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1、第第11章章 静电场静电场(electrostatic field)第第1111章章 静电场静电场电荷有正、负两种。电荷有正、负两种。(1)(1)电荷不是物质而是物体的属性。电荷不是物质而是物体的属性。(2)电量（电量（Q,q）：表示物体所带电荷多少的物理量。：表示物体所带电荷多少的物理量。+-1.电荷的定义及种类电荷的定义及种类:11.1 电荷电荷注意：注意：2.电荷的量子性：电荷的量子性：-基本电荷量基本电荷量3.电荷守恒定律电荷守恒定律 在在一一个个孤孤立立系系统统内内发发生生的的任任何何的的变变化化过过程程中中，电电荷总数荷总数(电荷的代数和电荷的代数和)保持不变。保持不变。一、库仑定
2、律一、库仑定律1.点电荷模型点电荷模型当带电体的形状、大小与它们之间的距离相比允许忽略时，当带电体的形状、大小与它们之间的距离相比允许忽略时，可以把带电体看作质点。可以把带电体看作质点。2.库仑定律库仑定律+qP+q 真空中两个静止点电荷之间相互作用力的大小与这两个点真空中两个静止点电荷之间相互作用力的大小与这两个点电荷的电荷量电荷的电荷量q1 和和q2的乘积成正比，而与这两个点电荷之间的距的乘积成正比，而与这两个点电荷之间的距离离r12 （或（或r21）的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点电荷）的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号相斥，的连线，同号相斥，异号相吸。异号相吸
3、。-静电力所服从的规律静电力所服从的规律-称真空电容率，也称真空介电常数。称真空电容率，也称真空介电常数。11.2 库仑定律库仑定律 当空间有两个以上的点电荷时当空间有两个以上的点电荷时,作用于在某一点电荷上的作用于在某一点电荷上的总总静电力静电力等于其它各点电荷单独存在时对该点电荷所施等于其它各点电荷单独存在时对该点电荷所施静电力的静电力的矢量和矢量和-电场力的叠加原理电场力的叠加原理。二、电场力的叠加原理二、电场力的叠加原理+q0+q1-q2F01F02F连续带电体对点电荷的作用连续带电体对点电荷的作用dq+qdF一、电场一、电场11.3电场和电场强度电场和电场强度电荷周围存在的一种特殊物
4、质。电荷周围存在的一种特殊物质。电荷电荷电荷电荷电场电场 静电场：静电场：静止的电荷所激发的电场称静电场。静止的电荷所激发的电场称静电场。静电力：静电力：静电场对电荷的作用力称静电力。静电场对电荷的作用力称静电力。电场：电场：电场的基本特性：电场的基本特性：对放入其中的电荷有力的作用，称为电场力。对放入其中的电荷有力的作用，称为电场力。二、电场强度二、电场强度q场源电荷场源电荷qo检验电荷检验电荷-描述电场强弱及方向的物理量描述电场强弱及方向的物理量1.电场强度定义电场强度定义:电场中某点电场强度的方向是正电荷在该处受力的方向。电场中某点电场强度的方向是正电荷在该处受力的方向。电场中某点电场强
5、度的大小等于单位电荷在该点受电场力大小。电场中某点电场强度的大小等于单位电荷在该点受电场力大小。2.电场强度单位电场强度单位:SI制中制中:N/C或或V/m3.电场强度性质电场强度性质:电场强度是反映电场性质的物理量电场强度是反映电场性质的物理量,与检验电荷存在与否无关。与检验电荷存在与否无关。电场强度是空间位置电场强度是空间位置 矢量函数。矢量函数。+三、电场强度叠加原理三、电场强度叠加原理:设电场是由设电场是由n个点电荷个点电荷q1、q2 qi qn 共同激发的共同激发的,这些电这些电荷的总体称为荷的总体称为电荷系电荷系。Prnr2r1ri.q1qn qi q2 点电荷系在空间任一点所激发
