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1、第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础1、刚体、刚体:在外力作用下在外力作用下形状和大小完全不变的物体为形状和大小完全不变的物体为刚体刚体。刚体是一种理想模型。刚体是一种理想模型。刚体上任两点间的距离始终保持不变。刚体上任两点间的距离始终保持不变。5.1.1、刚体、刚体 平动与转动平动与转动 2、刚体的平动、刚体的平动:刚体上刚体上任意任意两点的连线在运动中保持平行，这两点的连线在运动中保持平行，这种运动称为刚体的平动。种运动称为刚体的平动。平动的刚体可当作质点，平动的刚体可当作质点，质点力学的规律质点力学的规律适用。适用。注意：注意：刚体平动时，运动轨迹不一定是直线。刚体平动时，运动轨迹不一定
2、是直线。特征：特征：各个质点的位移、速度、加速度相等各个质点的位移、速度、加速度相等。3、刚体的转动、刚体的转动:刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。4、刚体的一般运动：、刚体的一般运动：刚体的一般运动可看成是平动和转动的刚体的一般运动可看成是平动和转动的 叠加。叠加。定轴转动定轴转动:转轴在空间的位置固定不动。转轴在空间的位置固定不动。1）各点的角位移、角速度、角加速度相同各点的角位移、角速度、角加速度相同。2）各点的线位移、线速度、线加速度不同各点的线位移、线速度、线加速度不同。特征：特征：5.1 刚体运动学刚体运动学5.1.2、刚体定轴转动的角量描述、刚体
3、定轴转动的角量描述平均角速度：平均角速度：角速度：角速度：（矢量）（矢量）角加速度：角加速度：（矢量）（矢量）角位移角位移:规定规定 Ox 轴逆时针转动为正方向，反之为负方向。轴逆时针转动为正方向，反之为负方向。角位置：角位置：刚体定轴转动的运动学方程。刚体定轴转动的运动学方程。定轴转动只有两个转动方向。定轴转动只有两个转动方向。刚体作匀变速转动时，相应公式如下：刚体作匀变速转动时，相应公式如下：角量与线量的关系：角量与线量的关系：线速度与角速度之间的矢量关系为线速度与角速度之间的矢量关系为:由于在定轴转动由于在定轴转动中轴的位置中轴的位置不变，故不变，故 只有沿轴的正只有沿轴的正负两个方向，
4、可以用负两个方向，可以用代数值代数值代替。代替。例题例题5-1 一半径为一半径为R=0.1m 的砂轮作定轴转动，其角位置随时间的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t 的变化关系为的变化关系为 =(2+4 t 3)rad，式中式中 t 以秒计。试求：以秒计。试求：1）在）在 t=2s 时，砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的时，砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的大小。大小。2）当角）当角 为多大时，该质点的加速度与半径成为多大时，该质点的加速度与半径成 45 o。解：解：1)2)(舍去舍去t=0 和和 t=-0.55 )此时砂轮的角度：此时砂轮的角度：补充例题补充例题 一飞轮从静止开始
5、加速，在一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地内其角速度均匀地增加到增加到200 rad/min，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小。又过了以制动，其角速度均匀减小。又过了5s后，飞轮停止了转动。后，飞轮停止了转动。若飞轮总共转了若飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间？转，求共运转了多少时间？解：解：整个过程分为三个阶段整个过程分为三个阶段加速阶段加速阶段匀速阶段匀速阶段制动阶段制动阶段 解：解：1)棒做变加速运动：棒做变加速运动：例题例题5-2 一细棒绕一细棒绕O 点自由转动，并知点自由转动，并知 ,L 为棒长。为棒长
