《2022年高考试题分类考点导数在研究报告函数中应用与生活中优化问题举例.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考试题分类考点导数在研究报告函数中应用与生活中优化问题举例.docx（53页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用考点 10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题12018 安徽高考文科 10）函数fxaxn1x2在区间0,1 上的图象如图所示，则n 可能是 ）4 A）1 B）2 C）3 D【思路点拨】代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案 . 【精讲精析】 选 A. 代入验证 , 当 n=1 时，f ( x ) ax 1( x ) 2a ( x 32 x 2x )，则2 2 1f ( x ) a ( 3 x 4 x )1，由 f ( x ) a ( 3 x 4 x )1 =0 可知，x 1 , x 2 1，结
2、合图象可知函数应在30，1 ）递增，在（1 1,）递减，即在 x 1处取得极大值，由3 3 3f ( 1 ) a 1 ( 1 1 ) 2 1 , 知 a 存在 . 3 3 3 22.2018 辽宁高考理科 11）函数 fx ）的定义域为 R，f-1 ）=2，对任意 xR，f (x ) 2，则fx ） 2x+4 的解集为 ）A）-1 ，1） B）-1， +） C）-，-1 ） D）-，+）【思路点拨】 先构造函数 g ( x ) f ( x ) ( 2 x 4 )，求其导数，将问题转化为求 g ( x ) 单调性问题即可求解名师归纳总结 【精讲精析】 选 B.构造函数g(x)f(x)(2x4 )
3、，则g(1 )f()1(24)220，又因为第 1 页，共 28 页f( x )2，所以g(x)f(x)20，可知g(x)在 R上是增函数，所以f (x)2x4 可化为g(x)0，即g(x)g(1 )，利用单调性可知，x1选 B.10）函数fxaxm1xn在区间0,1 上的图象如图所示，则m n 的值32018 安徽高考理科 可能是 ）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - m1,n2(C m2,n个人资料整理仅限学习使用1 (D m3,n1【思路点拨】 本题考查函数与导数的综合应用，先求出)在f( x )的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m
4、,n 的取值 .【精讲精析】 选 B.函数fxaxm1xn的导数0,mn)上大于 0，在(mn1, )上小于 0，由(f( )(mn axm1(1x)n1(xmn),则f(xmmm图象可知极大值点为1 ，结合选项可得 3m=1,n=2. 二、填空题4.2018 广东高考理科 12）函数 f x ( ) x 33 x 21 在 x 处取得极小值 . 【思路点拨】 先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值时 x 的值. 【精讲精析】由f(x)23x26x0解得x0或x2，列表如下：0,22 2,00 x当x时， y 取得极小值 . f(x)+ 0 - 0 + f(x
5、)增极大值减极小值增【答案】 2 52018 辽宁高考文科 16）已知函数 f ( x ) e x2 x a 有零点，则 a 的取值范围是【思路点拨】 先求 f (x )，判断 f (x ) 的单调性结合图象找条件本题只要使 f (x ) 的最小值不大于零即可名师归纳总结 【精讲精析】f(x)=ex2由f(x)0 得ex20 ，第 2 页，共 28 页xln2由f(x)0 得，xln2f(x)在xln2处取得最小值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用只要 f minx ) 0 即可e ln 22 ln 2 a 0，a 2 ln
6、2 2【答案】( 2, ln 2 2 6.2018 江苏高考 12）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是函数 f ( x ) e x ( x 0 ) 的图象上的动点，该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN的中点的纵坐标为t ，则 t 的最大值是 _【思路点拨】 本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标 t的表达式，然后考虑单调性求解最值 .【精讲精析】设P x e x 0),则l:yx e0x e0(xx 0),M(0,(1x e x 0)，过点 P 作 l 的垂线t1x0(ex 0
