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1、偏导数与方向导数 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1.1.已知已知 1)1)求求z z的偏导数的偏导数 ；2)2)求求z z的高阶偏导数的高阶偏导数2.2.用用matlabmatlab求函数求函数 在点在点A(5,1)A(5,1)沿点沿点A(5,1)A(5,1)到点到点B(9,4)B(9,4)的方向上的方向导数的方向上的方向导数.例例 求偏导数：diff(f(x)diff(f(x)求 的一阶导数 ；diff(f(x),n)diff(f(x),n)di
2、ff(diff(f,x,m),y,n)diff(diff(f,x,m),y,n)求 的高阶偏导数 。diff(f(xdiff(f(x，y),x,n)y),x,n)求 对 x 的 n 阶偏导数 ；syms x y u%定义符号变量定义符号变量 u=x2*sin(x*y);%给出函数给出函数 dx=diff(u,x)；%对对x求偏导求偏导 dy=diff(u,y)；%对对y求偏导求偏导解：输入命令例1（1）求多元函数 的偏导数结果：结果：dx=2*x*sin(x*y)+x2*y*cos(x*y)dy=x3*cos(x*y)syms x y u%定义符号变量定义符号变量 u=x2*sin(x*y);
3、%给出函数给出函数 dx2=diff(u,x,2);%对对x求求2 阶偏导阶偏导 dy2=diff(u,y,2);%对对y求求2 阶偏导阶偏导 dxdy=diff(diff(u,x),y);%先对先对x求偏导，求偏导，再对再对y求偏导求偏导解：输入命令例2(2）求多元函数 的高阶偏导数结果：结果：dx2=2*sin(x*y)+4*x*y*cos(x*y)-x2*y2*sin(x*y)dy2=-x4*sin(x*y)dxdy=3*x2*cos(x*y)-x3*y*sin(x*y)方向导数方向导数设设函函数数u u f(xf(x y)y)在在点点p p0 0(x(x0 0 y y0 0)的的某某一
4、一邻邻域域U(PU(P0 0)内内有有定定义义 v v是是以以P P0 0(x(x0 0 y y0 0)为为始始点点的的一一条条射射线线 与与v v同同方方向向的的单单位位向向量量为为e ev v(cos(cos coscos)=(cos)=(cos,sin,sin)。则其方向导数为：则其方向导数为：方向导数的计算方向导数的计算 I I构构造造一一元元函函数数，使使得得多多元元函函数数的的方方向向导导数数等等于于一一元元函数在零点的导数值。函数在零点的导数值。解：输入命令A=5,1;%给出点给出点AB=9,4;%给出点给出点BL=sqrt(sum(B-A).2);%求求AB线段长线段长cosx
5、=(B(1)-A(1)/L;%求方向向量的第一分量求方向向量的第一分量cosy=(B(2)-A(2)/L;%求方向向量的第二分量求方向向量的第二分量syms x y t%定义符号变量定义符号变量g=(x+t*cosx)2*sin(x+t*cosx)*(y+t*cosy);%定义关于定义关于t的函数的函数dg_dl=diff(g,t);%对对t求导数求导数b=subs(dg_dl,x,y,t,5,1,0);结果：结果：du_dl=(8*x*sin(x*y)/5+x2*cos(x*y)*(3*x)/5+(4*y)/5)b=19.2765例例例例2.2.2.2.用用用用matlabmatlabmat
6、labmatlab求函数求函数求函数求函数 在点在点在点在点A(5,1)A(5,1)A(5,1)A(5,1)沿点沿点沿点沿点A(5,1)A(5,1)A(5,1)A(5,1)到点到点到点到点B(9,4)B(9,4)B(9,4)B(9,4)的方向上的方向导数的方向上的方向导数的方向上的方向导数的方向上的方向导数方向导数的计算方向导数的计算 IIII定定理理：如如果果函函数数u u f(xf(x y)y)在在点点p p0 0(x(x0 0 y y0 0)可可微微分分 则则函函数数在在该该点点沿沿任任一一方方向向v(ev(ev v(cos(cos sinsin)(cos(cos coscos)的方向导
7、数都存在的方向导数都存在 且有且有A=5,1;%给出点给出点AB=9,4;%给出点给出点BL=sqrt(sum(B-A).2);%求求AB线段长线段长cosx=(B(1)-A(1)/L;%求方向向量的第一分量求方向向量的第一分量cosy=(B(2)-A(2)/L;%求方向向量的第二分量求方向向量的第二分量syms x y u%定义符号变量定义符号变量u=x2*sin(x*y);%给出函数给出函数du_dl=diff(u,x)*cosx+diff(u,y)*cosy%求方向导数求方向导数a=subs(du_dl,x,y,5,1)%代点求方向导数值代点求方向导数值结果：结果：du_dl=(8*x*
8、sin(x*y)/5+(3*x3*cos(x*y)/5du_dl=(8*x*sin(x*y)/5+(3*x3*cos(x*y)/5+(4*x2*y*cos(x*y)/5+(4*x2*y*cos(x*y)/5 a=19.2765 a=19.2765解：输入命令由该定理知，还可以使用以下命令来方向导数由该定理知，还可以使用以下命令来方向导数jacobian(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z),x,y,z)jacobian(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z),x,y,z)思考：如何求向量值函数的方向导数？求向量值函数导数（雅可比矩阵）：matlab 命令 jacobian，调用格式：计算习题9.3.1第2、3、4题作业作业