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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第五章 一元函数微积分的应用一元函数的微分和积分的产生都有着实际背景,有着广泛的应用； 本章将通过介绍微分中值定理,它们在自然科学、 经济领域以及工程技术上 给出求极限的另外一种方法罗必塔法就；以导数为工具,争论函数的一些几何性态（单调性,极值,凹凸性等）,解决一些常见的应用问题； 由微分和函数增量的关系,给出微分在近似运算中的简洁应用；通过不定积分来求几个简洁的一阶微分方程的解；利用微元法思想, 结合定积分的几何意义,求平面区域的面积以及一些特别的空间立体的体积；第一节中值定理一、罗尔定理如fx在闭区间a,b上连续,开区间a,b内可导,且fa
2、 fb ,就至少存在一点a,b,使f0；罗尔定理的几何意义是: 定理的证明略；罗尔定理的三个条件缺一不行,否就结论不真；二、拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特别的条件fafb,仍保留其余两个条件,可得到微分学中非常重要的拉格朗日中值定理：如fx 在闭区间a,b上连续,在开区间a,b内可导,就至少存在一点a,b,使得名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - f f b f a ba该定理的几何意义是：fbfayfxba是弦 AB 的斜率,f为曲线在点 C 处的切线斜率；在曲线上至少有一点 C ,使曲线在 C 点处的切线平行
3、于弦AB ；三、柯西中值定理如函数 f x 、F x 满意下述三个条件：1 f x , F x 在 a , b 连续；2 f x , F x 在 a , b 可导；3 F x 0 , x a , b ；就至少存在一点 a , b , 使得f b f a f F b F a F 柯西中值定理的几何意义也非常明显,考虑由参数方程所表示的曲线名师归纳总结 XFx,xa,b试x为参变量第 2 页,共 29 页Yfx - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - dYfx曲线上点X,Y处的切线斜率为dXFxAB ,fbfa弦 AB 的斜率为FbFa假定点 C 对应于参数x,
4、那未曲线 C 点处切线平行于弦fbfa f于是FbFa F；四、中值定理运用举例例 1试证：当 x0 时, 有不等式1xxtln1xx；证明考虑帮助函数f tln 1t,0x,由拉格朗日中值定理有fxf0 f,01x0xx0ln1x1即x1,11而1x110故xx1ln1x1；1xx0ln1x x,x1其次节罗必达法就名师归纳总结 当xa 或 x 时,两个函数fx与Fx都趋向于零或都趋向于无穷大,第 3 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 那么,极限lim x afx 可能存在,也可能不存在；通常把这种极限叫做不定式 ,并分别简Fxx0
5、型或 型 记为 0；对不定式,不能简洁地用“ 商的极限等于极限商” 这一求极限法就来处理；求不定式极限有一种简便方法 罗必达法就 ,见下述两个重要定理；0 型或 型 一、基本类型的不定式 0罗必达法就 :1 当 xa时（a 可以是）,函数f x及Fx都趋于零（或者都趋于）；2 fx 及Fx在点 a 的某个邻域内 点 a 本身除处 存在,且Fx0 ；3 lim x afx Fx 存在 或无穷大 ,就lim x af x lim x af ；F x F 留意：（1） 此定理用来处理xa 或时的0型或型不定式极限问题；这种通过分0子与分母导数之比的极限来确定不定式极限的方法称之为罗必达法就；（2）
6、假如极限lim x afx仍属于0型或型, 且fx、Fx又满意定理中的Fx 0条件 ,就可以再使用罗必达法就；即lim x af x lim x af lim x af lim x afx 也不存在,只能说明该极F x F F 仍可以连续使用下去；（ 3） 假如lim x afxFx不存在（也不是）,不能断言Fx 限不适合用罗必达法就来求；x2sin x1 x1lim x 0xsin10存在,不存在；反例： 极限lim x 0x而使用罗必达法就lim x 0x2sinlim x 02 xsin1cos1xx2xx例 1求极限1cosx12 lim x 01 lim x 0exxx20名师归纳总
7、结 解这两个例子都是0型不定式第 4 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 原式lim x 0ex0 e11原式lim x 0sinxlim x 0cosxcos0x lim12x222例 2求极限arctanx2 ln 11x lim21x1 xarccotx0解 这两个例子仍旧都是 0 型不定式1x lim 11 x 2x lim1 x 2x 2 x lim 22 xx 12 原式x1 1x lim 1 1x 1 x 2 x lim 1x 2 x 2x x lim2 x 2 x1 12 原式 1 x例 3 求极限1 x lim lnx
