 21，抛物线对称轴为 x=2，P（2，1） ，设 M（2，t） ，且 C（0，3） ，MC= = ，MP=|t+1|，PC= =2 ，CPM 为等腰三角形，有 MC=MP、MC=PC 和 MP=PC三种情况，当 MC=MP时，则有 =|t+1|，解得 t= ，此时 M（2， ） ；当 MC=PC时，则有 =2 ，解得 t=1（与 P点重合，舍去）或t=7
13、，此时 M（2，7） ；当 MP=PC时，则有|t+1|=2 ，解得 t=1+2 或 t=12 ，此时M（2，1+2 ）或（2，12 ） ；综上可知存在满足条件的点 M，其坐标为（2， ）或（2，7）或（2，1+2 ）或（2，12 ） ；（3）如图，过 E作 EFx 轴，交 BC于点 F，交 x轴于点 D，|设 E（x，x 24x+3） ，则 F（x，x+3） ，0x3，EF=x+3（x 24x+3）=x 2+3x，S CBE =SEFC +SEFB = EFOD+ EFBD= EFOB= 3（x 2+3x）= （x ） 2+ ，当 x= 时，CBE 的面积最大，此时 E点坐标为（ ， ） ，
14、即当 E点坐标为（ ， ）时，CBE 的面积最大变式练习：（2017 毕节）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（1，0） ，B（4，0） ，C（0，4）三点，点 P是直线 BC下方抛物线上一动点（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点 P，使POC 是以 OC为底边的等腰三角形？若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点 P运动到什么位置时，PBC 面积最大，求出此时 P点坐标和PBC的最大面积|【考点】HF：二次函数综合题【分析】 （1）由 A、B、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点 P在线段 OC的垂直平分线上，则可求
15、得 P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得 P点坐标；（3）过 P作 PEx 轴，交 x轴于点 E，交直线 BC于点 F，用 P点坐标可表示出PF的长，则可表示出PBC 的面积，利用二次函数的性质可求得PBC 面积的最大值及 P点的坐标【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，把 A、B、C 三点坐标代入可得 ，解得 ，抛物线解析式为 y=x23x4；（2）作 OC的垂直平分线 DP，交 OC于点 D，交 BC下方抛物线于点 P，如图 1，PO=PD，此时 P点即为满足条件的点，C（0，4） ，D（0，2） ，P 点纵坐标为2，代入抛物线解析式可得 x23x4=2，解得 x= （小
16、于 0，舍去）或 x=，存在满足条件的 P点，其坐标为（ ，2） ；（3）点 P在抛物线上，可设 P（t，t 23t4） ，过 P作 PEx 轴于点 E，交直线 BC于点 F，如图 2，|B（4，0） ，C（0，4） ，直线 BC解析式为 y=x4，F（t，t4） ，PF=（t4）（t 23t4）=t 2+4t，S PBC =SPFC +SPFB = PFOE+ PFBE= PF（OE+BE）= PFOB= （t 2+4t）4=2（t2） 2+8，当 t=2时，S PBC 最大值为 8，此时 t23t4=6，当 P点坐标为（2，6）时，PBC 的最大面积为 8类型三：二次函数相似点问题研究(
17、2017湖南怀化)如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx5 与 x轴交于 A（1，0） ，B（5，0）两点，与 y轴交于点 C（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 D是 y轴上的一点，且以 B，C，D 为顶点的三角形与ABC 相似，求点 D的坐标；（3）如图 2，CEx 轴与抛物线相交于点 E，点 H是直线 CE下方抛物线上的动点，过点 H且与 y轴平行的直线与 BC，CE 分别交于点 F，G，试探究当点 H运动到何处时，四边形 CHEF的面积最大，求点 H的坐标及最大面积；（4）若点 K为抛物线的顶点，点 M（4，m）是该抛物线上的一点，在 x轴，y轴上分别找点 P，Q，使四边形 PQKM的周长最小，求出点 P，Q 的坐标