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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学函数学问点总结1. 对于集合,肯定要抓住集合的代表元素,及元素的“ 确定性、互异性、无序性”|y；x,A、B、C如：集合Ax|ylgx,By|ylgx,Cx,ylg中元素各表示什么？A 表示函数 y=lgx 的定义域, B 表示的是值域,而 C 表示的却是函数上的点的轨迹2 进行集合的交、并、补运算时,不要遗忘集合本身和空集的特殊情形留意借助于数轴和文氏图解集合问题；空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集；2如：集合 A x x 2 x 3 0,B x ax 1如 B A,就实数 的值构成的集合为（答：1, ,1）3明显, 这里很
2、简洁解出 A=-1,3. 而 B 最多只有一个元素；故 B 只能是 -1 或者 3；依据条件, 可以得到 a=-1,a=1/3. 但是, 这里千万当心,仍有一个 B 为空集的情形,也就是 a=0,不要把它搞遗忘了；3. 留意以下性质：（ ）集合a 1,a2, ,a n的全部子集的个数是2n；a2, a3, an,都有 2 种挑选,所要知道它的来历：如B 为 A 的子集,就对于元素a1来说,有 2 种挑选（在或者不在） ；同样,对于元素以,总共有 2n 种挑选,即集合 A 有 2n 个子集；2n1,非空真子集个数为当然,我们也要留意到,这2n 种情形之中,包含了这n 个元素全部在何全部不在的情形
3、,故真子集个数为2n2（ ）如ABABA,ABB；（ 3）德摩根定律：CUABCUACUB,CUABCUACUB有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的不等式ax50 的解集为M,如3M且5M,求实数ax2a的取值范畴；（3M,a23a501,59,25）3a35M,a25a505做题时不要错过；如告知你函数fx=ax2+bx+ca0 在 ,1 上单调递减, 在 1,留意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,上单调递增,就应当立刻知道函数对称轴是x=1.或者,我说在上,也应当立刻可以想到m,n 实际上就是方程的 2 个根5、熟识
4、命题的几种形式、可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“ 或” ,“ 且” 和“ 非” .第 1 页,共 15 页如pq 为真,当且仅当p、 均为真名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如pq 为真,当且仅当p、 至少有一个为真如p 为真,当且仅当p 为假命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题；）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假；6、熟识充要条件的性质（高考常常考）A x | x 满意条件 p ,B x | x 满意条件 q ,如；就 p 是 q 的充分非必要条件 A _ B；如；就 p 是 q
5、的必要非充分条件 A _ B；如；就 p 是 q 的充要条件 A _ B；如；就 p 是 q 的既非充分又非必要条件 _ _；7. 对映射的概念明白吗？映射 f ：AB,是否留意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？（一对一,多对一,答应 B 中有元素无原象； ）留意映射个数的求法；如集合 A 中有 m 个元素,集合 B 中有 n 个元素,就从 A 到 B 的映射个数有 nm个；如：如 A ,1 2 , 3 4, ,B a , b , c ；问： A 到 B 的映射有 个, B 到 A 的映射有 个； A 到 B 的函数有 个,如 A ,1 2 , 3 ,
6、就 A 到 B 的一一映射有 个；函数 y x 的图象与直线 x a 交点的个数为 个；8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）相同函数的判定方法：表达式相同；定义域一样两点必需同时具备 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数yx4x2的定义域是（ 答 ： ,22,33,4）lgx3函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对 数 式 的 底数大于零且不等于一,真数大于零；正切函数ytanxxR ,且xk,k2,k余切函数ycotxxR ,且xk反三角函数的定义域函数 yarcsinx 的定
7、义域是1, 1,值域是,函数 yarccosx 的定义域是 1, 1 ,值域是0, ,函数 yarctgx 的定义域是R ,值域是.,函数 yarcctgx 的定义域是R ,值域是0, .当以上几个方面有两个或两个以上同时显现时,先分别求出满意每一个条件的自变量的范畴,再取他们的交集,就得到函数的定义域；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 f x fx的定2xn解出 x 的范畴,即为10. 如何求复合函数的定义域？- - - - - - - - - 如：函数f x 的定义域是a,b,ba0,就函数Fx义域是 _；（答：a,a）的定义域,可由mgx复合函
8、数定义域的求法：已知yf x 的定义域为m,n,求yfgx yfgx的定义域；2；例如函数yfx的定义域为12,就flog 2 x的定义域为2flog 2 x 中有1log分析： 由函数yf x 的定义域为1,2可知：1x2；所以y222解： 依题意知：1log2x22解之,得2x4flog 2 x的定义域为x|2x411、函数值域的求法1、直接观看法对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到；例 求函数 y=1 的值域 x2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一；例、求函数y=x2-2x+5 , x-1 , 2 的值域；3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）
