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1、第五节第五节 无约束极值与有约束极值无约束极值与有约束极值正确理解无约束极值和条件极值的概念。正确理解无约束极值和条件极值的概念。能娴熟地求出函数的无约束极值。能娴熟地求出函数的无约束极值。能娴熟地运用拉格朗日乘数法计算条件极值。能娴熟地运用拉格朗日乘数法计算条件极值。能娴熟地计算函数的最大值、最小值。能娴熟地计算函数的最大值、最小值。能解简洁的极值应用问题。能解简洁的极值应用问题。本节教学要求：本节教学要求：第四章 多元函数微分学的应用请点击请点击第五节第五节 多元函数的极值多元函数的极值多元函数的极值 无约束极值 有约束极值 变量替代法 拉格朗日乘数法无约束极值的形式目标函数：表现形式：一
2、一.无约束极值无约束极值设在内有定义.若总有则称为函数的极大值(极小值).称为函数的极大点(极小点).函数的极大值和微小值统称为函数的极值.极大值和微小值的定义极大值和微小值的定义例例1函数在点处取极大值.函数在点处取极小值.例2 现在对已有的结果进行分析,看能否得到一点什么.例1函数在点处取极大值.进行分析：函数(即固定 在点处取极大值,由一元函数取极值的必要条件,有取极大值,由一元函数取极值的必要条件,有类似地,函数(即固定 在点处 上半单位球面函数在点处取极小值.例2进行分析：上半空间中的圆锥面函数在点处偏导数不存在.固定 发现相应的一元函数在处取极值.将以上对两例的分析与极值的定义综合
3、起来,你能得出什么样的结论？假如偏导数存在,则极值点处的偏导数必为零.使偏导数不存在的点,也可能是函数的极值点.定理定理若在点具有偏导数,且在处取极值,则必有（二元可微函数取极值的必要条件）（二元可微函数取极值的必要条件）处的切平面方程为由可微函数取极值的必要条件：此时,切平面平行于 xy 平面.设函数在点处可微且取极值,则相应的曲面在点 下面看看函数极值的几何意义故切平面方程实际为定理定理若在点具有偏导数,且在处取极值,则必有（n 元可微函数取极值的必要条件）元可微函数取极值的必要条件）该结论还可写为 函数的驻点以及使函数的一阶偏导数不存在的点,称为函数的极值可疑点.函数在其极值可疑点处,可
4、能取极值,也可能不取极值.使函数零的点称为函数的驻点.的一阶偏导数全为 这就产生了一个问题:如何推断函数在极值可疑点处是否取极值.定理(二元可微函数的极值判别法)记设例例3 3求的极值.解解联立方程组,求驻点:解之得驻点又点是极大点,极大值为点不是极值点.故点是极小点,极小值为确定函数的极值点。练习练习求由方程所确定的隐函数 的极值。练习练习上的最大值和最小值.函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 由于区域的边界通常都比较复杂,较困难的一件事情.所以求多元函数的最大值和最小值是比 求函数最大值和最小值的基本原则工程中遇到的函数大部分是连续的,或者能保证在所讨论的区域内,取到它的最大值或最小
5、值.如果知道可微函数的最大值或最小值一定在区域内达到,函数在区域内又仅有一个驻点,则该驻点一定是最大值点或最小值点.如果为有界闭区域,则函必在上取到它的最大值和最小值.数例例例4 4距离之平方和为最大及最小的点.解所求距离之平方和为区域：目标函数：最值问题：所探讨的问题归结为下面的优化问题:区域:目标函数:最值问题:求函数在有界闭区域上的最大、最小值的一般步骤为：先求函数在开区域上的极大、极小值点;再求函数在边界上的极大、极小值点;将所求出的极值(及边界上的特殊点的函数值)进行比较,即可得出函数的最大、最小值.由方程组得到驻点且区域:目标函数:最值问题:由一元函数求极值的方法,得驻点：函数值：
