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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 主题学习必备欢迎下载华贤书院教学过程补充表平行线序教学过程一、平行线例题：这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角；解答这类题目的前提是娴熟地把握这些角的概念,关键是把握住这些角的基本图形特点,有时 仍需添加必要的帮助线,用以突出基本图形的特点；上述类型题目大致可分为两大类；一类题目是判定两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题；其方法是“ 由线定 角” ,即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补；另一类题目主要是“ 由角定线”,也就是依据某些角的相等或互补关系来判定两直线平行,解此类题目必需要把握好平
2、行线的判定方法；例 1如图,已知直线 a,b,c 被直线 d 所截,如 1=2,2+3=180 ,求证： 1=7 分析：运用综合法,证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行,然后再由两直线平行解决其它角的关系；1 与 7 是直线 a 和 c 被 d 所截得的同位角；须证a/c ；证明： d 是直线（已知）法（一） 1+4=180 （平角定义） 2+3=180 , 1=2（已知） 3=4（等角的补角相等） a/c（同位角相等,两直线平行）1=7（两直线平行,同位角相等）法（二）证明： 2+3=180 , 1=2（已知）1+3=180 （等量代换）5=1,6=3（对顶角相等）5+6=180
3、（等量代换）a/c （同旁内角互补,两直线平行）1=7（两直线平行,同位角相等） ；例 2已知如图, 1+2=180 , A=C,AD平分 BDF,求证： BC平分 DBE；分析： 只要求得 EBC=CBD,由 1+2=180 推出 1=BDC,从而推出 AE/FC,从而 推出 C=EBC而C=A于是可得 A=EBC；因此又可得 AD/BC,最终再运用平行线性质和已知条件便可推 出 EBC=DBC；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载证明： 2+BDC=180（平角定义）又 2+1=180 （已知）
4、BDC=1（同角的补角相等）AE/FC（同位角相等两直线平行）EBC=C（两直线平行内错角相等）又 A=C（已知）EBC=A（等量代换）AD/BC（同位角相等,两直线平行）ADB=CBD（两直线平行,内错角相等）ADF=C（两直线平行,同位角相等）又DA平分 BDF（已知）ADB=ADF（角平分线定义）EBC=DBC（等量代换）BC平分 DBE（角平分线定义）说明：这道题反复应用平行线的判定和性质,这是以后在证题过程中常常使用的方法,见到“ 平行” 应想到有关的角相等,见到有关的角相等,就应想到能否判定直线间的平行关系；把平行线的判定与性质紧密地结合在一起也就是使直线平行和角相等联系在一起,这
5、样解题能得心应手,敏捷自如；二、小结：证明角相等的基本方法 1、已学过的关于两个角相等的命题：（1）同角（或等角）的余角相等；（2）同角（或等角）的补角相等；（3）对顶角相等；（4）两直线平行,同位角相等；内错角相等；同旁内角互补；以上四个命题是我们目前论证两个角相等的武器,但是何时用这些武器,用什么武器,怎样使用,这是遇到的一个详细问题,需要仔细进行分析；第一必需分析,在题设中给出了哪些条件,与其相关的图形是什么！其次再分析一下要证明的两个角在图形的详细位置,与已知条 件有什么关联,怎样运用一次推理或几个一次推理的组合而来完成题设到结论的过渡；例 3,如图 1=2=C,求证 B=C；分析：题
