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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一2022 中考数学复习 隐形圆问题大全定点 +定长1. 依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆；2. 应用：（ 1）如图,四边形 ABCD中, AB=AC=AD=2,BC=1,AB CD,求 BD的长；简析：因 AB=AC=AD=2,知 B、C、D 在以 A 为圆 2 为半径的圆上,由 AB CD得 DE=BC=1,易求 BD= 15 ；（ 2）如图,在矩形 ABCD中, AB=4, AD=6,E 是 AB边的中点, F 是线段 BC名师归纳总结 边上的动点,将EBF沿 EF所在直线折叠得到EBF,连接 BD,就 B
2、第 1 页,共 13 页D的最小值是. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 简析： E 为定点, EB 为定长, B 点路径为以作穿心线DE得最小值为2 10 ；E 为圆心 EB 为半径的圆,（ 3） ABC中, AB=4,AC=2,以 BC为边在 ABC外作正方形 BCDE,BD、CE交于点 O,就线段 AO的最大值为 . 简析：先确定 A、B 点的位置,因 AC=2,所以 C 点在以 A 为圆心, 2 为半径名师归纳总结 的圆上；因点O是点 C 以点 B 为中心顺时针旋转45 度并 1：2 缩小 而得,第 2 页,共 13 页所以把圆A 旋转 45
3、度再 1：2 缩小 即得 O点路径；如下图,转化为求定点A 到定圆 F 的最长路径,即AF+FO=3 2 ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二 定线 +定角 1. 依据：与一条定线的两端夹角肯定的动点路径是以定线为弦,定角为圆 周角的弧；2. 应用：（ 1）矩形 ABCD中, AB=10,AD=4,点 P 是 CD上的动点,当APB=90 时 求 DP的长 . 简析： AB 为定线, APB为定角（ 90 ）, P 点路径为以 AB为弦（直径）的弧,如下图,易得DP为 2 或 8；ABC的两个顶点A、B 分别在 OX、（ 2）如图, XOY = 45
4、 ,等边三角形名师归纳总结 OY上移动, AB = 2 ,那么 OC的最大值为. 第 3 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 简析： AB 为定线, XOY为定角, O点路径为以AB为弦所含圆周角为45的弧,如下图, 转化为求定点 C 到定圆 M的最长路径, 即 CM+MO=3 +1+ 2 ；（ 3）已知 A（2,0）, B（ 4,0）是 x 轴上的两点,点 C 是 y 轴上的动点,当 ACB最大时,就点C 的坐标为 _AMB最大,当圆M简析：作ABC的处接圆M,当 ACB 最大时,圆心角名师归纳总结 半径最小时AMB最大,即当圆M与 y
5、 轴相切时 ACB最大；第 4 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如下图,易得C 点坐标为（ 0,22 ）或（ 0,-22 ）；（ 4）如图 , 在平面直角坐标系中, 抛物线 y=ax2-3ax-4a的图象经过点C0, 2, 交轴于点 A、 B, A 点在点左侧 , 顶点为 D. 求抛物线的解析式及点 A、B 的坐标 ; 将 ABC沿直线 BC对折 , 点 A 的对称点为 A, 试求 A 的坐标 ; 抛物线的对称轴上是否存在点 标 ; 如不存在 , 请说明理由 . P, 使 BPC= BAC？如存在 , 求出点 P 的坐简析：定线 BC
6、对定角 BPC= BAC,就 P 点在以 BC为弦的双弧上（关于BC对称）,如下图所示；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三 三点定圆1. 依据：不在同始终线上的三点确定一个圆；2. 应用： ABC中, A 45 , ADBC于 D, BD=4,CD=6,求 AD的长；简析：作ABC的外接圆,如下图,易得AD=7+5=12；四 四点共圆1. 依据：对角互补的四边形四个顶点共圆（或一边所对两个角相等）；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2