6、。求求:1)棒自水平静止开始运动，棒自水平静止开始运动，=/3 时时,角速度角速度?2)此时端点此时端点A 和中点和中点B 的线速度为多大的线速度为多大?平动动能平动动能：转动动能转动动能：5.2.1、刚体的动能、刚体的动能 5.2 定定轴转动刚轴转动刚体的功和能体的功和能定义：刚体对转轴的转动惯量：定义：刚体对转轴的转动惯量：SI单位：单位：kg.m 2即：即：注意：注意：转动动能实质与平动动能相同，表达式不同。转动动能实质与平动动能相同，表达式不同。一般刚体动能一般刚体动能：2、转动惯量的计算：、转动惯量的计算：若质量离散分布：若质量离散分布：（质点，质点系）（质点，质点系）若质量连续分布
7、：若质量连续分布：其中：其中：1、定义：刚体对转轴的转动惯量：定义：刚体对转轴的转动惯量：5.2.2 转动惯量的计算：转动惯量的计算：描述刚体转动惯性大小的物理量。描述刚体转动惯性大小的物理量。若已知刚体的密度分布，而形状又是若已知刚体的密度分布，而形状又是规则对称规则对称的，转的，转动惯量可以动惯量可以计算计算得出。常见的刚体的特殊形状如得出。常见的刚体的特殊形状如圆环、圆环、圆盘、圆柱体、圆柱环、细杆、球体、球壳圆盘、圆柱体、圆柱环、细杆、球体、球壳等。对于等。对于形形状复杂状复杂的刚体，则需要通过的刚体，则需要通过实验实验测转动惯量。测转动惯量。计算转动惯量时，质元计算转动惯量时，质元d
8、m的选取原则：的选取原则：使使dm上各点的上各点的 r 相等。相等。例例5-3 求长为求长为L、质量为质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。解解:1）取）取A 点为坐标原点。在距点为坐标原点。在距A 点为点为x 处取处取dm=dx。2）取）取C 点为坐标原点。点为坐标原点。在距在距C 点为点为x 处取处取dm。例例5-4(1)求质量为求质量为m，半径为半径为R 的均匀圆环对中心轴的转动惯量。的均匀圆环对中心轴的转动惯量。解解:设设质量质量线密度为线密度为，质点作圆周运动、圆筒质点作圆周运动、圆筒J 是可加的，所以若为薄圆筒是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚
9、度）结果相同。（不计厚度）结果相同。例例5-4（2）求质量为求质量为m、半径为半径为R 的均匀薄的均匀薄圆盘对中心轴的转圆盘对中心轴的转动惯量。动惯量。圆柱、滑轮等圆柱、滑轮等取半径为取半径为 r 宽为宽为d r 的薄圆环的薄圆环,解：设面密度为解：设面密度为。2)同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，凡提到转动惯量凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。必须指明它是对哪个轴的。1)刚体的转动惯量是由刚体的转动惯量是由刚体的刚体的总总质量、质量分布、质量、质量分布、转轴的位置转轴的位置三个因素共同决定三个因素共同决定;说明说明3、平行轴定理：、平行轴定理：若有任一
10、轴与过若有任一轴与过质心质心的轴平行，且两轴相距为的轴平行，且两轴相距为d，刚体刚体对该轴的转动惯量为对该轴的转动惯量为J，则有：则有：说明：说明：说明：说明：两轴平行；两轴平行；JC 为刚体绕质心轴的转动惯量为刚体绕质心轴的转动惯量d 为两平行轴间距离。为两平行轴间距离。例：例：均匀圆盘对均匀圆盘对O 轴的转动惯量。轴的转动惯量。4、正交轴定理、正交轴定理JzJx Jy 该定理对有限厚度的板不能成立，该定理对有限厚度的板不能成立，仅适用于厚度无穷小的薄板。仅适用于厚度无穷小的薄板。5.2.3 对转轴的力矩对转轴的力矩1、F在转动平面内在转动平面内Mz的方向平行于转轴，由右手螺旋法则确定。的方