6、设中给出三个相等的角, 其中 2 和 C是直线 DE和 BC被 AC所截构成的同位角,由 2=C就 DE/BC；再看题中要证明的结论是B=C,由于 C=1,所以只要证明 1=B,而 1 与B 是两条平行直线 DE,BC被直线 AB所截构成的同位角, 1=B是很明显的,这样我们就理顺了从已知到求证的途径：证明： 2=C（已知）,DE/BC（同位角相等,两直线平行）,1=B（两直线平行,同位角相等）,又 1=C（已知）,B=C（等量代换）；例 4、已知如图, AB/CD,AD/BC,求证： A=C,B=D；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - -
7、 - - - - - 学习必备 欢迎下载分析：要证明 A=C,B=D,从这四个角在图中的位置来看,每一组既不构成同位角,也不是内错角或同旁内角,由此不行能利用题设中的平行关系,经过一次推理得到结论,仍旧 犹如例 10 一样通过等角进行转化,从题设条件动身,由 AB/CD,且 AB与 CD被直线 BC所截,构成了一对同旁内角, B、 C,因此 B+C=180 o,同时 B 又是另一对平行线 AD、BC被直 线 AB所截,构成的一对同旁内角B、 A, B+A=180 o,通过 B 的中介,就可以证明得A=C；同理,也可得到 B=D,整个思路为：证明： AD/BC（已知）,A+B=180 o（两直线
8、平行,同旁内角互补）,AB/CD（已知）,B+C=180 o（两直线平行,同旁内角互补）, A=C（同角的补角相等）,同理可证 B=D；例 5、已知如图, ADBC于 D,EGBC于 G, E=3,求证：1=2；分析： 要证明 1=2,而从图中所示的 1 和2 的位置来看,根据题设或学过的定义、公理、定理无法直接证明这两个角相等,因我们可将视野再拓广一下,查找一下 1、2 与周边各角的关系, 我们看到直线 AD与 GE被直线 AE所截,形成同位角 1、E；被 AB所截,形成内错角 2、 3；而题设明确告知我们3=E,于是目标集中到证明 AD/GE,依据题设中 ADBC,EGBC,我们很简单办到
9、这一点,总结一下思路,就可以得到以 下推理程序：证明： ADBC于 D（已知）,ADC=90 o（垂直定义）,EGBC于 G（已知）,EGD=90 o（垂直定义）,ADC=EGD（等量代换）,EG/AD（同位角相等,两直线平行）,1=E（两直线平行同位角相等）,2=3（两直线平行内错角相等）,又 E=3（已知）,1=2（等量代换）；三、两条直线位置关系的论证 两条直线位置关系的论证包括：证明两条直线平行,证明两条直线垂直,证明三点在同一直线上；1、学过证明两条直线平行的方法有两大类名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - -
10、学习必备 欢迎下载（一）利用角；（1）同位角相等,两条直线平行；（2）内错角相等,两条直线平行；（3）同旁内角互补,两条直线平行；（二）利用直线间位置关系：（1）平行于同一条直线的两条直线平行；*（2）垂直于同一条直线的两条直线平行；例 6、如图,已知 BE/CF,1=2,求证：AB/CD；分析： 要证明 AB/CD,由图中角的位置可看出 AB 与 CD被 BC所截得 而图中的直线位置 一对内错角 ABC和 DCB,只要证明这对内错角相等,关系显示, ABC=1+EBC,BCD=2+FCB,条件中又已知 1=2,于是只要证明 EBC=BCF；证明： BE/CF （已知）,EBC=FCB（两直线
11、平行,内错角相等）1=2（已知）,1+EBC=2+FCB（等量加等量其和相等）,即ABC=BCD（等式性质）,AB/CD（内错角相等,两直线平行）；例 7、如图 CDAB,EFAB,1=2,求证：DG/BC；分析：要证明 DG/BC,只需证明 1=DCB,由于1=2,只需 证明 2=DCB,2 与 DCB又是同位角,只需证明 CD/EF；依据 题设 CDAB,EFAB,CD/EF,很简单证得,这样整个 推理过程分成三个层次；（1）（平行线的判定）（2）CD/EF2=DCB（平行线的性质）（3）1=DCB DG/BC（平行线判定）在这三个推理的环节中,平行线的判定和性质交替使用,层次分明；证明：