7、. 应用：如图,在矩形 ABCD中, AB=6,AD=8,P、E 分别是线段 AC、BC上的点,四边形 PEFD为矩形,如 AP=2,求 CF的长；简析：因 PEF= PDF= DCE=90 ,知D、 F、C、E、P 共圆,如下图,由 1=2、 4= 5,易得 APD DCF,CF： AP CD： AD,得 CF1.5 ；五 旋转生圆1. 如图,圆 O的半径为5,A、B 是圆上任意两点,且AB=6,以为 AB边作正方形 ABCD（点 D、P 在直线两侧）,如AB边绕点 P 旋转一周,就CD边扫过的面积为 _ ；简析： CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定,一是最远点距离为 PC,二是最近点距离
8、为P 到直线 CD的垂线段, 从而确定两个圆,CD即为两圆之间的圆环,如下图；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 如图,在ABC中, BAC=90 , AB=5cm,AC=2cm,将ABC绕顶点 C 按顺时针方向旋转至ABC 的位置,就线段AB扫过区域的面积为_；简析：扫过的阴影部分旋转拼合成如下圆心角为45 度的扇环；六 动圆综合1. 动圆 +定弦：依据直径是圆中最长的弦,知此弦为直径时,圆最小；如图 , ABC 中, ABC90 , AB 6, BC 8, O为 AC 的中点 , 过 O 作名师归纳总结 O
9、EOF, OE、OF分别交射线AB、BC于 E、F, 就 EF的最小值为. 第 8 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 简析：图中明显O、E、F、B 共圆,圆是动的,但弦BO 5,当 BO为直径时最小,所以 EF最小为 5. 2. 动圆 +定线：相切时为临界值；如图 , Rt ABC中 , C 90 , ABC30 , AB 6, 点 D 在 AB边上 , 点E 是 BC 边上一点 不与点 B、C 重合 , 且 DADE, 就 AD 的取值范畴是；简析：因 DA=DE,可以 D点为圆心以 DA为半径作圆,就圆 D 与 BC相切时,半径 D
10、E最小； E 向 B 点移动半径增大直至D 到 B 处（不含B 点）,得2AD3；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 动弦 +定角：圆中动弦所对的角肯定,就当圆的直径最小时此弦长最小；已知：ABC中, B=45 , C=60 , D、E 分别为 AB、AC边上的一个动 点,过 D 分别作 DF AC于 F, DGBC 于 G,过 E 作 EH AB于 H, EI BC 于 I ,连 FG、 HI ,求证： FG与 HI 的最小值相等；简析：可以看HI 何时最小,因B、H、E、I 共圆,且弦HI 所对圆周角肯定,
11、所以当此圆直径最小时弦 HI 最小,即当 BE最小时,此时 BEAC,解 OHI 可得 HI 的最小长度；同样可求 FG的最小长度；此题可归纳一般结论：当ABC= , ACB= , BC=m时, FG 和 HI 的最小值均为 m*sin *sin ；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 达 标 测 试 ：1.BCAC 6, BCA 90 , BDC 45 , AD 2,求 BD. 2. 如图, 将线段 AB绕点 A 逆时针旋转60 得到线段AC,连续旋转（ 0 120 ）得到线段 AD,连接 CD,BD,就 BDC的
12、度数为 . 3. 如图,在边长为 2 3 的等边ABC中,动点 D、 E 分别在 BC、 AC边上,且保持 AE=CD,连接 BE、 AD,相交于点P,就 CP的最小值为 _. 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 如图, E 是正方形ABCD的边 AB上的一点,过点E 作 DE的垂线交 ABC的外角平分线于点 F,求证： FEDE. 5. 当你站在博物馆的展厅中时,你知道站在何观看最抱负吗？如图,设墙名师归纳总结 壁上的展品最高点P 距离地面2.5 米,最低点Q距地面 2 米,观看者的眼E第 12 页,共 13 页睛 E 距地面 1.6 米,当视角 PEQ最大时,站在此处观看最抱负,就此时到墙壁的距离为米. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 如图直线y=x+2 分别与 x 轴, y 轴交于点M、 N,边长为1 的正方形OABC名师归纳总结 的一个顶点O在坐标系原点,直线AN与 MC交于点 P,如正方形OABC绕点第 13 页,共 13 页O旋转一周,就点P 到点（ 0, 1 ）长度的最小值是_. - - - - - - -