7、ex 0)ye x 0ex 0(xx 0),N(0,e x 0x ex 0)，t1(1x0)ex 0ex 0x ex 0ex022t1 ( 2ex 0ex 01(e1 e). )(1x0)，所以， t 在 (0,1) 上单调递增，在(1,) 上单调递减，max2【答案】1 2(e1 )e三、解答题72018 安徽高考理科 16）设f( )1ex2，其中 a 为正实数. ax1）当 a4时，求f( ) x 的极值点；32）若f x 为 R 上的单调函数，求a 的取值范围 . 【思路点拨】 1）直接利用导数公式求导，求极值. 2 ）求导之后转化为恒成立问题【精讲精析】 对f(x)求导得，f(x )
8、ex12 ax2 ax.( 12 ax)21）当a4时，令f(x)0，则4x28x30. 解得x 13,x21，322列表得名师归纳总结 fx (,1)1(1,3)3(3,)第 3 页，共 28 页222222(x)+ 0 - 0 + f( x )极大值极小值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用所以，1x 3是极小值点，2x 1是极大值点 . 2 220, 知2 2ax 2 ax 1 0 在 R上恒成立，因此 4 a 4 a 4 a ( a )1 0 . 并结合 a0, 知 0 a 1 . 8. 某商场销售某种商品的经验表明，该
9、商品每日的销售量 y单位：千克）与销售价格 x单位：元 / 千克）满足关系式 y a 10( x 6)2，其中 3x6，a 为常x 3数，已知销售价格为 5 元/ 千克时，每日可售出该商品 11 千克 .1）求 a 的值 . 根据“ 销售价格为 5 元/ 千克时，每日可售出该商品 11 千克” 可知销售函数过点5,11 ）, 将其代入可求得 a的值 . 销售量 , 表示出函数解读式后，可借助导数求最值 . 【精讲精析】1）因为x5时，y11，所以a1011,所以a2. 2y210(x2 6) ,2）由 1）可知，该商品每日的销售量x3所以商场每日销售该商品所获得的利润f x ( )(x3)x2
10、310(x2 6) 210(x3)(x2 6) ,3x6. 从而f( )10(x2 6) +2(x3)(x6)30( x4)(x6).于是，当 x 变化时，f( ),f x 的变化情况如下表，x3,44 (4,6)f( )0 f x ( )单调递增极大值 42 单调递减由上表可得，x4是函数f( ) x 在区间 (3,6) 内的极大值点，也是最大值点名师归纳总结 所以，当x4时，函数f x 取得最大值，且最大值等于42. 第 4 页，共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用答：当销售价格为 4 元/ 千克时，商场每日销售
11、该商品所获得的利润最大 . 9.2018 福建卷文科 22）已知 a，b 为常数，且 a 0，函数 f=2e=2.71828 是自然对数的底数）.1）求实数 b 的值 . 2）求函数 fx ）的单调区间 . 名师归纳总结 3）当 a=1 时，是否同时存在实数m和 MmM），使得对每一个t m， M，直线 y=t 与曲线 y=fx ）第 5 页，共 28 页 f e ( )2b的值 。(2 对函数f x 求导得导函数f( ) x ，由导函数f( ) x 得单调区间，必要时分类讨论； 由f e ( )2,得b2.2）由 1）可得f x ( )ax2axlnx 从而f( )alnx,因为a0,故：当
12、a0时，由f( )0得x1；由f( )0得 0x1；当a0时，由f( )0得 0x1；由f( )0得x1. 综上，当a 0时，函数f x 的单调递增区间为0,1 ），单调递减区间为1,. 当 a0 时，函数 fx ）的单调递增区间为1，+），单调递减区间为 当a1时，f x ( )x2xlnx f( )lnx .由2）可得，当 x 在区间1, 上变化时，f( ),f x 的变化情况如下表：ex11 ,1 e11,eeef( )0f x ( )22单调递减极小值 1单调递增2e又222，所以函数f x ( )(x1,e)的值域为1,2 . ee- - - - - - -精选学习资料 - - -
13、- - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用据此可得，若 m 1则对每一个 t m M , 直线 y t 与曲线 y f x ( ) x 1, e 都有公共点；并M 2 e且对每一个 t , m M ,，直线 y t 与曲线 y f x ( ) x 1 , e 都没有公共点 . e综上，当 a 1 时，存在最小的实数 m 1，最大的实数 M 2，使得对每一个 t m M，直线 y t 与曲线 y f ( ) ( x 1, e ) 都有公共点 . e102018 江苏高考 17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三