11、向平行于转轴，由右手螺旋法则确定。2、F 不在转动平面内不在转动平面内大小：大小：MzFrsin =Fd,d=rsin 称为力称为力 F 对转轴的力臂。对转轴的力臂。把把 分解为三个分量分解为三个分量 、，的的力矩为零，力矩为零，的力矩不为零，但不影的力矩不为零，但不影响刚体的定轴转动，响刚体的定轴转动，的力矩沿轴向，的力矩沿轴向，它对角动量有贡献。它对角动量有贡献。3 3、多个力作用于刚体、多个力作用于刚体 各外力作用点各不相同，外力对转轴的各外力作用点各不相同，外力对转轴的合力矩：合力矩：刚体所受的合力矩等于各个力矩的矢量和。刚体所受的合力矩等于各个力矩的矢量和。可证：可证：刚体中内力对给
12、定轴的力矩的矢量和为零，只需考虑刚体中内力对给定轴的力矩的矢量和为零，只需考虑 外力矩的作用。外力矩的作用。有两个可能的方向，用正负表示有两个可能的方向，用正负表示方向：方向：5.2.4 定轴转动定律定轴转动定律 设刚体以角速度设刚体以角速度 和角加速度和角加速度 绕绕Oz轴轴转动，转动，P点表示刚体上的一个质元，质量为点表示刚体上的一个质元，质量为 ，P点的矢径为点的矢径为 ，此质元所受的外力为，此质元所受的外力为 ，内力为，内力为 ，且均在转动平面内。，且均在转动平面内。由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得:其切向分量和法向分量方程分别为其切向分量和法向分量方程分别为:由于法向力的作用线穿过转
13、轴，其力矩为零。由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。上面方程两上面方程两边边同乘以同乘以，可得，可得 令令 则有：则有：上式便可写成上式便可写成 它表明：它表明：刚体作定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加刚体作定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加 速度的乘积，等于作用于刚体上所有外力对该轴的合速度的乘积，等于作用于刚体上所有外力对该轴的合 外力矩。外力矩。刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律1、转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴为惯性系。转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴为惯性系。2、M 一定：作用在不同刚体上，一定：作用在不同刚体上，J 大时，大时，小，转速不易小，转速不易
14、改变，转动惯性大。反之，改变，转动惯性大。反之，J 小，转动惯性小。小，转动惯性小。故：转动惯量是物体转动惯性大小的量度。故：转动惯量是物体转动惯性大小的量度。3、刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律。、刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律。应用时应注意以下问题：应用时应注意以下问题：当系统中既有转动物体，又有平动物体时，用当系统中既有转动物体，又有平动物体时，用 隔离法隔离法解题。解题。对转动物体应用转动定律建立方对转动物体应用转动定律建立方 程，程，对平动物体则用牛顿第二定律建立方程。对平动物体则用牛顿第二定律建立方程。力矩和转动惯量必须对力矩和转动惯量必须对同一转轴同一转轴而言。