9、都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面下面,我把这一类型的具体写出来,期望大家能够看懂a yb2型：直接用不等式性质k+xb. yx2xbxn型 , 先化简,再用均值不等式mx例：x11y1+x2x+12xx2c. ym xn型通常用判别式x2mxnd. yx2mxn型n法一：用判别式法二：用换元法,把分母替换掉例：yx2xx11（ x+1 ）（ x+1 ）+1 （ x+1 ）x111211x14、反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域；例 求函数 y=3x4值域；5x65、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过
10、函数的有界性,来确定函数的值域；我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 求函数 y=ex1,y2sin1,y2sin1的值域；x1sin1cose1yex1ex1y0ex11y1,yy2 sinsin1| sin|1y|12yy2 sincos12 sin1y1cos12 sinycos1y1 44y2sinx1y,即sinxy2又由sinx1知1y214y解不等式,求出y,就是要求的答案6、函数单调性法 通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容x 例求函数 y=2
11、5log3x1（2 x10）的值域7、换元法 通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型；换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发 挥作用；例 求函数 y=x+x1的值域；8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这 类题目如运用数形结合法,往往会更加简洁,一目了然,赏心悦目；例：已知点P（x.y ）在圆 x2+y2=1 上,的直线 .R 1xy2的取值范畴 2y-2x 的取值范畴解:1 令xy2k,就yk x2,是一条过 -2,0 dR d 为圆心到直线的距离 ,R为半径 2令y-
12、2xb ,即y2xb0,也是直线 d d例求函数 y=x2 2+x2 8 的值域；解：原函数可化简得：y= x-2 + x+8上式可以看成数轴上点P（ x）到定点 A（2）,B（-8 ）间的距离之和；由上图可知：当点P 在线段 AB上时,y= x-2 + x+8 = AB =10 当点 P 在线段 AB的延长线或反向延长线上时,y= x-2 + x+8 AB =10 第 4 页,共 15 页故所求函数的值域为：10 , +）名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例求函数 y=x26x13+ x24x5的值域2解：原函数可变形为：y=x32 0
13、2 2 +x2 201上式可看成x 轴上的点 P（ x,0）到两定点A（ 3,2）,B（-2 ,-1 ）的距离之和,由图可知当点P 为线段与 x 轴的交点时, ymin= AB = 32 2 212=43 ,故所求函数的值域为43, +）；注：求两距离之和时,要将函数 9 、不等式法利用基本不等式a+b 2ab,a+b+c 33abc（a,b,c R）,求函数的最值,其题型特点解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时必要用到拆项、添项和两边平方等技巧；例：x22 xx021133者的乘积变成常数） =x21133xxxxx 应用公式a+b+c33abc时,留意使x23-2
14、x0x1.5xx+3-2x31 =xx3-2x3 者之和变成常数）3c3时,应留意使 应用公式abcab3倒数法 有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发觉另一番境况例求函数 y=x2的值域21220y1x3yx2xx3x20时,1x21yx2x2x20时,y=00y1 2多种方法综合运用 总之,在具体求某个函数的值域时,第一要认真、认真观看其题型特点,然后再挑选恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调 性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法；12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？切记：做题,特殊是做大题时,肯定要留意附加条件,如定义域、单
15、位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之 交臂如：fx1exx,求f x .第 5 页,共 15 页令tx01,就t名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xt2111t221x0f t et2f x e x2x113. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、 y；注明定义域）如：求函数f x x1x0x0的反函数x2x0（答：f1xx1x1）x在更多时候,反函数的求法只是在挑选题中显现,这就为我们这些喜爱偷懒的人供应了大便利；请看这个例题：2004. 全国理 函数yx11x1的反
