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1、学习好资料欢迎下载中学数学教师招聘考试专业基础知识试卷（五）一、选择题()1、设集合|12,|.AxxBx xa若AB，则a的范围是B（A）1a（B）1a（C）2a（D）2a（）2、设 i 为虚数单位，则41i展开式中的第三项为D（A）4i（B）4i(C)6(D)6（）3、已知点0,Ab，B 为椭圆22xa+22yb=10ab的左准线与x轴的交点，若线段AB 的中点 C 在椭圆上，则该椭圆的离心率为C（A）3（B）32（C）33（D）34（）4、已知函数2()11f xxx，1fx为fx的反函数，则函数yx与1yfx在同一坐标系中的图象为A（A）（B）（C）（D）（）5、设m、n是不同的直线，
2、、是不同的平面，有以下四个命题：若/,/,则/若，/m，则m 若,/mm，则若/,mnn，则/m其中真命题的序号是D(A)(B)(C)(D)（）6、已知向量1(1sin,1),(,1sin),2ab且/ab，则锐角等于B(A)30(B)45(C)60(D)75（）7在等差数列na中，171,4aa，数列nb是等比数列，且1236,bba，则满足261nb a的最小正整数n为A A4 B5 C6 D7 1-1Oyx11Oyx11Oyx11Oyx学习好资料欢迎下载（）8ABC中，,33ABC，则ABC的周长为D A4 3 sin()33BB4 3 sin()36BC6sin()33B D6sin(
3、)36B（）9、若双曲线y2-x2=1 与mxxyxxy2312有唯一的公共点，则实数m 的取值集合中元素的个数为A2 B4 C5 D6（）10、已知函数12|4)(xxf的定义域是ba,(,)a bZ，值域是1,0，那么满足条件的整数数对),(ba共有 C（A）2 个（B）3 个（C）5 个（D）无数个二、填空题11、双曲线22194xy的一个焦点到一条渐近线的距离是.2 12、把 函 数sin 2yx的 图 象 按 向 量(,0)6a=平 移 得 到 的 函 数 图 象 的 解 析 式 为sin(2)3yx.13、已知函数2|1|(0),()1(0),xxf xxx那么不等式()0f x的
4、解集为(,1)(1,1)U.14、2211lim21xxxx=.2315、在112()xx的展开式中，5x的系数为1320.16、一个底面边长为2cm，高为153cm 的正三棱锥，其顶点位于球心，底面三个顶点都在球面上，则该球的体积是4 3cm317、观 察 下 列 式 子：,474131211,3531211,23211222222，则 可 以 猜 想 的 结 论 为：_ 222111211(,2)23nnN nnnL_.三、解答题学习好资料欢迎下载18、某城市有30的家庭订阅了A 报，有 60的家庭订阅了B 报，有 20的家庭同时订阅了A 报和 B 报，从该城市中任取4 个家庭.（）求这4
5、 个家庭中恰好有3 个家庭订阅了A 报的概率；（）求这4 个家庭中至多有3 个家庭订阅了B 报的概率；（）求这4 个家庭中恰好有2 个家庭 A,B 报都没有订阅的概率18、解：（）设“这 4 个家庭中恰好有3 个家庭订阅了A 报”的事件为A，1 分334()(0.3)(0.7)0.0756P AC5 分答：这 4 个家庭中恰好有3 个家庭订阅了A 报的概率为0.0756.（）设“这 4 个家庭中至多有3 个家庭订阅了B 报”的事件为B，6 分8704.01296.01)6.0(1)(4BP9 分答：这 4 个家庭中至多有3 个家庭订阅了B 报的概率为0.8704.（III）设“这 4个家庭中恰
6、好有2 个家庭 A,B 报都没有订阅”的事件为C，10 分因为有 30的家庭订阅了A 报，有 60的家庭订阅了B 报，有 20的家庭同时订阅了A 报和 B 报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30.所以2224()0.30.70.2646P CC14 分答：这 4 个家庭中恰好有2 个家庭 A,B 报都没有订阅的概率为0.2646.注：第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30，后面计算有误，给到14 分.19、如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，SAAB,点M是SD的中点，ANSC，且交SC于点N.（I）求证：/SB平面ACM；（II）求二面角DACM的大小；（
7、III）求证：平面SAC平面AMN.19、（）证明：连结BD交AC于E，连结ME.1分ABCDQ是正方形，E是BD的中点.MQ是SD的中点，ME是DSB的中位线./MESB.2分又ME平面ACM，SB平面ACM，3 分SB/平面ACM.4分（II）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，5 分由SAAB故设1ABADAS，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22ABCDSM.SA底面ABCD，ASuu u r是平面ABCD的法向量，AS(0,0,1)uu u r设平面ACM的法向量为(,)x y zn,SNMDCBA学习好