15、而言。选定转轴的正方向，以确定力矩或角加速度、角速选定转轴的正方向，以确定力矩或角加速度、角速 度的正负。如此便可在求解过程中使用代数量。度的正负。如此便可在求解过程中使用代数量。的薄的薄圆盘圆盘）的定滑的定滑轮轮（视为视为半径半径为为例题例题5-6 一一轻绳轻绳跨跨过过一一质质量量为为两物体，且两物体，且和和绳两端挂质量为绳两端挂质量为，绳绳与滑与滑轮轮无相无相对对滑滑动动，滑滑轮轴间轮轴间摩擦阻力矩摩擦阻力矩为为求：求：物体的加速度和绳中的张力。物体的加速度和绳中的张力。解：解：由牛顿第二定律和转动定律得由牛顿第二定律和转动定律得 对对 （2 2）对对（1 1）对滑轮：对滑轮：（4 4）（
16、5 5）问：如此能得到物体的加速度吗？问：如此能得到物体的加速度吗？（3 3）联立（联立（1 1）,（2 2），（），（3 3），（），（4 4），），(5)(5)式可解得式可解得当不当不计计滑滑轮质轮质量量m 和摩擦阻力矩和摩擦阻力矩Mf时时，有，有例题例题5-7 质量为质量为m 1、半径为、半径为R 的定滑轮可绕轴自由转动，一质量的定滑轮可绕轴自由转动，一质量为为m 2 的物体悬挂于绕过滑轮的细绳上。求：物体的物体悬挂于绕过滑轮的细绳上。求：物体m 2 的下落加速的下落加速度度a 和和 滑轮转动的角加速度滑轮转动的角加速度.关联方程：关联方程：解解:对对m 1 分析力矩；取滑轮转动方向为正
17、方向。分析力矩；取滑轮转动方向为正方向。对对m 2分析受力，取向下为正方向。分析受力，取向下为正方向。由转动定律：由转动定律：由牛顿运动定律：由牛顿运动定律：联立（联立（1）（4）解得：）解得：思考：思考：若将物体若将物体m2替换为大小为替换为大小为 m2g的向下的拉力，结果的向下的拉力，结果与上面结果比较如何？与上面结果比较如何？应用上述装置可用来测量滑轮的转动惯量。怎样测？应用上述装置可用来测量滑轮的转动惯量。怎样测？例题例题5-8 一刚体由长为一刚体由长为 l，质量为，质量为m 的均匀细杆和质量为的均匀细杆和质量为m 的小球的小球 组成组成，且可绕且可绕O 轴在竖直平面内转动，轴在竖直平
18、面内转动，且且 轴处无摩擦。轴处无摩擦。求求:1）刚体绕轴刚体绕轴O 的转动惯量。的转动惯量。2）若杆自水平静止开始运）若杆自水平静止开始运 动，杆与竖直方向成动，杆与竖直方向成角时角时,小球的角速度和法向加速度。小球的角速度和法向加速度。2）取）取逆时针转动为正方向逆时针转动为正方向，杆与竖直，杆与竖直 方向成方向成角时，合外力矩角时，合外力矩:解解:1）此处若改用杆与水平方向的夹角此处若改用杆与水平方向的夹角 描述时，则可取顺时针描述时，则可取顺时针为正方向，此时的力矩为为正方向，此时的力矩为分离变量积分得分离变量积分得:小球的法向加速度小球的法向加速度 ：由转动定律由转动定律:解解 选选
19、取取斜斜面面为为参参考考系系，规规定定滑滑轮轮的的转转动动方方向向为为转转动动正正向向，沿沿斜斜面面向向上上为为重重物物运运动的正方向。隔离物体分析受力。动的正方向。隔离物体分析受力。对重物应用对重物应用牛顿第二定律，得牛顿第二定律，得对滑轮应用转动定律，得对滑轮应用转动定律，得 关联方程为：关联方程为：例例题题补补 一一恒恒力力矩矩M作作用用于于斜斜面面顶顶点点的的滑滑轮轮上上，滑滑轮轮的的半半径径为为r,质质量量为为m1，质质量量为为m2的的重重物物通通过过一一不不可可伸伸长长的的轻轻绳绳固固定定在在轮轮的的边边缘缘，重重物物沿沿倾倾角角为为的的斜斜面面上上升升。重重物物与与斜斜面面间间的
20、的摩摩擦擦系系数数为为。求：轮子由静止开始转过角求：轮子由静止开始转过角 后获得多大的角速度？后获得多大的角速度？联立得：联立得：由于由于 为常量，故滑轮作匀变速转动则为常量，故滑轮作匀变速转动则 基本步骤：基本步骤：1.隔离法分析研究对象。隔离法分析研究对象。2.确定各物体运动的正方向。确定各物体运动的正方向。3.分别列出质点和刚体的运动方程。分别列出质点和刚体的运动方程。5.2.5、力矩的功和功率：、力矩的功和功率：力矩功的表达式：力矩功的表达式：由功的定义式由功的定义式:质点受到外力作用发生了位移质点受到外力作用发生了位移刚体受到外力矩作用发生了角位移刚体受到外力矩作用发生了角位移力矩的
