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1、上页下页结束返回首页从方程的角度理解线性代数 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望上页下页结束返回首页 用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式 a22-a12 消去消去 x2 得得 a11-a21 消去消去 x1 得得当当 a11a22-a12a21 0 时时,方程组的解为方程组的解为上页下页结束返回首页v 二阶行列式二阶行列式记记 Cramer 法则法则方程组的解为方程组的解为当当系
2、数行列式系数行列式 D 0 时时,上页下页结束返回首页例例3 计算计算 n 阶行列式阶行列式 v Laplace 按行列展开按行列展开定理定理 行列式等于某一行行列式等于某一行(列列)的元素与其对应的代数余的元素与其对应的代数余子式乘积之和子式乘积之和.即即 解解上页下页结束返回首页三、行列式的性质三、行列式的性质性质性质1 行列式行列式 det A 与它的与它的转置行列式转置行列式 det AT 相等相等.注注:由该性质可知由该性质可知,以下对行而言的性质以下对行而言的性质,对列也成对列也成立立.性性 质质 2 行行列列式式中中某某一一行行的的所所有有元元素素的的公公因因子子可可以以提提到到
3、行列式记号的外面行列式记号的外面.例如例如:推论推论2 对对 n 阶矩阵阶矩阵 A,有有 det(kA)kn det A.性性 质质 3 若若行行列列式式某某一一行行的的元元素素都都是是两两数数之之和和,则则该该行行拆开拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和原行列式可以表为相应的两个行列式之和.推论推论1 有一行元素全为零的行列式值为零有一行元素全为零的行列式值为零.上页下页结束返回首页性质性质4 对换两行对换两行,行列式值反号行列式值反号.推论推论1 有两行全同的行列式有两行全同的行列式,其值为零其值为零.性质性质5 把行列式某一行的各元素乘以同一数把行列式某一行的各元素乘以同一数,然后
4、加到然后加到另一行对应的元素上去另一行对应的元素上去,行列式的值不变行列式的值不变.性质性质上页下页结束返回首页四、行列式值的计算四、行列式值的计算(2)利用利用 Laplace 定理的定理的降阶法降阶法.(1)化为上化为上(下下)三角形行列式的所谓三角形行列式的所谓化三角形法化三角形法;行列式的计算基本过程就是利用行列式的计算基本过程就是利用性质性质逐步简化行逐步简化行列式的结构列式的结构.为了便于检查为了便于检查,引进以下记号引进以下记号:用用 ri rj 表示对换第表示对换第 i,j 行行;用用 kri 表示第表示第 i 行乘以行乘以非零数非零数 k；用用 rj+kri 表示把第表示把第
5、 i 行的行的 k 倍加到第倍加到第 j 行行.用用 ci 表示第表示第 i 列列,有相仿的记号有相仿的记号.性质性质 主要方法有两个主要方法有两个:上页下页结束返回首页消消元元过过程程同同解解方方程程组组的的变变化化例例1 解线性方程组解线性方程组用相应的增广矩阵表示用相应的增广矩阵表示一、消元法与矩阵的初等行变换一、消元法与矩阵的初等行变换上页下页结束返回首页 下列三种变换称为矩阵的初等行变换：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：v 矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换 (3)把矩阵的第把矩阵的第 i 行的行的 k 倍加到第倍加到第 j 行行,用用 rj+kri 记之记之.(2)用用非零数非零数
6、 k 乘矩阵的第乘矩阵的第 i 行行,用用 kri 记之记之;(1)对换矩阵的第对换矩阵的第 i,j 行行,用用 rirj 记之记之;线性方程组的消元过程线性方程组的消元过程,同解方程组的变化同解方程组的变化,用相应用相应的增广矩阵的增广矩阵(行变换行变换)的变化来表示的变化来表示,显得更加清晰显得更加清晰.一、消元法与矩阵的初等行变换一、消元法与矩阵的初等行变换 如果矩阵如果矩阵 A 经过有限次初等行变换经过有限次初等行变换,化为矩阵化为矩阵 B,就就称称矩阵矩阵 A 与与 B 行等价行等价.增广矩阵行等价的两个线性方程组同解增广矩阵行等价的两个线性方程组同解.上页下页结束返回首页解解 对方