16、函数是（B ）A y=x 2 2x+2x1 By=x22x+2x 1 Dy=x22x x 1 C y=x 2 2xx=1. 排除选项 C,D.现在看值域；原函数至于为y=1,就反函数定义域为x=1, 答案为 B. 我题目已经做完了,似乎没有动笔（除非你拿来写*书）；思路能不能明白呢？14. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y）y=x 对称2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x）3、反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（ x,y）和点（ y,x）关于直线互为反函数的图象关于直线y x
17、 对称；储存了原先函数的单调性、奇函数性；设yfx的定义域为A,值域为C,abA,bC,就fa = bf1 af1f a f1 a,f f1 f a 由反函数的性质,可以快速的解出许多比较麻烦的题目,如（ 04. 上海春季高考）已知函数fx log342,就方程f1 x 4的解 x_. x15 . 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判定函数单调性的方法有三种：1 定义法：依据定义,设任意得 x1,x 2,找出 fx 1,fx 2 之间的大小关系可以变形为求 f x 1 f x 2 的正负号或者 f x 1 与 1 的关系x 1 x 2 f x 2 2 参照图象：如函数 fx 的
18、图象关于点 a ,b 对称,函数 fx 在关于点 a , 0 的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）如函数 fx 的图象关于直线 x a 对称,就函数 fx 在关于点 a ,0 的对称区间里具有相反的单调性；（特例：偶函数）3 利用单调函数的性质：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数 fx 与 fx cc 是常数 是同向变化的函数 fx 与 cfxc 是常数 ,当 c0 时,它们是同向变化的；当 c0 时,它们是反向变化的；假如函数 f1x,f2x 同向变化,就函数 f1x f2x 和它们同向变化； （函数
19、相加）假如正值函数 f1x,f2x 同向变化, 就函数 f1xf2x 和它们同向变化； 假如负值函数 f12 与 f2x 同向变化, 就函数 f1xf2x和它们反向变化； （函数相乘）1函数 fx 与 f x在 fx 的同号区间里反向变化；如函数 u x ,x , 与函数 y Fu ,u , 或 u , 同向变化,就在 , 上复合函数 yF x 是递增的；如函数 u x,x , 与函数 yFu , u , 或 u , 反向变化,就在 , 上复合函数 yF x 是递减的；（同增异减）如函数 y fx 是严格单调的,就其反函数 xf 1y 也是严格单调的,而且,它们的增减性相同；fg gx fgx
20、 fx+gx fx*gx 都是正数增 增 增 增 增增 减 减 / / 如：求 y log 1 x 22 x 的单调区间减 增 减 / / 2减 减 增 减 减（设 u x 22 x,由 u 0 就 0 x 22且 log 1 u,u x 1 1,如图：2u O 1 2 x 当x0,1 时,u,又log1u,y2当x1,2 时,u,又log1u,y2 ）16. 如何利用导数判定函数的单调性？在区间 a,b 内,如总有 f 0 就 f x 为增函数；（在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性）,反之也对,如 f 0 呢？3如：已知 a 0,函数 f x x ax 在 1,上是单调增函数,就 a
21、的最大值是（）A. 0 （令 fx3 x2a3xaxa0第 7 页,共 15 页33就xa或xa33名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由已知f x 在 1,上为增函数,就a1,即a33 a 的最大值为3）17. 函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（ fx 定义域关于原点对称）如fxf x 总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称如fxf x 总成立f x 为偶函数函数图象关于y 轴对称留意如下结论：（ 1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数；求（ ）如fx
22、是奇函数且定义域中有原点,就f00；时,f x 42x1,如：如f x a2xa2为奇函数,就实数a2x1（f x 为奇函数,xR,又0R,f 0即a20a20,a1）201又如：f x 为定义在1,1 上的奇函数,当x0,1 xf x 在1,1上的解析式；（令x1,0,就x0,1,fx42x1x又f x 为奇函数,f x 42x112xxx42xx1,0又f00,fx44x11x00,1）2xxx判定函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇（偶）函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇（偶）函数的必要条件 非奇非偶函数 . 二、奇偶函数定义法.如函数的定义域不关于原点对称,就函数为在给定函
23、数的定义域关于原点对称的前提下,运算f x,然后依据函数的奇偶性的定义判定其奇偶性. 这种方法可以做如下变形fx+f-x =0 奇函数第 8 页,共 15 页fx-f-x=0 偶函数fx f-x1 偶函数fx f-x1 奇函数三、名师归纳总结 复合函数奇偶性- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fg gx fgx fx+gx fx*gx 奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18. 你熟识周期函数的定义吗？（如存在实数T（T0）,在定义域内总有f xTf x ,就f x 为周期函数, T 是一个周期；）如：如 f x a f x ,就（答：f