8、n x 2 x lim a ln lne xx ae a解 这两个例子都是 型不定式1 原式x limnx xn 1 x limnx 1n 01x a xlim xx a lim ex elim x ex lim 11x a e x a e x a x a e x a e x a x a 1x a 原式e e除 00 和型不定式外,仍有 0 1, , 0, 0, 以及 0等类型的不定式；运算这些类0 型或型的极限,可利用适当变换将它们化为 0 型不定式,再利用罗必达法就,这里不再具体介绍,只举几个例题,有爱好的读者可参阅有关书籍；名师归纳总结 例 4求lim x 0xlnx,1001型11li
9、m x 0x0第 5 页,共 29 页解原式lim x 0lnxlim x 01lim x 0xxxx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 结论可推广到一般lim x 0xlnx 0,（,为正实数）00,例 5求lim x 0cotx1型xsinxcosxx原式lim x 0cosx1lim x 0xcosxsinxlim x 0cosx解sinxxxsinxsinxxcosxlim x 0sinxxsinxxlim x 02sinxxcosx001,xcoscosxxsinx型的不定式,一般是幂指函数的极限,可采纳对数求极限法；例 6求x lim 0xx
10、解设yxx, 取对数lnyxlnxlnx,就1x1lim x 0lnylim x 0x 1lim x 0x20从而有x lim 0yx211例 7求lim x 0cosxsinxx,（1型）解令ycosxsinx 1, 就lnylncosxsinxxxlim x 0lnylim x 0lncosxsinxlim x 0sinxcosx1xcosxsinx故lim x 0yelim x 0lny1 eeln1lnx例 8求lim x 01tgx0型x解令y1tgx就lnytgxxxctgx1sin2xlim x 0ylim x 0lnxlim x 0x2xlim x 0ctgxcscxlim x
11、 0sinxsinx100xlim x 0ylim x 0ln eyexlimlny0 e10试一试 : 求以下极限：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - lim x 0xeexe11；lim x axmam（a0 ,m ,n为常数）；xxxnanlim x 0xtanx；lim x 1lnxln1x；lim x 01e1 1；sinxxxx第三节函数的单调性一、从几何图形上看函数的单调性函数函数yexx1与它的导函数ye x1在-1,1上的图像, 从图形上可以观看到：yexx1在-1,0上是单调削减,在0,1上是单调
12、增加；其导函数yx e1在-1,0上小于零,在 0,1上大于零；函数的单调性是否与导函数的符号有关呢 多的感性熟悉；.为此,我们进一步地作图,期望从中获得更名师归纳总结 yy第 7 页,共 29 页yfxyfxOabxOabxtanfx 0tanfx0曲线是单调递增的曲线是单调递减的函数yfx 在a,b上单调增加 削减 ,就它的图形是一条沿x 轴正向上升 下降 的曲线,曲线上各点处的切线之斜率均为正的 负的 ,即：yfx,0yfx0这说明： 函数的单调性的确与其导数的符号有关,因此, 可以利用导数的符号来判定函- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 数的单调
13、性；二、函数单调性的判别法设函数 f x 在 a , b 上连续,在 a , b 内可导,x 1 和 x 2 是区间（a , b）内的任意两点,且设 x 1 x 2,就f x 2 f x 1 f x 2 x 1 , x 1 x 2 如在 a , b 内 f x 0,就 f 0,从而 f x 1 f x 2 ；即：函数 y f x 在 a , b 上单调增加；如在 a , b 内 f x 0,就 f 0,从而 f x 1 f x 2 ,即：函数 y f x 在 a , b 上单调削减；综上争论,我们有如下结论：函数单调性判别法 设函数 y f x 在 a , b 上连续,在 a , b 内可导,
14、1 如在 a , b 内 f x 0, 就 y f x 在 a , b 上单调增加；2 如在 a , b 内 f x 0, 就 y f x 在 a , b 上单调削减；说明：（1） 判别法中的闭区间如换成其他各种区间（包括无穷区间）（2） 以后把函数单调的区间称之为函数的单调区间；例 1争论函数yexx1 的单调性；,结论仍成立；当x0,时,yx,y当解 函数的定义域为, 且,yex1x,0时,y0, 故函数在 0, 上单调削减；当x0 ,时,y0, 故函数在0上单调增加；当例 2争论函数yx的单调性；解函数的定义域为,x,0时,yx,y10, 故函数在0,上单减；10,故函数在0,上单增；因