7、程组的增广矩阵施行初等行变换对方程组的增广矩阵施行初等行变换:例例3 解线性方程组解线性方程组 此增广矩阵相应的方程组第三个方程为此增广矩阵相应的方程组第三个方程为 0 2,不可能不可能.原方程组无解原方程组无解.(行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵)上页下页结束返回首页例例5 解线性方程组解线性方程组 解解 化方程组的增广矩阵为化方程组的增广矩阵为行最简形行最简形:于是得同解方程组于是得同解方程组令令自由未知元自由未知元 x2 k1,x4 k2,得原方程组的通解为得原方程组的通解为上页下页结束返回首页v m n 矩阵矩阵 aij:矩阵的第矩阵的第 i 行第行第 j 列的元素列的元素,用用粗体粗体大写字
8、母表示矩阵大写字母表示矩阵,以上矩阵记为以上矩阵记为 A (aij).简称简称(i,j)元元.一、矩阵及其线性运算一、矩阵及其线性运算上页下页结束返回首页v 数与矩阵的乘积数与矩阵的乘积 数数 k 与矩阵与矩阵 A(aij)的乘积称为的乘积称为数乘运算数乘运算,记作记作 kA,矩阵的加法与数乘两种运算统称为矩阵的矩阵的加法与数乘两种运算统称为矩阵的线性运算线性运算.v 线性运算律线性运算律 设设 A,B,C 为同型矩阵为同型矩阵,k,l 为数为数,则成立则成立(1)(2)(3)规定为规定为上页下页结束返回首页二、矩阵的乘法运算二、矩阵的乘法运算 设有从变元设有从变元 x1,xn 到变元到变元
9、y1,ym 的的线性变换线性变换记记称矩阵称矩阵 A 为线性变换的为线性变换的系数矩阵系数矩阵.上页下页结束返回首页v 两矩阵的乘积两矩阵的乘积 设设记记称矩阵称矩阵 为矩阵为矩阵 A 与与 B 的乘积的乘积,记为记为 C AB.AB 中第中第 i 行第行第 j 列的元素为列的元素为 A 的第的第 i 行与行与 B 的第的第 j 列列的乘积的乘积.上页下页结束返回首页 线性方程组线性方程组可记为可记为矩阵形式矩阵形式 Ax b,其中其中 当当b 0 时时,称称方程组方程组为为非齐次非齐次的的.当当b 0 时时,称称方程组方程组为为齐次的齐次的;称矩阵称矩阵 A 为线性方程组的为线性方程组的系数
10、矩阵系数矩阵.称矩阵称矩阵为线性方程组的为线性方程组的增广矩阵增广矩阵.上页下页结束返回首页例例4 已知两个线性变换已知两个线性变换 解解 求从求从 x1,x2,x3 到到 z1,z2,z3 的线性变换的线性变换.所求为所求为 上页下页结束返回首页 方阵方阵 A 可逆时可逆时,其逆矩阵唯一其逆矩阵唯一,记为记为 A-1.v 逆矩阵逆矩阵 如果存在矩阵如果存在矩阵 B,使使 AB BA E那么称方阵那么称方阵 A 为为可逆的可逆的,并称并称 B 为为 A 的逆矩阵的逆矩阵.二、逆矩阵二、逆矩阵 设设 A 可逆可逆,则矩阵方程则矩阵方程 AX B 有唯一解有唯一解 X A-1 B.设设 A 可逆可
11、逆,则矩阵方程则矩阵方程 XA B 有唯一解有唯一解 X BA-1.设设 A 可逆可逆,则线性变换则线性变换 y Ax 的逆变换为的逆变换为 x A-1 y.上页下页结束返回首页v 逆矩阵的性质逆矩阵的性质 设设 A,B 为为 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵,则有则有v 逆矩阵计算公式逆矩阵计算公式 非奇异矩阵非奇异矩阵 A 可逆可逆,且其逆矩阵为且其逆矩阵为上页下页结束返回首页三、逆矩阵的初等变换求法三、逆矩阵的初等变换求法 设设 A 可逆可逆,则则由定理由定理4知知,(A,E)经若干次初等行变换可化为经若干次初等行变换可化为(E,A-1).v 逆矩阵的初等变换求法逆矩阵的初等变换求法上页下页结束
12、返回首页逆矩阵的初等变换求法逆矩阵的初等变换求法:解解 例例2 已知已知求求 A-1.上页下页结束返回首页1.4 矩阵分块法矩阵分块法 用若干条横、竖线将矩阵分块用若干条横、竖线将矩阵分块,每一小块称为每一小块称为子矩阵子矩阵.以子矩阵为元素的以子矩阵为元素的形式上的形式上的矩阵矩阵,称为称为分块矩阵分块矩阵.例例1 将将 3 4 矩阵分块矩阵分块,分块法有多种分块法有多种.例如例如:2 2 分块分块:2 3 分块分块:上页下页结束返回首页解解 由已知由已知|A|0,|B|0,而而|D|A|B|0,因此因此 D 可逆可逆.设设 其中方阵其中方阵 X,Y 分别与分别与 A,B 同阶同阶,解得解得
13、 因此因此 则则例例5 设设 A 为为 n 阶可逆方阵阶可逆方阵,B 为为 r 阶可逆方阵阶可逆方阵,C 为为r n 矩阵矩阵,证明证明可逆可逆,并求并求 D-1-1.上页下页结束返回首页v 分块对角阵分块对角阵(3)A 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 Ai(i 1,s)都可逆都可逆,且有且有其中其中 Ai(i 1,s)都是方阵都是方阵,空白处元素全为零空白处元素全为零.性质性质(1)(2)上页下页结束返回首页v 矩阵的秩矩阵的秩 如果矩阵如果矩阵 A 的等价标准形为的等价标准形为 那么称那么称 F 中单位阵的阶数中单位阵的阶数 r 为矩阵为矩阵 A 的秩的秩,记为记为 R(A),或