14、角形，再沿虚线折起，使得 A,B,C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒AEFBx(cm).E,F 在 AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设1）某广告商要求包装盒的侧面积V(S2 ( cm)最大，试问 x 应取何值？. 2）某厂商要求包装盒的容积3 cm)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值【思路点拨】 本题主要考查的是从实际生活中提取数学模型，然后利用数学知识进行解决，所以解决本名师归纳总结 题的关键是正确地列出侧面积和容积的表达式，然后根据二次函数的最值和导数法求最值求解20. 当.)【精讲精析】 设包装盒的高为h (
15、cm )，底面边长为a(cm)由已知得x(0 ,20a2x,h602x2(30x), 0x30. 21）S4 ah8 x ( 30x )8 (x15 )21800，所以当x15时， S 取得最大值 . 或xh1时V0；当X(20, 30)时V0，所以当x20时取得极大值，也是最大值, 此时，即包装a2盒的高与底面边长的比值为1 . 2第 6 页，共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用11.2018 江苏高考 19）已知 a，b 是实数，函数 f ( x ) x 3ax , g ( x ) x 2bx , f (x )
16、和 g (x ) 是f ( x ), g ( x ) 的导函数，若 f ( x ) g ( x ) 0 在区间 I 上恒成立，则称 f (x ) 和 g (x ) 在区间 I 上单调性一致1）设 a 0，若 f (x ) 和 g (x ) 在区间 1 , ) 上单调性一致 , 求实数 b 的取值范围；2）设 a 0 且 a b，若函数 f (x ) 和 g (x ) 在以 a，b 为端点的开区间上单调性一致，求 | a- b| 的最大值 . 【思路点拨】 本题考查的是导数与函数的综合知识，在解决本题时要注意挖掘已知的信息，注意条件的转化，函数f(x)和g(x)在区间,1)上单调性一致，可以转化
17、为导数之积恒为正来处理0.)ab0，【精讲精析】 解法一：f(x)3x2a ,g(x )2xb. 1）由题意得f(x)g(x)0，在,1上恒成立 . 因为a0，故3x2a0，进而 2xb0 ，即b2x在区间,1上恒成立，所以b2，因此 b 的取值范围是2 ,. , 从而当x10,时，f(x )g(x)0, 故函数f(x)和g(x933单调性一致 . 因此ab的最大值为1 . 3解法二：名师归纳总结 1）因为函数f(x)和g(x)在区间,1)上单调性一致，所以，x 1,),f( ) x g x ( )0,即第 7 页，共 28 页x 1,),（3 x2+a）(2x+b)0,a0,x 1,),2x
18、+b0,即a0,x 1,),b2x,b2;2）当 ba 时，因为函数f(x)和g(x )在区间 的可行域，函数y3 x 的斜率为 1 的切线的切点设为 2(x 0,y 0)则6x01,x 01,y 01,z max1(1)1；61212612当ab0时，因为，函数f(x)和g(x)在区间 a, b ）上单调性一致，所以，x( , ),f( ) x g x ( )0,即x( , ),（3 x2+a）(2x+b)0,b0,x( , ),2xb0，x( , ), a b a3 x2,a3 a2,1a0,(ba )max1;33当a0b 时，因为，函数f(x)和g(x)在区间 a, b ）上单调性一致
19、，所以，x( , ),f( ) x g x ( )0,即x( , ),(2x+b) （3 x2+a）0,b0,而 x=0 时，（3 x2+a）(2x+b)=ab0, 不符合题意，当a0b 时，由题意：x( ,0),2x（3 x2+a）0,x( ,0), x2+a0,3 a2a0,1a0,ba1. 33综上可知，abmax1. 312. 2018 新课标全国高考理科 21）已知函数f x ( )alnxb，曲线yf x 在点 (1, (1)x1x切线方程为x2y30. 1）求 a 、 b 的值；名师归纳总结 2）如果当x0，且x1时，f( )lnxk，求 k 的取值范围 . (1, (1)即在切