15、此,可以通过求函数的一阶导数其符号不确定的点,分区间, 再判定函数一阶导数在这些部分区间上的符号,的单调性；例 3试确定函数y2x8的单调区间；x解函数的定义域是x0的全体实数将函数的定义域分划成如干个部 继而可打算函数在这些部分区间上名师归纳总结 当 x0 时,导函数为y282x2x2 第 8 页,共 29 页x2x2令y0 得： x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 于是,点x20,将函数定义域 x0 分划成四个区间所以函数的单调增加的区间是：,202,；单调增加的区间是：20,2 , 或例 4争论函数yx3的单调性；解 函数的定义域是,它的一阶导
16、数为y3x2,除去x0以外,恒有y0,如此函数在区间0, 以及（0,）上单调增加；故函数在,上是单调增加的；结论一般地,假如fx在某区间上的有限个点处为零,而在其余各点处均为正负 时,那么fx在该区间上仍是单调增加 或单调削减 的；利用函数的单调性可以证明较为复杂的函数不等式；例 5试证明：当 x4 时, 有2xx24,x f4 ,解： 作帮助函数fx2xx2, xfx x 2ln22x,fx 2xln2 222x 23ln4 21f当x4,时,2x32,ln4 21故f x 0,即fx在4 ,上单调增加,从而有而f 2 4ln22 416ln288ln41 0,于是fx0,fx 2xx2在,
17、4上也单调增加；从而有f x f 2 44216160,即2xx2x4 , ；该证明方法非常典型,对于一些较精细的函数不等式的证明可借助此法；第四节函数的极值及最值一、极值的概念名师归纳总结 设函数f x在区间a,b 内有定义, 点x 是a ,b 内的一点； 如存在点x 的一个邻域,第 9 页,共 29 页对于该邻域内任何异于x 的点 x ,不等式f x0 f x f x 0 f x - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 成立,称fx 0是函数f x 的一个极大值 微小值 ；称点x 是函数fx 的极大值点 极小值点 ；函数的极大值与微小值统称为函数的 极值
18、；使函数取得极值的点统称为 极值点 ；关于函数的极值,如下几点是非常重要的；1、函数的极值概念是一个局部概念；fx假如fx 0是函数fx的一个极大值,那只是对fx 的一个局部范畴来说fx 0是的一个最大值；但对于整个函数的定义域来说,x 0就不肯定是最大值了；对于微小值也是类似的；2、微小值有可能较极大值更大；如图：fx 1fx4 f1x是极大值,而f4x是微小值 从图中可看出,在函数取得极值之处,值的点处,其导数值为零；曲线具有水平的切线；换句话说：函数在取得极二、函数取得极值的几个重要定理可导函数取得极值的必要条件 设函数 f x 在点 x 处具有导数, 且在 x 处取得极值,就 f x
19、0 0；使导数为零的点 即方程 f x 0 的实根 称为函数f x 的驻点 ；必要条件可换成下面等价的说法：可导函数的极值点必定是为驻点；反过来, 函数的驻点 不肯定 就是函数的极值点 , 它最多只是 可能的极值点 , 另外极值点也不肯定是驻点 , 可导是必要的；名师归纳总结 反例 1 yfx3 x,fx 3 x2 , 第 10 页,共 29 页f00, 即x0是函数的驻点 , 但是从几何上可以看出 , 函数在x0处取不到极值 . 反例 2yfx x, 从几何图形上 右图 可以看出 , 在x0处取到微小值 , 但是x0不是驻点 , 由于f0不存在 . 由此可以看出, 极值点是驻点, 或者是导数
20、不存在的- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点, 我们把这两种点称为极值可疑点 . 如何把极值可疑点确定为极值点, 主要是依据下面的充分条件来确定 . 函数取得极值的第一充分条件 设函数 f x 在点 x 的某个邻域内可导 x 点可以例外 ,且 f x 0 0 或者 f 0x 不存在 . 1 当 x取 x 左侧的值时,f x 0；当 x取 0x右侧的值时,f x 0 恒为负,那么,f x 在 x 处取得极大值；2 当 x 取 x 左侧的值时,f x 0；当 x 取 0x右侧的值时,f x 0 恒为正,那么,f x 在 x 处取得微小值；3 当 x 取 x
21、 左右两侧的值时,f x 恒正或恒负,那么,f x 在 x 处没有极值；依据第一充分条件 , 几乎可以求出任意函数的极值 . 例 1 求函数 f x x 3 3 x 2 9 x 5 的极值；解 函数的定义域为 , ,且2f x 3 x 6 x 9 3 x 1 x 3 , 令 f x 0,得到函数的极值可疑点 驻点 ：x 1 3,；列表故,x 1 是函数的极大值点,且有极大值：f 1 10；x3是函数的微小值点,且有微小值：f3 22；2例 2争论函数y1x2 3的极值 . 2名师归纳总结 例 3求函数y2 x5 x3的极值 . 第 11 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料