21、功是多少？力矩的功是多少？如果有几个外力矩对刚体做功，则各外力矩做功之和为如果有几个外力矩对刚体做功，则各外力矩做功之和为 M为刚体所受合外力矩。为刚体所受合外力矩。根据质点力学中功率的定义，根据质点力学中功率的定义，力矩的功率力矩的功率可表示为可表示为4）力矩的功与力的功实质相同，表达式不同。）力矩的功与力的功实质相同，表达式不同。2）M为作用在定轴转动刚体上所有外力的合力矩。为作用在定轴转动刚体上所有外力的合力矩。3）内力矩做功为零。内力矩做功为零。1）M 恒定时恒定时说明说明说明说明:5.2.6 刚体定轴转动的动能定理：刚体定轴转动的动能定理：定轴转动的动能定理积分形式定轴转动的动能定理
22、积分形式合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。定轴转动的动能定理微分形式定轴转动的动能定理微分形式例例题题补补充充 冲冲床床的的飞飞轮轮m=600kg,飞飞轮轮半半径径r=0.4m.正正常常速速度度为为n1=240r/min,冲冲一一次次孔孔转转速速减减低低20%。求求冲冲一一次次孔孔冲冲头头做的功。做的功。解解冲孔前后的角速度分别表示为冲孔前后的角速度分别表示为1 1 和和2 2 冲一次孔铁板阻力对冲头做功为：冲一次孔铁板阻力对冲头做功为：故冲头做功：故冲头做功：刚体质量全部集中于质心时，相对于零势能点所具有的势能。刚体质量全部集中于质心时，相对于零势能点所
23、具有的势能。5.2.7 刚体的重力势能刚体的重力势能:刚体的重力势能刚体的重力势能:zc是刚体质心相对重力势是刚体质心相对重力势能参考点的高度能参考点的高度.重力矩所做的功等于重力势能增量的负值。重力矩所做的功等于重力势能增量的负值。长为长为 质质量量为为m 的均匀的均匀细细棒作如棒作如图图所示的定所示的定轴转动时轴转动时，重力矩，重力矩所做的功为所做的功为（为棒与竖直方向的夹角）为棒与竖直方向的夹角）5.2.8 刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒定律刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒定律:如果如果刚刚体定体定轴转动轴转动中受重力矩中受重力矩及其它外力矩及其它外力矩的作用，的作用，则有则有刚体
24、定轴转动功能原理的积分形式刚体定轴转动功能原理的积分形式 统称为刚体的统称为刚体的机械能机械能 刚体定轴转动功能原理的微分形式刚体定轴转动功能原理的微分形式 如果在刚体定轴转动的过程中，除重力矩以外的其它外力矩如果在刚体定轴转动的过程中，除重力矩以外的其它外力矩对刚体做的功始终为零，则对刚体做的功始终为零，则 刚体定轴转动的机械能守恒刚体定轴转动的机械能守恒注意：注意：所选取系统中各物体既有平动又有转动时所选取系统中各物体既有平动又有转动时：下下摆摆。求。求:例例题题5-9 5-9 一一长为长为l，质质量量为为m 的匀的匀质细质细棒，如棒，如图图所示，可所示，可绕图绕图中中水平轴水平轴O在竖直
25、面内旋转，若轴间光滑，今使棒从水平位置自由在竖直面内旋转，若轴间光滑，今使棒从水平位置自由（1 1）在水平位置和）在水平位置和竖竖直位置棒的角加速度直位置棒的角加速度（2 2）在）在竖竖直位置直位置时时棒的角速度棒的角速度、质质心的心的速度和加速度各为多少？速度和加速度各为多少？解：解：（1 1）由定轴转动定律可得）由定轴转动定律可得在水平位置在水平位置 在竖直位置在竖直位置（2 2）取任一中）取任一中间间状状态进态进行受力分析，可行受力分析，可知只有重力矩做功，知只有重力矩做功，则则细棒的机械能守恒。细棒的机械能守恒。若设细棒在若设细棒在水平位置水平位置时为时为重力重力势势能零点，能零点，则