20、线上又第 8 页，共 28 页x1x【思路点拨】 第1）问，对函数f x 求导得f( ) x ，f(1)对应切线的斜率，切点在原函数f x 上，利用上述关系，建立方程组，求得a b 的值；第2）问，f x ( )alnxbf x ( )(alnxb)0，首先化简函数式x1xx1xf x ( )(alnxb)，再来证明不等式成立即可，必要时分类讨论. x1x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 个人资料整理仅限学习使用第 9 页，共 28 页【精讲精析】 1）由于直线x2y30的斜率为1，且过点 (1,1)，故2f(1)1,f(1)1,2b1,
21、即ab1 , 22解得a1，b1. 2）由 设k0，由h( )k x21)2(x2 1)知，当x1时，h x ( )0，h(x 递减 . 而h (1)0，故当xx(0,1) 时，h x ( )0，可得112h x ( )0；x当 x1，+）时， hx）0，可得112 h0 x从而当 x0, 且 x1 时， fx ）-0，即 f xlnx + 1k . xxxii ）设 0k1. 由于( k1)(x21)2x =(k1) x22xk1 的图像开口向下，且44( k2 1)0，对称轴 x=11k1.当 x1，11k）时， k-1 ）0, 故h (x ）0,而 h1）=0，故当 x1，11k）时，
22、h0，可得112hx）0, 与题设矛盾 .xiii）设 k1. 此时x212x ，( k1)(2 x1)2x0h 0, 而 h1）=0，故当 x1，+）时， h0，可得112 hx ）0, 与题设矛盾 .x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 综合得， k 的取值范围为 -，0 个人资料整理仅限学习使用f x 在点 (1, (1)处的13. 2018 新课标全国高考文科 21）已知函数f x ( )alnxb，曲线yx1x切线方程为x2y30. 1）求 a 、 b 的值；2）证明：当 x 0，且 x 1 时，f ( ) ln x . x 1【思路点拨】 第
23、1）问，对函数 f x 求导得 f ( ) x ，f (1) 对应为切线的斜率，切点 (1, (1) 即在切线上又在原函数 f x 上，利用上述关系，建立方程组，求得 a b 的值；第2）问，f x ( ) ln xf x ( ) ln x0，先化简函数式 f x ( ) ln x，再来证明不等式成立即可，x 1 x 1 x 1必要时分类讨论 . 【精讲精析】1）名师归纳总结 由于直线x2y30的斜率为1，且过点 (1,1)，故f(1)1,1,即第 10 页，共 28 页2f(1)2b1,ab1 , 2解得a1，b1. 22）由 =lnx1,所以x1xf (x)ln x1122ln xx21x
24、1xx设 h (x= 2 ln x -x21，x则 h(x=22x2x 2 x21x 12x2x所以 x 1 时 h(x 0 而 h(1=0 故x1,0时， h(x0 可得f x ( )lnx,x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x1，时， h(x0 可得f x ( )lnxy个人资料整理仅限学习使用2x1,f(x)过点 P1，0），且在 P 点处的切线斜率为从而当x0，且x1时，f x ( )lnx 1. x142018 辽宁高考文科 20），曲线设函数f(x )xax2blnx1）求 a ， b 的值；名师归纳总结 2）证明： f (x)2x2
25、2)，求其导函数，证明第 11 页，共 28 页【思路点拨】 1）先求导，再代入进行计算；2）构造函数g(x)f(x )(2x其单调性，将所求问题转化为证明gmaxx )0的问题【精讲精析】 1）f(x )12axbx由已知条件得f( )10 ,即11ab,02 .f( )12 .2ax)2x2解得a,1 b3.2）f(x )的定义域为0 ,，由 1）知f(x )xx23lnx设g(x )f(x )( 2x2 )2xx23lnx，则g(x)12x3(x1 )(2x3 )xx当0x1时，g(x )0；当x1 时，g(x)0所以g(x)在(1,0 )上单调增加，在 为最大值，故当x0时，g(x)0，即f(15.=lnx+a(1-ax2-2(1-ax的单调性 .【思路点拨】 先求f( x)的导函数f( x)，再由 a 的不同取值范围，解不等式f( x )0，从而确定f( x )的单调区间 . 在解本题时一定要注意f( x)的定义域为x|x0【精讲精析】 函数f x 的定义域为 (0,).f( )2 (1a x2x2(1a x1,当a1 时, 方程2a(1-a)x22(1a x10的判别式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理仅限学习使用