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1、三垂线定理应用APo斜线和平面的交点叫做斜线和平面的交点叫做斜足斜足。斜线上一点与斜足。斜线上一点与斜足间的线段叫做间的线段叫做斜线段斜线段。如果一条直线和一个平面相交如果一条直线和一个平面相交,但不和这个平面但不和这个平面垂直垂直,那么这条直线叫做那么这条直线叫做平面的斜线平面的斜线自一点自一点P向平面向平面 引垂线，垂足引垂线，垂足A叫做点叫做点P在平在平面面 内的内的正射影正射影（简称（简称射影射影）如果如果a ,aAO，思考思考a与与PO的位置关的位置关系如何？系如何？aAPo PO PO是平面是平面是平面是平面 的斜线的斜线的斜线的斜线,OO为斜足为斜足为斜足为斜足;PA PA是平面
2、是平面是平面是平面 的垂线的垂线的垂线的垂线,A,A为垂足为垂足为垂足为垂足;AO AO是是是是POPO在平面在平面在平面在平面 内的射影内的射影内的射影内的射影.PO 平面PAOaPO 三垂线定理：三垂线定理：三垂线定理：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的在平面内的一条直线，如果和这个平面的在平面内的一条直线，如果和这个平面的在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。PAa PAaAOaa平面PAO 如果如果如
3、果如果a ,aa ,aAOAO，思考思考思考思考a a与与与与POPO的位置关的位置关的位置关的位置关系如何？系如何？系如何？系如何？P Pa aA Ao o 上述命题反映了平面内的直线、平面的斜线和斜线在平面内的射影这三条直线之间的垂直关系，这就是著名的三垂线三垂线定理：定理：在平面内的一条直线，如果和这在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直也和这条斜线垂直改变定理的题设和结论，得到逆命题：在平面内的一条直线，如果和这个平面在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的一条斜线垂直，那么它也和这
4、条斜线的射影垂直的射影垂直可以用同样的方法证明，可以用同样的方法证明，这就是三垂线定理的逆定理这就是三垂线定理的逆定理AO 平面PAOaAO 三垂线逆定理：三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的垂直，那么它也和这条斜线这个平面的一条斜线的垂直，那么它也和这条斜线射射影影垂直。垂直。PAa PAaPOaa平面PAO P Pa aA Ao o PAOa三垂线定理包含几种垂直关系三垂线定理包含几种垂直关系线射垂直PAOa线面垂直 线斜垂直PAOa直 线 和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直二、定理内容阐述：1、
5、三垂线定理包括、三垂线定理包括5个要素：一面个要素：一面(垂面垂面)；四线（；四线（斜线斜线、垂线垂线、射射影影和和平面内的直线平面内的直线。顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随便。便。2、“三垂线三垂线”的含义：的含义：（1）垂线与平面垂直）垂线与平面垂直（2）射影与平面内的直线垂直）射影与平面内的直线垂直（3）斜线与平面内的直线垂直）斜线与平面内的直线垂直PCBA例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一点，外一点，PA平面平面ABC，AC BC，求证：求证：PC BC证明：证明：P 是平面是平面ABC 外一点外一点
6、 PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜线的斜线 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC BC 由三垂线定理得由三垂线定理得 PC BCM1.直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：POBD，PCBD(3)在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：POBD，PCBDPOABCD证明:A
7、BCD为正方形 O为BD的中点 AOBD又AO是PO在ABCD上的射影POBD 同理，ACBD AO是PO在ABCD上的射影PCBDPMCAB(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAMBCAM证明:PB=PCM是BC的中点PM BCPA平面PBCPM是AM在平面PBC上的射影(3)在正方体AC1中，求证：A1CBC1，A1CB1D1 在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 C B A1B1 C1A D D1证明：C B A1B1 C1A D D1同理可证，A1CB1D1由三垂线定理知 A1CBC1 此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