6、的总场强等于各个点电荷点电荷系在空间任一点所激发的总场强等于各个点电荷单独存在时在该点各自所激发的场强的单独存在时在该点各自所激发的场强的矢量和矢量和。检验电荷检验电荷q0 在在电荷系电场中某电荷系电场中某点点P,q0受的力：受的力：1.点电荷的场强点电荷的场强2.点电荷系的场强点电荷系的场强:q2qnq1 qiPrnr2r1ri+qq0P四、场强的计算四、场强的计算dqPZXoY3.连续带电体的场强连续带电体的场强注注意意矢矢量量运运算算例例1 电偶极子的场强计算。电偶极子的场强计算。计算计算 (1)(1)P P点的场强：点的场强：方向向右方向向右 方向向左方向向左 总场强的大小为总场强的大
7、小为 方向：向右方向：向右-q q+q qP Pr r解解:-q q+q q（2 2）计算）计算 P P点的场强：点的场强：方向如图方向如图 总场强的大小为总场强的大小为 沿沿 x 轴负方向。轴负方向。O Ox xy yPP选取坐标如图选取坐标如图 P 点的场强的大小为点的场强的大小为 点的场强的大小为点的场强的大小为 场强方向如图所示。场强方向如图所示。P P-q q+q qPPO Ox xy y 时，称为时，称为电偶极子电偶极子，由由 称为称为电偶极矩电偶极矩(简称电矩）。简称电矩）。YX例例2 设有一均匀带电直线设有一均匀带电直线,长度为长度为L,总电荷为总电荷为q ,线外一点线外一点P
8、离开直离开直线的垂直距离为线的垂直距离为a,P点和直线两端的连线与点和直线两端的连线与P点到直线的垂线夹角点到直线的垂线夹角分别为分别为 1和和2。求。求P点的场强。点的场强。12Lqaop（1）建立直角坐标系如图：）建立直角坐标系如图：（2）在带电直线上取电荷元）在带电直线上取电荷元dq：dq（5）分别求沿分别求沿 x 轴和轴和 y 轴的合量轴的合量Ex、Ey：（3）计算）计算dq在在P点的场强点的场强dE：（4）将）将dE分别沿分别沿 x 轴和轴和y 轴投影轴投影dEx dEy.分析：分析：r解：解：rYX12LqaopdqyE（1）建立直角坐标系如图：）建立直角坐标系如图：（2）在带电直
9、线上取电荷元）在带电直线上取电荷元dq：（3）计算）计算dq在在P点的场强点的场强dE：（4）分解）分解dE（5）分别求分别求Ex、Ey：统一积分变量统一积分变量同理得：同理得：rYX12LqaopdqyE讨论讨论:(1)当当P点位于带电直线的中点时点位于带电直线的中点时rYX12LqaopdqyE(2)带电直线无限长时带电直线无限长时1 -/2;2/2(3)带电直线半无限长时带电直线半无限长时1 0;2/2rYX12LqaopdqyEaaP练习练习1.计算均匀带电弯成直角形状的导线在计算均匀带电弯成直角形状的导线在P点的场强。点的场强。oXY(1)(1)注意电荷分布的对称性；注意电荷分布的对
10、称性；(2)(2)注意微元及坐标系选取的技巧；注意微元及坐标系选取的技巧；(3)(3)正确确定积分上下限。正确确定积分上下限。注意：注意：总结：总结：1.求求 的步骤的步骤（1）建立直角坐标系：）建立直角坐标系：（2）将连续分布的带电体分成无限多电荷元）将连续分布的带电体分成无限多电荷元 dq（5）分别求沿分别求沿 x 轴和轴和 y 轴的合量轴的合量Ex、Ey：（3）计算）计算dq在在P点的场强点的场强dE：（4）将）将dE分别沿分别沿 x 轴和轴和 y 轴投影轴投影dEx dEy：（6）多个带电体共同产生的电场可用叠加法求场强多个带电体共同产生的电场可用叠加法求场强：例例3计算半径为计算半径