26、则在在竖竖直位置直位置时时，有：，有：竖直位置棒的角速度为竖直位置棒的角速度为所以：所以：解：解：选取定轴转动的滑轮、选取定轴转动的滑轮、弹簧、物体和地球为系统，弹簧、物体和地球为系统，这时重力、弹性力均为系统这时重力、弹性力均为系统内保守力，而其它外力和非内保守力，而其它外力和非保守内力均不做功，故系统保守内力均不做功，故系统的机械能守恒：的机械能守恒：联立求得联立求得 例例题题5-10 如如图图，滑，滑轮轮的的质质量量为为M，半径为半径为R，物体的质量为物体的质量为m，弹簧的劲度系数为弹簧的劲度系数为k，斜面的倾角为，斜面的倾角为，物体与斜面间光滑，物体，物体与斜面间光滑，物体从静止释放，
27、释放时弹簧无形变。设细绳不伸长且与滑轮间无相从静止释放，释放时弹簧无形变。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，忽略轴间摩擦阻力矩。求物体沿斜面下滑对滑动，忽略轴间摩擦阻力矩。求物体沿斜面下滑x时的速度为时的速度为多大？多大？（滑轮视作薄圆盘）（滑轮视作薄圆盘）5.3.1 刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量 当刚体作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时均以相同的角当刚体作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时均以相同的角速度速度绕该轴作圆周运动。设刚体上某一质元绕该轴作圆周运动。设刚体上某一质元mi 距轴的距离距轴的距离为为ri，则其对该轴的角动量为：则其对该轴的角动量为：5.3定定轴转动刚轴转动刚体的角
28、体的角动动量定理和角量定理和角动动量守恒定律量守恒定律其矢量式为其矢量式为整个刚体对该轴的角动量为：整个刚体对该轴的角动量为：即：刚体对某定轴的即：刚体对某定轴的角动量角动量等于刚体对此轴的等于刚体对此轴的转动惯量转动惯量与与角速度角速度的乘积。的乘积。对比：对比：5.3.2 刚体的角动量定理刚体的角动量定理刚体定轴转动时，当转动惯量刚体定轴转动时，当转动惯量J不变时，转动定律可表示为不变时，转动定律可表示为或或5.3.3 刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律 当作用于刚体上的合外力矩等于零时：当作用于刚体上的合外力矩等于零时：即：当刚体所受的外力对某固定转轴的合外力矩为即：当刚体所受的外
29、力对某固定转轴的合外力矩为零时，刚体对此转轴的总角动量保持不变。零时，刚体对此转轴的总角动量保持不变。作用于定轴转动的刚体上作用于定轴转动的刚体上的合外力矩等于刚体对此轴的合外力矩等于刚体对此轴的角动量随时间的变化率。的角动量随时间的变化率。作用在刚体上的角作用在刚体上的角冲量等于角动量的冲量等于角动量的增量。增量。1)定轴转动的刚体，若定轴转动的刚体，若 J =C，角动量守恒角动量守恒则刚体保持静止则刚体保持静止 或匀角速转动。或匀角速转动。2）若）若J 不为恒量时，不为恒量时，角动量守恒角动量守恒即：即：J=恒量。恒量。这时，刚体这时，刚体 的角速度随转动惯量的变化而变化，但乘积保持不变的
30、角速度随转动惯量的变化而变化，但乘积保持不变3）角动量守恒定律中的）角动量守恒定律中的 都是相对于同一转轴的都是相对于同一转轴的说明说明4）守恒条件：）守恒条件：例例:角动量守恒定律的应用：角动量守恒定律的应用：茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳花样滑冰、跳水中的旋转动作花样滑冰、跳水中的旋转动作军事应用军事应用鱼雷的螺旋桨、直升机尾翼鱼雷的螺旋桨、直升机尾翼思考：思考：质量为质量为M，长为，长为l 的均匀细杆，可绕垂直于棒一端点的均匀细杆，可绕垂直于棒一端点的的 轴轴O 无摩擦地转动。若细杆竖直悬挂，现有一质量为无摩擦地转动。若细杆竖直悬挂，现有一质量为m 的弹性小球飞来，与细杆碰撞，问小球与细杆相碰
