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1、第一章 一元函数的积分学及其应用第一节第一节 一元函数的积分一元函数的积分其次节其次节 积分的应用积分的应用第一节 一元函数的积分一、不定积分一、不定积分二、定积分二、定积分三、广义积分三、广义积分一、不定积分1.不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质 定义定义1 设函数设函数f 与与F 在区间在区间I上有定义，若上有定义，若则称则称F为为f 在区间在区间I上的一个原函数上的一个原函数n问题：（1）什么条件下，一个函数的原函数存在？）什么条件下，一个函数的原函数存在？(2)假如f(x)有原函数，一共有多少个？(3)随意两个原函数之间有什么关系？1)原函数与不定积分的概念任任意意常常数数积积分
2、分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量 定理定理1 1（原函数存在定理）（原函数存在定理）假如函数假如函数f f（x x）在某个区间上连续，那么在某个区间上连续，那么f f（x x）在该区间上确定）在该区间上确定存在原函数存在原函数.简洁理解：连续函数确定有原函数简洁理解：连续函数确定有原函数 定理定理2 2 假如函数假如函数F F（x x）是函数）是函数f f（x x）的一个）的一个原函数，则原函数，则F F（x x）+C+C（C C为随意数）是为随意数）是f f（x x）的全）的全部原函数部原函数.假如假如F（x）是）是f（x）的一个原函数，则）的一个原函数，则F（x）
3、所对应）所对应的曲线称为函数的曲线称为函数f（x）的一条积分曲线，将这条积分曲线）的一条积分曲线，将这条积分曲线沿轴方向上下随意平行移动，就得到沿轴方向上下随意平行移动，就得到F（x）+C，即为积分，即为积分曲线族在每一条积分曲线上作横坐标相同的点处的切线，曲线族在每一条积分曲线上作横坐标相同的点处的切线，这些切线都是相互平行的这些切线都是相互平行的 f（x）的不定积分的几何意义就表示相互平行的积分）的不定积分的几何意义就表示相互平行的积分曲线族这些积分曲线在横坐标相同的点曲线族这些积分曲线在横坐标相同的点x处的切线相互平处的切线相互平行行2)不定积分的几何意义性质性质1 1 设函数设函数 及
4、及 的原函数存在，则的原函数存在，则性质性质2 2 设函数设函数 的原函数存在，的原函数存在，为非零常数，则为非零常数，则性质性质3 3性质性质4 43)不定积分的性质2.不定积分干脆积分法不定积分干脆积分法不定积分的基本公式 利用不定积分的运算性质和积分基本公式，利用不定积分的运算性质和积分基本公式，干脆求出不定积分的方法。关键在于对被积函数干脆求出不定积分的方法。关键在于对被积函数进行恒等变形进行恒等变形干脆积分法3.不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法说明说明运用此公式的关键在于将运用此公式的关键在于将化为化为视察重点不同，所得结论不同视察重点不同，所得结论不同.1)第一类换元积分法
5、（凑微分法）（凑微分）（凑微分）2)其次类换元积分法（变量代换法）例例1 1 求求解解 令令例例2 2 求求解解 令令 说明说明以上几例所运用的均为三角代换以上几例所运用的均为三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令常用的基本公式表常用的基本公式表4.不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法问题问题解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式分部积分公式例例2 2 求积分求积分解解留意循环形式留意循环形式5.简洁有理函数的积分法简洁有理函数的积分法两个多
6、项式的商表示的函数称为有理函数两个多项式的商表示的函数称为有理函数.其中其中 都是非负整数；都是非负整数；及及 都是实数，并且都是实数，并且 .假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和分式之和.1)简洁分式的积分法2)化有理真分式为简洁分式3)有理函数的积分法二、定积分1.定积分的概念和性质定积分的概念和性质 曲边梯形曲边梯形 设函数yf(x)在区间a b上非负、连续 由直线xa、xb、y0及曲线y
7、f(x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 1）定积分问题举例 视察与思索 在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度削减时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变更?怎样求曲边梯形的面积？求曲边梯形的面积 (1)分割:ax0 x1 x2 xn1 xn b Dxixixi1;小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1xixi);(2)近似代替:(4)取极限:设maxDx1 Dx2 Dxn 曲边梯形的面积为 (3)求和:曲边梯形的面积近似为 ;变速直线运动的路程变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数 且v(t)0 计算物体在时间段T1 T