12、 CDAB于 D（已知）,CDB=90 o（垂直定义）,EFAB于 F（已知）,EFB=90 o（垂直定义）,CDB=EFB（等量代换）,CD/EF（同位角相等,两直线平行）,2=DCB（两直线平行,同位角相等）又 1=2（已知）,1=DCB（等量代换）,DG/BC（内错角相等,两直线平行）；说明： 从以上几例我们可以发觉,证明两条直线平行,必需紧扣两直线平行的条件,往往归结于求证有关两个角相等,依据图形找出两直线的同位角、内错角或同旁内角,设法证明这一组同位角或内错角相等,或同旁内角互补；而证明两角相等,又常常归于证明两直线平行；因此,交替使用平行线的判定方法和平行线的性质就成为证明两直线平
13、行的常用思路；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2、已经学过的证明两直线垂直的方法有如下二个：（1）两直线垂直的定义（2）一条直线和两条平行线中的一条垂直,这条直线也和另一条垂直；（即证明两条直 线的夹角等于 90 o而得到；）例 8、如图,已知 EFAB, 3=B, 1=2,求证： CDAB；分析： 这是一个与例 14 同样结构的图形,但证明的目标却是两条直线垂直；证明 CDAB,根 据“ 一条直线垂直于两条平行线中的一条,必垂直于另一条；” 又由于已知条件 EFAB,只要证明 EF/CD,要证
14、 EF/CD,结合图形,只要证明2=DCB,由于 1=2,只需证明 DCB=1,而 DCB与 1 是一对内错角, 因而依据平行线的性质, 就需证明 DG/BC,要证明 DG/BC依据平行线的判定方法只需证明几个层次：3=B,而这正是题设给出的条件,整个推理过程经过以下3=B DG/BCDCB=2 （1）平行线判定（2）平行线性质CDAB （3）平行线判定性质（4）垂直定义证明： 3=B（已知）,DG/BC（同位角相等,两直线平行）1=DCB（两直线平行,内错角相等）,1=2（已知）,DCB=2（等量代换）,DC/EF（同位角相等,两直线平行）,有括号部分的五步也可以用以下证法：接 DC/EF（
15、同位角相等,两直线平行）,又EFAB（已知）,CDAB（一条直线和两条平行线中的一条垂直,这条直线也和另一条垂直；）名师归纳总结 3、已经学过的证明三点共线的方法在前面的几讲中已分析过,如证明E、O、F 三点共线,通常采纳第 5 页,共 13 页EOF=180 o,利用平角的定义完成三点共线证明；此方法不再举例；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载五、一题多解；例 9、已知如图, BED=B+D；求证： AB/CD；法（一）分析： 要证明 AB/CD,从题设中条件和图形动身考虑,图形中既不存在“ 三线八角” ,又不存在与 AB、CD同时
16、平行的第三条直线或与AB、CD同时垂直的直线,这样就无法利用平行线公理的推理或平行线的判定方法来证明两条直线平行；能不能为此制造条件呢？假如我们能够在图中添置一条直线,使这条直线和AB、CD中的一条平行,那么我们就有可能证明它也平行于另一条,从而得到 AB/CD；依据平行公理,经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行,所以这样的直线是存在的；接下来的问题是：过哪一点作这条平行线,考虑题设中的已知条件,三个角的关系环围着E 点绽开的,因而挑选E 点作 AB的平行线是较为抱负的位置；证明： 过点 E 作 EF/AB,B=1（两直线平行,内错角相等）,BED=1+2（全量等于部分之和）,2=B
17、ED-1（等式性质）,又BED=B+D（已知）,D=BED-B（等式性质）2=D（等量代换）EF/CD（内错角相等,两直线平行）,EF/AB（作图）,AB/CD（平行于同始终线的两直线平行）；说明：在光凭题设条件无法直接证得结论时,在图中添置新的线,以构成一个条件充分的图形,从而得出所求证的结论,像这样添置的线叫做帮助线,在画图时,帮助线用虚线画出；法（二）分析： 假如在 E点的另一侧添置AB的平行线（如图）,同样可以凭此证得结论,但是由于所取的角的位置不同,推理的依据过程也有所不同；证明： 过点 E 作 EF/AB（如图）,BED=oB+1=180 o（两直线平行,同旁内角互补）,1+2+B