22、- - - - - - - - - 解函数的定义域是, 并且可见 , 在x1y 2x55x210x210x110 x1 333333x33x , 时,y=0, 在x0时 , y不存在 , 所以,01 是极值可疑点 . 列表xx00是函数的极大值点, 且有极大值 :y0, 由此可见 , x1是函数的微小值点, 且有微小值 :yx13；对于某些特别的函数,仍有以下一种更为简洁的判别方法；函数取得极值的其次充分条件 设函数 f x 在点 0x处具有二阶导数,且 f x 0 0、f 0x 0,就1 当 f x 0 0 时,函数 f x 在 x 处取得极大值；2 当 f x 0 0 时, 函数 f x
23、在 x 处取得微小值；留意 对于二阶可导的函数 f x ,它在驻点 x 的二阶导数 f x 0 的符号可判定函数值f x 0 为何种极值；假如 f x 0 f x 0 0,就其次充分条件失效；2 3例 4 求函数 f x x 1 1 的极值；2 2 2 2解 f x 6 x x 1 6 x x 1 x 1 ,令 f x 0, 得驻点 x ,1 0 1,f x 6 x 2 1 2 6 x 2 x 2 1 2 x 6 x 2 1 5 x 2 1 ,f 0 6 0, 函数有微小值 f 0 0而 f 1 0, 用其次充分条件无法进行判定,考察函数的一阶导数在 x 1的左右两侧邻近值的符号；当 x 取
24、1的左右侧邻近的值时,f x 0；当 x 取 1 的左右侧邻近的值时,f x 0 ；故函数在 x 1处没有极值；三、闭区间上连续函数的最值名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 综上争论,函数取得最值的点只能是区间的端点或开区间内导数为零、导数不存在的点；运算函数在这些点处的函数值,比较它们的大小就可得到函数的最值；例 5 求函数fx 2x33x2在-2,2上的最值；1解由于fx 22x3, 令fx 0, 得驻点x2 1, 又x0时 ,fx不存在；而f23344 ,f1 ,1f0 0 ,f4334；f2 433 4,
25、最小值是f00；比较可知：最大值是四、最值应用问题利用求函数的最值来处理实际问题,有如下几个步骤：1 据实际问题列出函数表达式及它的定义区间；2 求出该函数在定义区间上的可能极值点 驻点和一阶导数不存在的点 ；3 争论函数的单调性,确定函数在可能极值点处是否取得最值；例 6 试求单位球的内接圆锥体体积最大者的高,并求此体积的最大值；1,圆锥面底面半解： 设球心到锥底面的垂线长为x ,就圆锥的高为1x0x名师归纳总结 径为13x2,圆锥体积为0,1x22 1xx1第 13 页,共 29 页x1v3由v 131x21x01得驻点xx 13x 3, - - - - - - -精选学习资料 - - -
26、 - - - - - - 在0x1上, v0,函数单增；在1x1上, v0,函数单减,33故x1是函数的最大值点,v1是函数v x 的最大值；x35x2170x；单位产品的33于是最大的体积为v132,此时的高为4；3313例 7 某产品生产x单位时的总成本是Cx300112价格是 134 元,求使利润最大的产量；名师归纳总结 解生产x单位时,总收入R x134x ,利润为,第 14 页,共 29 页LxRxCx134x3001x35x2170x121x35x236x30012Lx1x210x361x36x4 44令Lx0,得x 1,4x 236；又L x 110,2L480 ,及L4269.
27、7是微小值；L368,0及L36996是极大值；由于只有x0时,Lx才有意义,并且产量在4 到 36 时4x36,Lx0即利润在增加,而产量超过36 时,L x0,利润又在削减；所以生产36 单位产品时,利润最大,并且最大利润是996 元；例 8 证明：当x0时,ln1x1xx；证设函数fx1xxln1x,就在x0上,fx是连续的,并且在xf 0 时,x 1x2 1x1x11x1x1 201x 2 1x 1x所以fx 在x0时,是单调递增的,因而x0时,fxf0 ,而f00故fx01xxln1x0即ln1x 1xx例 9当x0时,证明xexln1x 证设fx xexln 1x ,- - - -
28、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fxexxex11x0 得唯独驻点x0,及xfxexexxex 112fexx02 112xx又f0 f21100是函数的最小值,说明x0是函数惟一的微小值点,因此xxexln 1x f 0 00时所以xexln 1x 试一试求以下函数的单调区间和极值：yx1 x31yx2x3x26x218x7yx2xy2e3第五节曲线的凹凸与拐点一、凹凸的概念争论了函数的单调性、极性,对于函数的性态有了更进一步的明白；为了描画出函数的图像的主要特点,仅凭此两点仍是不够的；引例作函数yx2与yx在 0,1 上的图像；曲线的凹凸的特性可由下面的几何图形所反映出的事实看出：名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 29 页精选学习资料 - - -