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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载多元线性回来方程的建立建立多元线性回来方程, 实际上是对多元线性模型 （ 2-2-4 ）进行估量,寻求估量式（ 2-2-3 ）的过程；与一元线性回来分析相同,其基本思想是依据最小二乘原理,求解使全部观测值与回来值的残差平方和达到最小值；由于残差平方和（2-2-5 ）是 的非负二次式,所以它的最小值肯定存在；依据极值原理,当 Q取得极值时,应满意由（ 2-2-5 ）式,即满意（2-2-6 ）名师归纳总结 2-2-6）式称为 正规方程组 ；它可以化为以下形式第 1 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - -
2、 - - - - - - 精品资料 欢迎下载（2-2-7 ）假如用 A表示上述方程组的系数矩阵可以看出 A是对称矩阵；就有（2-2-8 ）式中 X 是多元线性回来模型中数据的结构矩阵,是结构矩阵 X的转置矩阵；2-2-7 式右端常数项也可用矩阵 D来表示即名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 因此 2-2-7精品资料欢迎下载式可写成Ab=D （2-2-10 ）或（2-2-11 ）假如 A满秩（即 A的行列式）那么 A的逆矩阵 A-1 存在,就由2-10 式和 2-11 式得 的最小二乘估量为（2-2-12 ）也就是多元
3、线性回来方程的回来系数；为了运算便利往往并不先求 方程组 2-2-7 来求 b；2-2-7它的第一个方程可化为式中,再求 b,而是通过解线性 是一个有 p+1 个未知量的线性方程组,（2-2-13 ）（2-2-14 ）将（ 2-2-13 ）式代入（ 2-2-7 ）式中的其余各方程,得名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载（2-2-15 ）其中（2-2-16 ）将方程组（ 2-2-15 ）式用矩阵表示,就有Lb=F （2-2-17 ）其中于是b=L-1F （2-2-18 ）因此求解多元线性回来方程的系数
4、可由（2-2-16 ）式先求出 L,然后将其代回（ 2-2-17 ）式中求解；求 b 时,可用克莱姆法就求解,也可通过高斯变换求解；假如把b 直接代入（ 2-2-18 ）式,由于要先求出L的逆矩阵,因而相对复杂一些；名师归纳总结 例 2-2-1 表 2-2-1 为某地区土壤内含植物可给态磷y 与土壤内所第 4 页,共 12 页含无机磷浓度 x 1 、土壤内溶于 K2CO 3 溶液并受溴化物水解的有机磷浓度x 2 以及土壤内溶于 K2CO3溶液但不溶于溴化物的有机磷x 3 的观看数据；求 y 对 x 1,x 2,x3的线性回来方程；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -
5、- - - 精品资料 欢迎下载表 2-2-1 土壤含磷情形观看数据运算如下：由 2-2-16 式名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载代入 2-2-15 式得（2-2-19 ）如用克莱姆法就解上述方程组,就其解为（2-2-20 ）其中名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载运算得b1=1.7848,b2=-0.0834 ,b3=0.1611 回来方程为应用克莱姆法就求解线性方程组运算量偏大,下面介绍更有用的方法
6、高斯消去法和消去变换；多项式回来标签： c2022-07-04 14:52 6443 人阅读 评论 0 保藏 举报在上一节所介绍的非线性回来分析,第一要求我们对回来方程的函数模型做出判定； 虽然在一些特定的情形下我们可以比较简单地做到这一点 ,但是在很多实际问题上经常会令我们不知所措；依据高等数学学问我们知道,任何曲线可以近似地用多项式表示,所以在这种情形下我们可以 用多项式进行靠近,即多项式回来分析；一、多项式回来方法假设变量 y 与 x 的关系为 p 次多项式,且在xi 处对 y 的随机误差i=1,2, ,n 听从正态分布 N0, ,就令名师归纳总结 xi1 =xi , xi2 =xi2,
7、 , xip=xip第 7 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载就上述非线性的多项式模型就转化为多元线性模型,即这样我们就可以用前面介绍的多元线性回来分析的方法来解决上述问题了；其系数矩阵、结构矩阵、常数项矩阵分别为2-4-11 2-4-12 2-4-13 回来方程系数的最小二乘估量为2-4-14 需要说明的是, 在多项式回来分析中, 检验 bj 是否显著, 实质上就是判断 x 的 j 次项 x j 对 y 是否有显著影响；对于多元多项式回来问题, 也可以化为多元线性回来问题来解决；例如,对于名师归纳总结 - - - -
8、 - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2-4令 xi1 =Zi1 , xi2=Zi2, xi3 =Zi12, x-15 i5 =Zi22i4 =Zi1 Zi2, x就2-4-15 式转化为转化后就可以依据多元线性回来分析的方法解决了；下面我们通过一个实例来进一步说明多项式回来分析方法；一、应用举例例 2-4-2 某种合金中的主要成分为元素 A 和 B,试验发觉这两种元素之和与合金膨胀系数之间有肯定的数量关系,试依据表 2-4-3给出的试验数据找出y 与 x 之间的回来关系；表 2-4-3 例 2-4-2 试验数据第一画出散点图（
9、图2-4-3 ）；从散点图可以看出,y 与 x 的关系可以用一个二次多项式来描述：i=1,2,3 ,13 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载图 2-4-3 例 2-4-2 的散点图 令 xi1=xi ,xi2 =xi 2, 就现在我们就可以用本篇其次章介绍的方法求出的最小二乘估量；由表由（2-2-16 ）式2-4-3 给出的数据,求出名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载由此可列出二元线性方程组将这个方
10、程组写成矩阵形式,并通过初等变换求b1,b 2 和系数矩阵 L 的逆矩阵 L-1 :于是b1=-13.3854 b 2=0.16598 b 0=2.3323+13.385440-0.165981603.5=271.599 因此下面对回来方程作显著性检验：由（2-2-43 ）式名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载S 回=由（2-2-42 ）式S 总=S 残=Lyy- S 回=0.2572 将上述结果代入表2-2-2 中制成方差分析表如下：表 2-4-4 方差分析表查 F 检验表, F0；01（2,10）=7.56, FF 0.01 2 ,10,说明回来 方程是高度显著的；下面对回来系数作显著性检验 由前面的运算结果可知： b 1=-13.3854 b2=0.16598 -3 10 c 11=51.125 c22=7.9916由（2-2-54 ）式由（2-2-53 ）式检验结果说明的x 一次及二次项对y 都有显著影响名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页