18、ED=360 o（周角定义）,B+D（已知）, B+D+1+2=360 o（等量代换）, D+2=360 o- （ B+1）（等式性质）=360 o-180（等量代换）o =180EF/CD（同旁内角互补,两直线平行）,EF/AB（作图）,AB/CD（平行于同始终线的两条直线平行）；留意： 在添置帮助线 EF时,只能过 E 点作直线 EF平行于直线 AB、CD中的一条,而不能 同时平行于 AB和 CD；从另一个方面考虑这个命题,仍旧是这个图形假如我们交换题设和结论部分：即已知AB/CD,能否得到 BED=B+D的结论,仍旧像例16 法（一）那样添置AB的平行线 EF,可得到 B=BEF,又由于
19、 AB/CD,就 EF/CD；于是又有 D=DEF,很明显 B+D=BEF+DEF=BED；可知,交换原命题的题设和结论部分,仍旧得到一个真命题；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载有一种水生植物水浮莲,生长速度很快,每昼夜能长一个新的水浮莲；就是说,一昼夜能一变二,两昼夜后,就成 4 棵,这样一天一天地增多；有一个小的池塘,放进 1 棵水浮莲, 20天后,就长满了整个池塘；假如开头时放进 2 棵水浮莲,几天可以长满池塘？是 10 天吗？想一想,你会得出正确答案的！答案：19 天由于水浮莲的繁衍速度
20、是经过一天,就一变二,放进 1 棵,其次天就变成了2 棵；现在第一天放进 2 棵,就相当于放 1 棵经过一昼夜繁衍后池塘中的棵数；经过 19 天后,池溏也同样满了；放进 1 棵到池塘,其生长状况是：1,2,4,8,16,32,64, ,放进 2 棵后的生长状况是 2,4,8,16,32,64,128, ,从比较可以看出,放进 2 棵,只相当于提早了一天；平行线的性质考点扫描 :会用始终线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和运算名师精讲 :平行线的性质是指在两条直线平行的前提条件下,能够得到的与图形有关的位置及数量关系平行线的性质有：（1）平行线永久不相交（定义）
21、；（2）两直线平行,同位角相等（性质公理）；（3）两直线平行,内错角相等（性质定理 1）；（4）两直线平行,同旁内角互补（性质定理 2）平行线的判定和平行线的性质不能混淆,应分清定理（或公理）的条件结论：（1）判定定理说的是满意了什么条件（性质）的两条直线是相互平行的（2）性质定理说的是假如两条直线平行,它具有什么性质由此可见,判定定理与性质定理是因果关系倒置的两类定理（称为“ 互逆” 定理）1已知：如图, AB CD,CE平分 ACD, A110 ,就 ECD的度数等于（）A、110 B、70 C、55 D、352如图,已知： l 1/l2, 1=100 ,就 2= 1如图,直线 a、b 被
22、直线 c 所截,且 a/b ,如 1=118 ,就 2 的度数为 _名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2如图 AB CD,如 ACD=69 ,就 CAB= _ 3如图 AB CD,直线 EF分别交 AB、CD于点 E、F,ED平分 BEF, 如1=72 ,就 2=_ 4如图直线 L1 L2、L3分别与 L1,L2 相交 , 就 1 与2 的关系为（）A、 1=2 B、 1+2=180 C、 1+2=90 D、 1+2=3605如图 l1 l2, 是 的 2 倍, 就 等于 （）A：60 B：90
23、C：120 D：1506如图 AB CD,那么 1+2+3=（）A、180 B、360 C、540 D、720名师归纳总结 7如图 DE BC,EF AB,图中与 BFE互补的角共有（）第 8 页,共 13 页A、3 个 B 、2 个 C、5 个 D、4 个- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 9 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载平行线的判定与性质同步练习一、挑选题1以下命题中,不正确选项 _ A两条直线被第三条直线所截,假犹如位角相等,那么这两