8、2内所经过的路程S(1)分割:T1t0t1t2 tn1tnT2 Dtititi1;(2)近似代替:物体在时间段ti1 ti内所经过的路程近似为 DSiv(i)Dti (ti1 iti);物体在时间段T1 T2内所经过的路程近似为 (3)求和:(4)取极限:记maxDt1 Dt2 Dtn 物体所经过的路程为 在小区间xi1 xi上任取一点xi(i1 2 n)作和maxDx1 Dx2Dxn;记Dxixixi1(i1 2 n)ax0 x1x2 xn1xnb;在区间a b内任取分点:设函数f(x)在区间a b上连续 若当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间a b的分法和xi的取法无关 则此极限称为
9、函数f(x)在区间a b上的定积分 记为 即 2）定积分的概念定积分各部分的名称 积分符号 f(x)被积函数 f(x)dx 被积表达式 x 积分变量 a 积分下限 b 积分上限 a b积分区间，积分和 v函数的可积性v 假如函数f(x)在区间a,b上的定积分存在,则称f(x)在区间a,b上可积.定理1 假如函数f(x)在区间a,b上连续,则函数f(x)在区间a,b上可积.定理2 假如函数f(x)在区间a,b上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间a,b上可积.v定积分的定义 3)一般地 f(x)在a b上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和 1）
10、当f(x)0时 定积分 在几何上表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与y=0 所围成的封闭图形的面积 2）当f(x)0时 定积分 在几何上表示曲边梯形面积的负值 3）定积分的几何意义 性质1 性质2 性质3 性质4 性质5 假如在区间a b上 f(x)0 则 badxxf0)(ab)1）定积分问题举例 推论 假如在区间a b上 f(x)g(x)则 性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间a b上的最大值及最小值 则 假如函数假如函数f(x)在闭区间在闭区间a b上连上连续续 则在积分区间则在积分区间a b上至少存在一个点上至少存在一个点x 使下式成使下式成立立 性质7(定积分中值定理)积分中值
11、公式 2.牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式1）变上限积分函数 2）积分上限函数的导数 (1)(1)定理定理1 1 若若 在在 上连续，则积分上连续，则积分上限函数上限函数 在在 上具有导上具有导数，且它的导数数，且它的导数 .证证 即：即：此定理一方面说明白连续函数确定存在原函数，此定理一方面说明白连续函数确定存在原函数，另一方面也说明白定积分与原函数之间的关系，另一方面也说明白定积分与原函数之间的关系，从而可能用原函数来计算定积分从而可能用原函数来计算定积分.(2)(2)定理定理2 2 若函数若函数 在在 上连续，则积上连续，则积分上限函数分上限函数 是是 在区间在区间 上的一个原函数上的
12、一个原函数.证证:依据定理 1,故因此得记作定理定理3函数,则3）牛顿-莱布尼茨公式 3.定积分的积分方法定积分的积分方法1）定积分的换元积分法2）定积分的分部积分法 三、广义积分1.无限区间上的广义积分无限区间上的广义积分 定义定义 设函数设函数 在区间在区间 上连续取上连续取 ，如果极限如果极限 存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数 在无穷区间在无穷区间 上的广义积分记作上的广义积分记作 ，即即此时也称广义积分此时也称广义积分 存在或收敛存在或收敛；如果极限；如果极限不存在，就称广义积分不存在，就称广义积分 不存在或发散不存在或发散。类似的，可以定义类似的，可以定义 在区间在区间
13、及及 上上的广义积分。的广义积分。注注 广义积分广义积分 收敛的充分必要条收敛的充分必要条件是上式右端的两个广义积分都收敛，若两个积件是上式右端的两个广义积分都收敛，若两个积分之一发散，则左端的广义积分发散。分之一发散，则左端的广义积分发散。2.无界函数的广义积分无界函数的广义积分 设函数设函数 在区间在区间 上连续，而上连续，而 取取 ，如果极限，如果极限 存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数 在区间在区间 上的广义积分。记作上的广义积分。记作 即即此时也称广义积分此时也称广义积分 存在或收敛存在或收敛；如果极限；如果极限不存在，就称广义积分不存在，就称广义积分 不存在或发散不存在或发散。类似的，可以定义类似的，可以定义 在区间在区间 及及 上的广上的广义积分。义积分。