11、为R，均匀带电量为，均匀带电量为q 的圆环轴心线上，的圆环轴心线上，距环心为距环心为x 的的P点的场强。点的场强。+RqpXOx根据对称性分析：根据对称性分析：r讨论讨论:（1）环心处的场强）环心处的场强:（2）当）当xR时时x=o+qRrXpOx练习：练习：计算半径为计算半径为R均匀带电量为均匀带电量为q 的圆盘轴心线上的圆盘轴心线上距盘心为距盘心为x 的的P点的场强。点的场强。设电荷面密度为设电荷面密度为。rdrRpXxoR，无限大带电平面，无限大带电平面 几个基本概念及公式几个基本概念及公式2.电场强度电场强度1.库仑定律库仑定律点电荷的电场点电荷的电场 场强的计算场强的计算叠加法叠加法
12、-分立带电体分立带电体-连续带电体连续带电体注意：矢量性注意：矢量性总总 结：结：1.1.均匀带电直线均匀带电直线均匀带电直线均匀带电直线5.5.无限大均匀带电平面无限大均匀带电平面无限大均匀带电平面无限大均匀带电平面典型结论典型结论3.3.均匀带电圆环均匀带电圆环均匀带电圆环均匀带电圆环YX12aop+RXpOx4.4.均匀带电圆盘均匀带电圆盘均匀带电圆盘均匀带电圆盘rdrRpXxo2.2.无限长无限长无限长无限长 均匀带电直线均匀带电直线均匀带电直线均匀带电直线补偿法求场强补偿法求场强练习练习1.缺口带电圆环缺口带电圆环求求:圆弧圆弧空隙空隙处的处的园弧上电荷园弧上电荷 带电园环带电园环点
13、电荷点电荷处的处的已知已知:解解:解：解：建坐标如图建坐标如图练习练习2 长为长为l 的的 均匀带电直线，电荷线密度为均匀带电直线，电荷线密度为 求：如图所示求：如图所示 P 点的电场强度点的电场强度取电荷元取电荷元电荷元电荷元 dx 在在 P 点的场强方向如图所示点的场强方向如图所示 各电荷元在各电荷元在 P 点的场强方向一致点的场强方向一致 场强大小直接相加场强大小直接相加方向：导线延线方向：导线延线大小为大小为练习练习6.计算半径为计算半径为R均匀带电量为均匀带电量为q 的半圆环中心的半圆环中心o点点的场强。的场强。oXYRdq qdqdE带电体带电体Q在电场中受力：在电场中受力：Q Q
14、dqdq点电荷点电荷q0在电场中受力在电场中受力：五、五、电场对电荷的作用力电场对电荷的作用力q q0 0例例 无限长均匀带电直线无限长均匀带电直线1旁有一均匀带电直线旁有一均匀带电直线2，求：相互作用力的大小。求：相互作用力的大小。解：解：建坐标系如图建坐标系如图则则1 1对对2 2的作用力的作用力：ba先求先求1 1在在2 2处产生的场处产生的场强强E E，再求作用力再求作用力F F。无限长的均匀带电直线无限长的均匀带电直线1在在x处电场处电场dq受力受力:向右；向右；各电荷元受力方向一致各电荷元受力方向一致 受受力大小可直接相加力大小可直接相加一、电场线一、电场线 为形象描述电场分布情况
15、为形象描述电场分布情况,用一些假想的有方向的曲线用一些假想的有方向的曲线电场线代表场强度的大小和方向。电场线代表场强度的大小和方向。1.规定规定:曲线上任一点的切线方向代表该点的场强方向曲线上任一点的切线方向代表该点的场强方向;电场线的疏密表示场强的大小。电场线的疏密表示场强的大小。11.4 高斯定理高斯定理2.静电场电场线性质静电场电场线性质 :电场线电场线起自正电荷起自正电荷(或无或无穷穷远远)，终止于负电荷终止于负电荷(或无或无穷穷远远)。电场线不能形成闭合曲线电场线不能形成闭合曲线;不会在没有电荷的地方终止下来。不会在没有电荷的地方终止下来。任何两条电场线不能相交。任何两条电场线不能相