8、资料欢迎下载11(1,1,0),(,0,)22ACAMuuu ruu uu r,7 分则0,0.ACAMu uu ru uu u rnn即00,1100.22xyxz,.yxzx令1x,则(1,1,1)n.8 分13cos,3|13ASASASu uu ru uu ruu u rnnn,二面角DACM的大小为3arccos39 分（III）Q11,0,22AMuu uu r，1,1,1CSuu u r，10 分11022AM CSu uu u r uu u rAMCSu uu u ruu u r12 分又SCANQ且ANAMAI.SCAMN平面.又SC平面,SAC平面SAC平面AMN.14 分
9、20、已知抛物线S 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，ABC的三个顶点都在抛物线上，且ABC的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l的方程为4200.xy（I）求抛物线S的方程；（II）若 O 是坐标原点，P、Q 是抛物线S上的两动点，且满足POOQ.试说明动直线PQ 是否过一个定点.解：(I)设抛物线S的方程为22.ypx1 分由24200,2,xyypx可得22200.ypyp3 分由0，有0p，或160.p设1122(,),(,),B xyC xy则12,2pyy121212(5)(5)1010.4448yyyypxx5 分设33(,)A xy，由ABC的重心为(,0),2pF则1231
10、23,0323xxxyyyp，学习好资料欢迎下载331110,.82ppxy6 分点 A 在抛物线S上，2112(10),28ppp8.p7 分抛物线S的方程为216.yx8 分（II）当动直线PQ的斜率存在时，设动直线PQ方程为ykxb，显然0,0.kb9 分POOQ，1.OPOQkk设(,)(,)PPQQP xyQ xy1,QPPQyyxx0.PQPQx xy y 10分将ykxb代入抛物线方程，得216160,kyyb16.PQby yk从而22222,16PQPQyybx xk22160.bbkk0,0kb，16,bk动直线方程为16(16)ykxkk x，此时动直线PQ 过定点(16
11、,0).12 分当 PQ 的斜率不存在时，显然PQx轴，又POOQ，POQV为等腰直角三角形.由216,yxyx216,yxyx得到(16,16),(16,16)PQ，此时直线PQ 亦过点(16,0).13 分综上所述，动直线PQ 过定点(16,0)M.14 分21、在数列na中，若12,a a是正整数，且12|,3,4,5,nnnaaanL，则称na为“绝对差数列”.（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（2）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.【精析】写一个前五项不为零的“绝对差数列”不是难事，只要我们准确理解新型数列的定义要证明任何“绝对差数列”中
12、总含有无穷多个为零的项，感觉没有思路，我们不妨再列举几个“绝对差数列”，看看有没有规律21、（1）（答案不唯一）1233,1,2aaa，4561,1,0aaa，7891,1,0aaa，101a(2)根据定义，数列an 必在有限项后出现0 项，证明如下：假设 an 中没有 0 项，由于an=|an1an2|，所以对于的n，都有 an1，从而当 an 1an2时，an=an 1an2 an1 1（n3）学习好资料欢迎下载当 an 1an2时，an=an 2an1 an2 1（n3）即 an的值要么比an1至少小 1，要么比an2至少小 1令)()(212221212nnnnnnnaaaaaac，n
13、=1，2，3，则 0cncn11(n=2,3,4,),由于 c1是确定的正整数，这样减下去，必然存在某项c10，这与cn0(n=1，2,3,4,)矛盾，从而 an 必有 0 项。若第一次出现的0 项为第 n 项，记 an-1=A(A 0)，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，即331320,nknknkaaAaA0,1,2,3,kL所以“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.【精评】以提出一个新概念的方式来考查数列知识，颇具创新特色。22、已知函数)()(bxaxxxf,其中ba0.(1)设)(xf在txsx和处取得极值,其中ts,求证:btas0;(2)设)(,(),(,(t
14、ftBsfsA,求证:线段AB的中点C在曲线)(xfy上;(3)若22ba,求证:过原点且与曲线)(xfy相切的两条直线不可能垂直.22、解:(1)abxxbaxxf23)()(,0)(23)(2abxbaxxf的两根为ts,令)()(xgxf,ba0,0)()(,0)()(,0)0(abbbgbaaagabg,故有btas0.(2)设AB中点),(00yxC,则2)()(,200tfsfytsx,故有3,3)(2abstbats,30bax,)(32)(274)()()()()(32233baabbatsabtsbatstfsf.)(31)(27230baabbay.代入验算可知C在曲线)(xfy上.(3)过曲线上的点),(11yx的切线的斜率是abxbax121)(23,当01x时,切线的斜率abk1;当01x时,)()(231111121bxaxxyabxbax,21bax,切线斜率abbak22)(41.学习好资料欢迎下载220ba,2,0)(412ba,22abk11)1()2(2221ababababkkk121kk,故过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直.