31、过程中，的弹性小球飞来，与细杆碰撞，问小球与细杆相碰过程中，球与杆组成的系统的动量是否守恒？对于过球与杆组成的系统的动量是否守恒？对于过 O点的轴的角点的轴的角动量是否守恒？动量是否守恒？合外力不为零，则系统的动量不守恒。合外力不为零，则系统的动量不守恒。合外力矩为零，则系统的角动量守恒。合外力矩为零，则系统的角动量守恒。例题例题5-11如图所示，一质量为如图所示，一质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度v0射穿静止悬于射穿静止悬于顶端的均质长棒的下端。子弹穿出后其速度损失了顶端的均质长棒的下端。子弹穿出后其速度损失了3/4，求子弹穿，求子弹穿出后棒的角速度出后棒的角速度。已知棒的长度为。已
32、知棒的长度为l，质量为，质量为M。解解 ：取细棒和子弹为系统，在碰撞过程中，系统受到的外力：取细棒和子弹为系统，在碰撞过程中，系统受到的外力：重力和轴的作用力，它们对转轴的力矩为零。所以系统的角动重力和轴的作用力，它们对转轴的力矩为零。所以系统的角动量守恒，即量守恒，即 例例题题5-12如如图图，一，一长为长为2l，质质量量为为M的均匀的均匀细细棒，可棒，可绕绕中点的中点的水平水平轴轴O在在竖竖直面内直面内转动转动，开始，开始时时棒静止在水平位置，一棒静止在水平位置，一质质量量为为m的小球以速度的小球以速度v0垂直下落在棒的端点，垂直下落在棒的端点，设设小球与棒作小球与棒作弹弹性碰撞性碰撞，求
33、，求碰撞后小球的回跳速度碰撞后小球的回跳速度v及棒及棒转动转动的角速度的角速度各各为为多少？多少？解解:以小球和棒组成的系统为研究对象。以小球和棒组成的系统为研究对象。取小球和棒碰撞中间的任意状态分析受力，取小球和棒碰撞中间的任意状态分析受力，小球重力和冲力相比可以忽略，小球重力和冲力相比可以忽略，则系统对轴则系统对轴O的角动量守恒的角动量守恒 取垂直纸面向里为角动量取垂直纸面向里为角动量L正向，正向，根据弹性碰撞，机械能守恒。有根据弹性碰撞，机械能守恒。有联立可解得联立可解得解解:如如图图，对盘对盘和人和人组组成的系成的系统统，当人走，当人走动时动时系系统统所受到的所受到的对转对转轴轴的合外
34、力矩的合外力矩为为零，因此系零，因此系统统的角的角动动量守恒。量守恒。设设人沿人沿转转台台边缘边缘相相对对地面以角速度地面以角速度逆逆时针时针方向方向绕轴绕轴走走动动，人的，人的转动惯转动惯量量为为J1。转转台以角速度台以角速度 相相对对地面地面顺时针顺时针方向方向绕轴转动绕轴转动，转转台的台的转动惯转动惯量量为为J2。起始状。起始状态态系系统统的角的角动动量量为为零。零。则则有有例题例题5-13 一质量为一质量为M半径为半径为R的水平转台（可看作匀质圆盘）可的水平转台（可看作匀质圆盘）可绕通过中心的竖直光滑轴自由转动，一个质量为绕通过中心的竖直光滑轴自由转动，一个质量为m 的人站在转台的人站在转台边缘。人和转台最初相对地面静止。求当人在转台上边缘走一周边缘。人和转台最初相对地面静止。求当人在转台上边缘走一周时，人和转台相对地面各转过的角度是多少？时，人和转台相对地面各转过的角度是多少？令令当人在盘上走完一周时，应有当人在盘上走完一周时，应有 定点转动：定点转动：刚体在运动过程中，只有一点是固定不动的，转刚体在运动过程中，只有一点是固定不动的，转轴可以在空间转动。轴可以在空间转动。角动量进动的角速度：角动量进动的角速度：与与 垂直时垂直时改变方向、而不改变大小改变方向、而不改变大小 5.4 旋旋进进（了解）（了解）