24、条直线平行B两条直线被第三条直线所截,假犹如旁内角互补,那么这两条直线平行C两条直线被第三条直线所截,那么这两条直线平行D假如两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也相互平行2如图,可以得到 DE BC的条件是 _ A ACB=BAC B ABC+BAE=180 C ACB+BAD=180 D ACB=BAD3如图,直线 a、b 被直线 c 所截,现给出以下四个条件 : 1 1=2,2 3=6,3 4+7=180 , 4 5+8=180 ,其中能判定 a b 的条件是 _ A13 B24 C134 D1234 4一辆汽车在笔直的大路上行驶,两次拐弯后,行驶的方向与原先的方向相同,这两次拐弯
25、的角度可能是 _ A第一次向右拐 40 ,其次次向左拐 40 B 第一次向右拐 50 ,其次次向左拐 130C第一次向右拐 50 ,其次次向右拐 130 D第一次向左拐 50 ,其次次向左拐 1305如图,假如 1=2,那么下面结论正确选项 _AAD BC BAB CD C 3=4 DA=C名师归纳总结 - - - - - - -6如图 1,a b,a、b 被 c 所截,得到 1=2 的依据是（） A两直线平行,同位角相等 B两直线平行,内错角相等 C同位角相等,两直线平行 D内错角相等,两直线平行7同一平面内有四条直线a、b、c、d,如 a b,ac,bd,就直线 c、d 的位置关系为（）
26、A相互垂直 B相互平行 C相交 D无法确定8如图 2,AB CD,那么（）A 1=4 B 1=3 C 2=3 D 1=5 9如图 3,在平行四边形 ABCD中,以下各式不肯定正确选项（） A 1+2=180 B 2+3=180C 3+4=180 D2+4=18010如图 4,AD BC, B=30 ,DB平分 ADE,就 DEC的度数为（）A30 B60 C90 D120第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、填空题 11如图,由以下条件可判定哪两条直线平行,并说明依据1 1=2,_2 A=3,_3 ABC+C=180 ,_12假如两条
27、直线被第三条直线所截,一组同旁内角的度数之比为 32,差为 36 ,那么这 两条直线的位置关系是 _13同垂直于一条直线的两条直线 _14如图,直线 EF分别交 AB、CD于 G、H 1=60 , 2=120 ,那 么直线 AB与 CD的关系是 _,理由是： _15如图 5,AB EF,BC DE,就 E+B 的度数为 _三、解答题 16已知：如图, 1=2,且 BD平分 ABC求证： AB CD17已知：如图, AD是一条直线, 1=65 , 2=115 求证： BE CF名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习
28、必备 欢迎下载18已知：如图, 1=2, 3=100 , B=80 求证： EF CD19已知：如图, FAAC,EBAC,垂足分别为 A、B,且 BED+D=180 求证： AF CD20 如图,已知 AMB=EBF, BCN=BDE,求证： CAF=AFD21）如图,一条大路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,假如第一次拐的角 A 是 120 ,其次次拐 的角 B 是 150 ,第三次拐的角是 C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,问C是多少度？说明你的理由22（1）如图,如 AB DE,B=135 , D=145 ,你能求出 C的度数吗？（2）在 AB DE的条件下,你能得出 B、 C、D之间的数量关系吗？并说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载23. 如图,在折线 ABCDEFG 中,已知 1=2=3=4=.5,.延长 AB、GF交于点 M摸索究AMG与3 的关系,并说明理由24. 已知如图,四边形 ABCD中,AB CD,BC AD,那么 A与C,B 与D的大小关系如何？请说明你的理由名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页