16、交。(c)等值异号电荷等值异号电荷(a)正电荷正电荷(b)负电荷负电荷(d)等值正电荷等值正电荷3.电场线示意图电场线示意图BA二、电场强度通量二、电场强度通量（电通量）（电通量）e 3.均匀电场中垂直通过平面均匀电场中垂直通过平面 S 的电场强度通量的电场强度通量 :1.定义：定义：电场中通过某一曲面的电场线条数称通过该曲面的电通量。电场中通过某一曲面的电场线条数称通过该曲面的电通量。2.符号：符号：e 单位：单位：N m2/CS4.均匀电场中斜通过平面均匀电场中斜通过平面 S 的电场强度通量的电场强度通量 :SenS5.非均匀电场通过曲面非均匀电场通过曲面 S 的电场强度通量的电场强度通量
17、 :EdSenS6.面元法向规定面元法向规定 :非封闭曲面法向指凸向非封闭曲面法向指凸向;封闭曲面指外法向。封闭曲面指外法向。enen电通量是标量但有正负，其正负取决于电通量是标量但有正负，其正负取决于 当当0/2de是正值，称穿出是正值，称穿出;en12en 当当/2 0.当闭合曲面内净电荷为负时当闭合曲面内净电荷为负时,eRr结论：结论：rE0RE=0高斯面的选法高斯面的选法:a.a.高斯面一定要通过待求场强的那一点。高斯面一定要通过待求场强的那一点。b.b.高斯面的各部分要与场强垂直或者与场强平行，高斯面的各部分要与场强垂直或者与场强平行，与场强垂直的那部分面上的各点的场强要相等。与场强
18、垂直的那部分面上的各点的场强要相等。c.c.高斯面的形状应尽量简单。高斯面的形状应尽量简单。1.分析场分析场(电场线电场线)，找对称性，找对称性2.取取合适合适的高斯面的高斯面3.应用定理应用定理利用高斯定理求场强步骤：利用高斯定理求场强步骤：计算无限长均匀带电圆柱面的场强。计算无限长均匀带电圆柱面的场强。设圆柱半径为设圆柱半径为R,沿轴向单位长电荷线密度为沿轴向单位长电荷线密度为。高高斯斯面面E（1）分析电场分布的对称性）分析电场分布的对称性 轴对称轴对称 （2）取高斯面）取高斯面柱面柱面（3）运用高斯定律求场强）运用高斯定律求场强解：解：Rrl例例2.1.rRlrE高高斯斯面面rE0RE=
19、01.静电场是静电场是有源无旋场有源无旋场(1)起于正电荷，终止于负电荷，称为起于正电荷，终止于负电荷，称为有源场有源场。(2)电场线不闭合，称为电场线不闭合，称为无旋场无旋场。2.电通量的定义：电通量的定义：3.高斯定理：高斯定理：4.求电场强度的两种方法：求电场强度的两种方法：上节复上节复 习习(1)叠加原理叠加原理(2)利用高斯定理利用高斯定理(要求带电体系有一定的对称性要求带电体系有一定的对称性)均匀带电球面均匀带电球面均匀带电球面均匀带电球面无限长均匀带电圆柱面无限长均匀带电圆柱面无限长均匀带电圆柱面无限长均匀带电圆柱面典型结论典型结论+qR练练习习1.如如图图所所示示，两两个个同同
20、心心均均匀匀带带电电球球面面，内内球球面面半半径径为为R1、带带有有电电荷荷Q1，外外球球面面半半径径为为R2、带带有有电电荷荷Q2，求求：在在外外球球面面外外面面、距距离离球球心心为为 r处处的的 P 点点的的场场强强 E 为多大？为多大？PrR1R2Q1Q2O叠加法求场强叠加法求场强解解:内球面内球面Q1在在P 点的场强为：点的场强为：外球面外球面Q2在在P点的场强为：点的场强为：P 点的场强点的场强 E 为：为：E1 与与E2方向相同，方向相同，例例3.计算真空中半径为计算真空中半径为R R,带电量为带电量为 q q 的均匀球体的的均匀球体的场强场强。ER高斯面解：设均匀带电球体的电荷电
