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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料线性代数必考学问点1、行列式1. 行列式共有个元素,绽开后有项,可分解为行列式；2. 代数余子式的性质：、 和 的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；3. 代数余子式和余子式的关系：4. 设 行列式：将 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,就 ；将 顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,就 ；将 主对角线翻转后（转置）,所得行列式为,就 ；将 主副角线翻转后,所得行列式为,就 ；5. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列
2、式：副对角元素的乘积；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；、 和 ：副对角元素的乘积；、拉普拉斯绽开式：、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特点值；名师归纳总结 6. 对于阶行列式,恒有：,其中为 阶主子式；第 1 页,共 9 页7. 证明的方法：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料、 ；、反证法；、构造齐次方程组；,证明其有非零解；、利用秩,证明、证明 0 是其特点值；2、矩阵1. 是 阶可逆矩阵：（是非奇特矩阵） ；（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 有非零解；, 总有唯独解；与 等价；可表示成如干个初等
3、矩阵的乘积；的特点值全不为 0；是正定矩阵；的行（列）向量组是 的一组基；是 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于阶矩阵：无条件恒成立；3. 名师归纳总结 4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值,可求代数和；第 2 页,共 9 页5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均、 可逆：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料如 ,就：、 ；、 ；、 ；（主对角分块）、 ；（副对角分块）、 ；（拉普拉斯）、 ；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个矩阵 ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯独确定的：；等价类：全部与等价的
4、矩阵组成的一个集合,称为一个等价类；标准形为其外形最简洁的矩阵；对于同型矩阵、 ,如 ；2. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；名师归纳总结 、每行首个非0 元素必需为1；第 3 页,共 9 页、每行首个非0 元素所在列的其他元素必需为0；3. 初等行变换的应用： （初等列变换类似,或转置后采纳初等行变换）、如,就 可逆,且；、对矩阵做初等行变化,当变为 时,就变成,即：；、求解线形方程组：对于个未知数个方程,假如,就 可逆,且；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换仍是列变换,由其位置打算： 左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、 ,左乘矩阵, 乘 的各行元素；右乘,乘 的
5、各列元素；、对调两行或两列,符号,且 ,例如：；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 、倍乘某行或某列,符号名师精编优秀资料,且 ,例如：；、倍加某行或某列,符号 ,且 ,如：；5. 矩阵秩的基本性质：、 ；、 ；、如,就 ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）、如、 可逆,就、 ；（ ）、 ；（ ）、 ；（ ）、假如是 矩阵,是 矩阵,且,就：（ ）、如、 的列向量全部是齐次方程组 解（转置运算后的结论） ；、 均为阶方阵,就；6. 三种特别矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：肯定可以分解为列矩阵（向量）律；、型如 的矩阵：利用二项绽开式；二项绽开式：；注：、绽开后有
6、 项；、组合的性质：；、利用特点值和相像对角化：行矩阵（向量）的形式,再采纳结合名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7. 相伴矩阵：名师精编优秀资料、相伴矩阵的秩：；、相伴矩阵的特点值：；、 、8. 关于 矩阵秩的描述：、 , 中有 阶子式不为 0, 阶子式全部为 0；（两句话）、 , 中有 阶子式全部为 0；、 , 中有 阶子式不为 0；线性方程组：,其中 为 矩阵,就：、 与方程的个数相同,即方程组 有 个方程；、 与方程组得未知数个数相同,方程组 为 元方程；10. 线性方程组 的求解：、对增广矩阵 进行初等行变
7、换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由 个未知数个方程的方程组构成元线性方程：、 ；、 （向量方程,为 矩阵,个方程,个未知数）、 （全部按列分块,其中）；、 （线性表出）、有解的充要条件：（ 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性名师归纳总结 1. 个 维列向量所组成的向量组： 构成 矩阵 ；第 5 页,共 9 页个 维行向量所组成的向量组： 构成 矩阵；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关 有、无非
8、零解； （齐次线性方程组）、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵 与 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 和 同解； 例 14 4. ； 例 15 5. 维向量线性相关的几何意义：、 线性相关；、 线性相关 坐标成比例或共线（平行）；、 线性相关 共面；6. 线性相关与无关的两套定理：如 线性相关,就 必线性相关；如 线性无关,就 必线性无关；（向量的个数加加减减,二者为对偶）如 维向量组 的每个向量上添上 个重量,构成 维向量组：如 线性无关,就 也线性无关；反之如 线性相关,就 也线性相关； （向量组的维数加加减减）简言之：
9、无关组延长后仍无关,反之,不确定；7. 向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示,且线性无关,就；向量组能由向量组线性表示,就；向量组能由向量组线性表示有解；名师归纳总结 向量组能由向量组等价第 6 页,共 9 页8. 方阵可逆 存在有限个初等矩阵,使 ；、矩阵行等价：（左乘,可逆）与 同解、矩阵列等价：（右乘,可逆）；、矩阵等价：（ 、 可逆）；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9. 对于矩阵与 ：名师精编优秀资料、如与 行等价,就与 的行秩相等；、如与 行等价,就与 同解,且与 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不转变矩
10、阵的秩；、矩阵 的行秩等于列秩；10. 如 ,就：、 的列向量组能由 的列向量组线性表示,为系数矩阵；、 的行向量组能由 的行向量组线性表示,为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组 的解肯定是 的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明；、 只有零解 只有零解；、有非零解 肯定存在非零解；12. 设向量组 可由向量组 线性表示为：（ ）其中 为 ,且 线性无关, 就 组线性无关（必要性：；充分性：反证法）注：当 时, 为方阵,可当作定理使用；（ 与 的列向量组具有相同线性相关性）13. 、对矩阵,存在,、 的列向量线性无关；、对矩阵,存在,、 的行向量线性无关；线性相关存在一组不全为0 的数
11、 ,使得成立；（定义）有非零解,即有非零解；,系数矩阵的秩小于未知数的个数；名师归纳总结 15. 设 的矩阵的秩为,就 元齐次线性方程组的解集的秩为：；第 7 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 16. 如 为 的一个解,名师精编优秀资料为 的一个基础解系,就线性无关；5、相像矩阵和二次型1. 正交矩阵或 （定义）,性质：；、 的列向量都是单位向量,且两两正交,即、如为正交矩阵,就也为正交阵,且、如、 正交阵,就也是正交阵；留意：求解正交阵,千万不要遗忘施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化：；; 3. 对于一般方阵,不同特点值对应的特点
12、向量线性无关；对于实对称阵,不同特点值对应的特点向量正交；4. 、与 等价经过初等变换得到；, 、 可逆；, 、 同型；、 与 合同,其中可逆；与 有相同的正、负惯性指数；名师归纳总结 、 与 相像；第 8 页,共 9 页5. 相像肯定合同、合同未必相像；如 为正交矩阵,就,（合同、相像的约束条件不同,相像的更严格）6. 为对称阵,就为二次型矩阵；7. 元二次型为正定：的正惯性指数为；与 合同,即存在可逆矩阵,使 ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料的全部特点值均为正数；的各阶次序主子式均大于 0；必要条件 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页