24、 x 是周期函数,T 2 a 为 f x 的一个周期）我们在 做题的 时候 ,常常 会 遇到这 样的情 况： 告知你 fx+fx+t=0, 我们 要立刻 反应 过来,这时说 这个 函数周 期 2t. 推 导 ：f x f x t 0f x t f x 2 t 0 f x f x 2 t ,同时可能也会遇到这种样子：fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x. 其实这都是说同样一个意思：函数 fx 关于直线对称,对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到；比如, fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x 就都表示函数关于直线 x=a 对称；又如：如 f x 图象有两条对称轴
25、x a,x b即 f a x f a x ,f b x f b x f x f 2 a x f 2 a x f 2 b x f x f 2 b x 令 t 2 a x , 就 2 b x t 2 b 2 a , f f t 2 b 2 a 即 f x f x 2 b 2 a 所以 , 函数 f x 以 2 | b a | 为周期 因不知道 a b 的大小关系 ,为保守起见 , 我加了一个肯定值如：19. 你把握常用的图象变换了吗？f x 与fx的图象关于y轴 对称联想点（ x,y）,-x,y 第 9 页,共 15 页f x 与f x 的图象关于x 轴 对称联想点（ x,y） ,x,-y f x
26、 与fx的图象关于 原点 对称联想点（ x,y） ,-x,-y f x 与f1 的图象关于 直线yx对称联想点（ x,y）,y,x f x 与f2 ax的图象关于 直线xa对称联想点（ x,y）,2a-x,y f x 与f2 ax的图象关于 点a,0 对称联想点（ x,y）,2a-x,0 将yf x 图象左移a a0 个单位yf xa 右移个单位yf xa a a0 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 上移 b b 0 个单位 y f x a b下移 b b 0 个单位 y f x a b（这是书上的方法,虽然我从来不用,但可能大家接触最多
27、,我仍是写出来吧；对于这种题目,其实根本不用这么麻烦；你要判定函数y-b=fx+a 怎么由 y=fx 得到,可以直接令 y-b=0,x+a=0, 画出点的坐标；看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了；）留意如下“ 翻折” 变换：fx|fx |把x轴下方的图像翻到上面fxf|x|把y轴右方的图像翻到上面如： f x log 2x1作出ylog2x1及ylog2x1的图象y O 1 x y=log2x 19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？k0 y=b O Oa,bx x=a （ ）一次函数：yykxkb k00k 为斜率, b 为直线与 y 轴的交点 a,b（2）反比例函数：
28、k推广为ybxkak0是中心Ox的双曲线；（ ）二次函数yax2bxc a0a x2b24 acb2图象为抛物线第 10 页,共 15 页2 a4 a顶点坐标为b,4 acb2,对称轴xb2 a4 a2 a开口方向：a0,向上,函数ymin4ac4aba0,向下,ymax4acb24a根的关系：xb2ax2|a|x1x2b,x1x2c,|x 1aa名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数的几种表达形式：fxax2bxc一般式x轴fxaxm2n顶点式,（m,n）为顶点fxaxx1xx2x1,x2是方程的2个根）fxaxx1xx2h函数经过
29、点（x1,hx2,h应用：“ 三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ax2bxc0,0 时,两根x1、x2为二次函数yax2bxc 的图象与的两个交点,也是二次不等式ax2bxc00 解集的端点值；求闭区间 m, n上的最值；区间在对称轴左边（nb）fm a xfm ,fm i nfn 2a区间在对称轴右边（mb）fm a xfn ,fm i nfm2a区间在对称轴2边（nbm） 2afm i n4acab2,m a xm a x f n ,4也可以比较m , n 和对称轴的关系,距离越远,值越大 只争论a0的情形）求区间定（动） ,对称轴动（定）的最值问题；一元二次方程根
30、的分布问题；0如：二次方程2 axbxc0 的两根都大于kbk2 af k 0y a0 一根大于k,一根小于kf k 0O k x 1x2x 0在区间（m, ）内有 n2根mbn（ ）指数函数：yaxa0,a1第 11 页,共 15 页2 af m 00f n 0在区间（m, ）内有 1根f m f n （ ）对数函数ylogax a0,a1由图象记性质！（留意底数的限定！ ）名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y 0a1 y=log axa1 1 O 1 x 0a1 （ ）“ 对勾函数”yxkk0x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最
31、值的区分是什么？（均值不等式肯定要留意等号成立的条件）y kO kx 20. 你在基本运算上常显现错误吗？指数运算：a01a0 ,ap1a0 0,N0apmmn1ma0 annam a0 ,ana对数运算：log MNlogaMlogaN MlogaMlogaMlogaN,loganM1logaMNn对数恒等式： alogaxxlogamn bnlogablogcb对数换底公式：logablogcamlogax1alogx21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（ ）xR,f x 满意f xyf x f y ,证明f x 为奇函数；第 12 页,共 15 页（先令xy0f 0再令yx, ）f x 是偶函数；（