21、解：设均匀带电球体的电荷电量体密度为量体密度为(1)r R高斯面高斯面RE0rREOrE rE 1/r均匀带电球体的电场强度分布曲线均匀带电球体的电场强度分布曲线例例4.计算真空中半径为计算真空中半径为R R,电荷电量体密度为电荷电量体密度为(r)=kr(k是常量是常量)球体的场强分布。球体的场强分布。取半径为取半径为 r，厚度为，厚度为 dr 的球壳为体积元的球壳为体积元,以以 r 为半径的球为半径的球体的电量为：体的电量为：高斯面内包围的电量的计算：高斯面内包围的电量的计算：解：解：1.对球体外，与上题相同。对球体外，与上题相同。2.对球体内，取以球心为球心的半径为对球体内，取以球心为球心
22、的半径为 r 0,V 0,V =0 最小最小;二、二、电荷系电场中的电势电荷系电场中的电势Prnr2r1ri.q1qn qi q2当当q0,V RB时时由已知的均匀带电球面电势分布和电势叠加原理可得由已知的均匀带电球面电势分布和电势叠加原理可得(2)当当 RA r RB 时时RARBorpqAq B+例例5 求求 无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。设带电直线无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。设带电直线单位长电量为单位长电量为。解解:设距直线为设距直线为 r0 的的P点的电势点的电势Po 点为零能势点点为零能势点距直线为距直线为 r 的的P点的电势。点的电势。Po P则则rp 0;rp
23、ro,V p 0问题：问题：将一点电荷将一点电荷q0从从P点移到点移到P0点，电场力做的功是多少？点，电场力做的功是多少？一、等势面一、等势面:在电场中在电场中,电势相等的点组成的曲面电势相等的点组成的曲面(平面平面)。11.8 电势与电场强度的关系电势与电场强度的关系(d)不规则带电体不规则带电体1.等势面与电场线示意图等势面与电场线示意图:(a)正点电荷正点电荷(b)电偶极子电偶极子(c)正负带电板正负带电板2.等势面与电场强度的关系等势面与电场强度的关系:(1)因为电荷沿等势面运动电场力所作的功为零因为电荷沿等势面运动电场力所作的功为零,故故等势面与电等势面与电场线处处正交场线处处正交;
24、(2)(2)等势面密处场强大，稀疏处场强小等势面密处场强大，稀疏处场强小。(3)电场线方向指向电势降低的方向。电场线方向指向电势降低的方向。3.3.场强与电势的关系，场强与电势的关系，二、电势梯度二、电势梯度这是直角坐标系中场强与电势的微分关系，这是直角坐标系中场强与电势的微分关系，因此，如果因此，如果V 容易求得，可通过容易求得，可通过 V 求求 E.E.电势梯度电势梯度所以所以 ：E是是V 的微分的微分在在OXYZ坐标坐标系下系下例例:求均匀带电圆盘轴线上的电势和场强求均匀带电圆盘轴线上的电势和场强。已知圆盘半已知圆盘半径为径为R,带电量面密度为带电量面密度为。rdrpXxERo解：解：三
25、、三、电荷在电场中的静电势能电荷在电场中的静电势能 保守力做功等于相应势能的减少量。保守力做功等于相应势能的减少量。如果选如果选 b 点的电势能为零，则点的电势能为零，则 1.电荷在电场中某点的电势能等于它的电量与该点电势的乘积。电荷在电场中某点的电势能等于它的电量与该点电势的乘积。单位单位:J上式还表明：电势上式还表明：电势 等于单位正电荷的电势能。等于单位正电荷的电势能。2.电势能性质电势能性质:电势能属于系统所有；电势能属于系统所有；在电场力作用下，电荷总是沿着电势能减小的方向运动。在电场力作用下，电荷总是沿着电势能减小的方向运动。3.电势能的零点与电势的零点一致；电势能的零点与电势的零