14、或 rank(A).规定零矩阵的秩等于规定零矩阵的秩等于0.v 定理定理1 任一矩阵的等价标准形唯一任一矩阵的等价标准形唯一.上页下页结束返回首页推论推论 n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充分必要有非零解的充分必要条件是条件是 R(A)R(A)时时,方程组无解方程组无解;(2)当当 R(A,b)R(A)n 时时,方程组有唯一解方程组有唯一解;(3)当当 R(A,b)R(A)n 时时,方程组有无穷多解方程组有无穷多解.设设 n 元线性方程组元线性方程组 Ax b.上页下页结束返回首页例例1 a 取什么值时取什么值时,线性方程组线性方程组(1)有唯一解有唯一解;(2)无解无
15、解;(3)有无穷多解有无穷多解.解解 对方程组的增广矩阵施行初等行变换对方程组的增广矩阵施行初等行变换1.当当 a 1,-2 时时,方程组有唯一解方程组有唯一解;2.当当 a -2 时时,方程组无解方程组无解;3.当当 a 1 时时,方程组有无穷多解方程组有无穷多解.上页下页结束返回首页 当当 R(A)n 时时,n 元齐次方程组元齐次方程组 Ax 0 只有零解只有零解.当当 R(A)r 其中其中注意注意:二、二、线性方程组解的结构线性方程组解的结构 则则 Ax 0 的通解可表示为向量形式的通解可表示为向量形式 上页下页结束返回首页v 齐次通解结构定理齐次通解结构定理则则 Ax 0 的通解可表示
16、为向量形式的通解可表示为向量形式其中其中注意注意:设设 x x1,x xn-r(r R(A)为为 n 元方程组元方程组 Ax 0 的解的解,且满足条件且满足条件 R(x x1 1,x xn-r)n-r,则则 Ax 0 的通解为的通解为(k1,kn-r 为任意数为任意数)称称 x x1,x xn-r 为方程组为方程组 Ax 0 的一个的一个基础解系基础解系.上页下页结束返回首页解解 化系数矩阵为行最简形化系数矩阵为行最简形:例例4 求线性方程组求线性方程组的一个基础解系的一个基础解系.于是得同解方程组于是得同解方程组分别令分别令 x3 7,x4 0 和和 x3 0,x4 7,得基础解系为得基础解
17、系为上页下页结束返回首页一、向量组的秩和最大无关组一、向量组的秩和最大无关组v 向量组的秩向量组的秩 设设 A 为一向量组为一向量组,A 中线性无关向量组所含向量中线性无关向量组所含向量个数的最大值个数的最大值 r,称为向量组称为向量组 A 的秩的秩,记为记为 R(A).v 向量组的最大无关组向量组的最大无关组 设向量组设向量组 A 的秩为的秩为 r,如果如果 a1,ar 为为 A 中一个线中一个线性无关向量组性无关向量组,那么称那么称 a1,ar 为为 A 的一个最大无关组的一个最大无关组.v 最大无关组的性质最大无关组的性质 设设 A 为一向量组为一向量组,则部分组则部分组 a1,ar 为
18、为 A 的一个最的一个最大无关组的充分必要条件是大无关组的充分必要条件是(2)A 中任一向量可由中任一向量可由 a1,ar 线性表示线性表示.(1)a1,ar 线性无关线性无关;上页下页结束返回首页 初等行变换保持矩阵的列向量组的初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系线性关系.证明证明 设矩阵设矩阵 A 经初等行变换化为矩阵经初等行变换化为矩阵 B.设矩阵设矩阵 A 的列向量组有一的列向量组有一线性关系线性关系因为矩阵因为矩阵 A 与与 B 行等价行等价,所以所以 Ax 0 与与 Bx 0 同解同解,由此可知也有由此可知也有v 定理定理1 记记上页下页结束返回首页v 秩与最大无关组的一个算法秩
19、与最大无关组的一个算法 例例3 设设的秩为的秩为3,一个最大无关组为一个最大无关组为易知易知且有且有 的秩为的秩为3,一个最大无关组为一个最大无关组为因此因此且有且有 化化矩矩阵阵 A为为行行最最简简形形 A0,通通过过观观察察 A0,便便 知知 A的的 列列向向量量组组的的秩秩和和一一个个 特特定定的的 最最大大无无关关组组,以以 及及 A的的其其余余列列向量在该最大无关组下的线性表示向量在该最大无关组下的线性表示.上页下页结束返回首页 向量组向量组 B 可由向量组可由向量组 A 线性表示的充要条件是线性表示的充要条件是v 定理定理3其中其中(A,B)表示向量组表示向量组 A 与与 B 的并集构成的向量组的并集构成的向量组.v 定理定理4 向量组向量组 A 与向量组与向量组 B 等价的充分必要条件是等价的充分必要条件是