6、区域:目标函数:最值问题:由一元函数求极值的方法,得驻点：函数值：区域:目标函数:最值问题:由一元函数求极值的方法,得驻点：函数值：区域:目标函数:最值问题:综上所述边界上端点值：区域:目标函数:最值问题:所求最值点为：区域:目标函数:最值问题:我们这道题，由于函数是可微的，其极值点必是驻点，所以只要求出内及边界上的驻点处的函数值，并与边界上线段端点的函数值进行比较，其中最大者就是函数在闭区域上的最大值，最小者就是函数的最小值。一般情形也可仿此进行，只需求出极值可一般情形也可仿此进行，只需求出极值可疑点的函数值，不必判断它是否为极值。疑点的函数值，不必判断它是否为极值。例例例5 5求内接于半径
7、为 a 的球且有最大体积的长方体.球面球面解解选择坐标系,使球心位于坐标原点,则球面方程为设所求长方体在第一卦限中的顶点为则长方体的三个棱边长是长方体体积为区域：目标函数：最值问题：原问题归结为下面的优化问题:区域：目标函数：最值问题：由解之得由解之得应用题,仅有唯一的一个驻点,故该驻点即为极值点,从而所求球内接长方体的边长为区域：目标函数：最值问题：在例题中,出现了一个相同的问题,这个问题已被我们轻松地解决了.什么问题?目标函数中的变量必须满足一定的条件目标函数中的变量必须满足一定的条件目标函数中的变量必须满足一定的条件目标函数中的变量必须满足一定的条件作业作业4-5：1（3），），3这就是
8、对目标函数的约束应满足方程 对自变量附加确定条件的极值问题就是有约束极值问题.例如,上面讲的求球内接体积最大的长方体的问题,就是一个有约束的极值问题:长方体顶点必需位于球面上,其坐标x 2+y 2+z 2=a 2 .三.有约束极值（条件极值）二二.有约束极值（条件极值）有约束极值（条件极值）有约束极值(条件极值)的定义若有(或则称为函数在约束条件下的极大值(或微小值).这种极值通常简称为函数的条件极大(小)值.这里的约束称为 等式约束.有约束极值 带等式约束的极值 带其它约束的极值 无约束极值转化转化 有约束极值的形式目标函数：表现形式：有约束极值 无约束极值 拉格朗日乘数法 变量替代法变量替
9、代法变量替代法例现需用钢板制造容积为2 m3 的有盖的长方体水箱，问当长、宽、高各为多少时用料最省？解 设长方体的长、宽、高分别为则问题归结为下列有约束极值问题：由约束条件得代入目标函数中，使问题转化为下列无约束极值问题：令唯一的驻点：当水箱的长、宽、高均为时，用料最省。故问题：求函数在下的极值.条件 运用变量替代法求解有约束极值问题时,往往会遇到困难 有时不能从条件中解出变量间的显函数表示式.自然我们会想到运用隐函数及其有关的定理和方法.拉格朗日乘数法拉格朗日函数问题：求函数在条件下的极值.若则称为该极值问题的拉格朗日函数,称为拉格朗日乘数.转化为拉格朗日函数的无条件极值问题 拉格朗日乘数法
10、求解构造拉格朗日函数由取极值的必要条件解方程组 驻点 进行判别这部分确定隐函数关系这部分确定变量 xi 与i 间的关系例例例7 7求函数在条件下的微小值,并证明此时不等式成立：其中,x、y、z、a 0为实数.解解作拉格朗日函数令由这一部分找出与间的关系。代入此方程，求出拉格朗日函数的驻点由前三式得从而将它代入最终一式,得到拉格朗日函数的驻点：该驻点是否为原函数的极值点?应当怎么进行推断?设方程确定隐函数则可令从而在点处故函数 F(x,y)在点(3a,3a)处取微小值,这等价于函数 f(x,y,z)在(3a,3a,3a)取极小值下面证明不等式：由于点(3a,3a,3a)是可微函数的唯一(条件)微小值点,故在中有即有由 x、y、z、a 0 的随意性,即可得 证明已完成 看看还有没有附带的产物由 x、y、z、a 0 的随意性,即可得将上式稍加变形,即可得到一个重要的不等式：几何平均值算术平均值己知三角形的周长为2p,将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形各边长。例例8 8作业作业4-5：7，10