26、点一致；电势是标量，但有正负。引力场中电势能为负；电势是标量，但有正负。引力场中电势能为负；处电势处电势能最大；斥力场能最大；斥力场 中电势能为正，中电势能为正，处电势能最小。处电势能最小。4.4.静电场力做功与电势能的关系静电场力做功与电势能的关系1.求求 E 的方法的方法（1）叠加法：）叠加法：分离电荷分离电荷连续电荷连续电荷（2）高斯定理：）高斯定理：本本 章章 小小 结结一、描述静电场特性的两个基本物理量一、描述静电场特性的两个基本物理量 、V（3）由）由 V 求求 :2.求求 V 的方法的方法（1）定义（）定义（场强积分法）场强积分法）：（2）叠加法：）叠加法：分离电荷分离电荷连续电
27、荷连续电荷二、二、描述静电场特性的两条规律描述静电场特性的两条规律有源场有源场无旋场（保守场、有势场）无旋场（保守场、有势场）四、电场力的功四、电场力的功五、电势能五、电势能三、电荷受电场作用力三、电荷受电场作用力习题习题11-7 在盖革计数器中有一半径径为在盖革计数器中有一半径径为R2的金属圆筒，在圆筒的金属圆筒，在圆筒轴线上有一条半径径为轴线上有一条半径径为R1的导线如果在导线与圆筒之间加的导线如果在导线与圆筒之间加上上U12的电压，试分别求的电压，试分别求:(1)导线表面处的电场强度的大小导线表面处的电场强度的大小(2)金属圆筒内表面处的电场强度的大小金属圆筒内表面处的电场强度的大小解：
28、解：设导线上的电荷线密度为设导线上的电荷线密度为，作与导线同轴长度，作与导线同轴长度为为l、半径为、半径为r(R1rR2)的高斯圆柱面，由高斯的高斯圆柱面，由高斯定理定理(R1r R2)导线与圆筒之间的场强：导线与圆筒之间的场强：方向沿半径指向圆筒方向沿半径指向圆筒导线与圆筒之间的电势差导线与圆筒之间的电势差:U12导线与圆筒之间的场强：导线与圆筒之间的场强：导线与圆筒之间的电势差导线与圆筒之间的电势差:(1)导线表面处场强：导线表面处场强：(2)金属圆筒内表面处的电场强度金属圆筒内表面处的电场强度:习题习题11-8 在强度的大小为在强度的大小为E，方向竖直向上的匀强电场中，有一，方向竖直向上
29、的匀强电场中，有一半径为半径为R的半球形光滑绝缘槽放在光滑水平面上的半球形光滑绝缘槽放在光滑水平面上(如图所示如图所示)槽槽的质量为的质量为M，一质量为，一质量为m带有电荷带有电荷q的小球从槽的顶点的小球从槽的顶点A处由静处由静止释放如果忽略空气阻力且质点受到的重力大于其所受电场止释放如果忽略空气阻力且质点受到的重力大于其所受电场力，求：力，求：(1)小球由顶点小球由顶点A滑至半球最低点滑至半球最低点时相对地面的速度；时相对地面的速度；(2)小球通过小球通过B点时，槽相对地面的速度；点时，槽相对地面的速度；(3)小球通过小球通过B点后，能不能再上升到右端最高点点后，能不能再上升到右端最高点C？
30、MABm,qCEEmgF解：解：设小球滑到设小球滑到B点时相对地的速度点时相对地的速度为为v，槽相对地的速度为，槽相对地的速度为V 将小球与槽视为系统，将小球与槽视为系统，小球从小球从AB过过程中，程中，只有重力、电场力做功，且水平方只有重力、电场力做功，且水平方向合外力为零：向合外力为零：例例:如图所示，半径分别为如图所示，半径分别为 R1=5 cm 和和 R2=10 cm 的的两个长共轴圆筒连在直流电源的两极上，一电子以速两个长共轴圆筒连在直流电源的两极上，一电子以速率率 v=3106m/s，沿半径，沿半径 r(R1 r R2)的圆周切线方的圆周切线方向射入，若电子作圆周运动，电源的电压为多大。向射入，若电子作圆周运动，电源的电压为多大。R1R2rU解：解：电子在两圆筒间作匀速率电子在两圆筒间作匀速率圆周运动应满足条件圆周运动应满足条件则两筒间电势则两筒间电势