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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 反比例函数26.1 学问点 1 反比例函数的定义一般地,形如 y k（k 为常数,k 0）的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来懂得：x x 是自变量, y 是 x 的反比例函数；自变量 x 的取值范畴是 x 0 的一切实数,函数值的取值范畴是 y 0；比例系数 k 0 是反比例函数定义的一个重要组成部分；反比例函数有三种表达式：（kyk（k0）,y 是 x 的反比例函数时,x 也是 y 的反比例函数；xykx1（k0）,xyk（定值）（k0）；函数yk（k0）与xk（k0）是等价的,所以当xy（k 为常数,k0）是反比例函数的一部分,当
2、k=0 时,yk,就不是反比例函数了,由于反比例函数ykxx0）中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式；26.2 学问点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数yk（k0）中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确x定反比例函数的表达式；26.3 学问点 3 反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或其次、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量x0,函数值y0,所以它的图像与x 轴、 y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接
3、近坐标轴,但永久达不到坐标轴；反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线；再作反比例函数的图像时应留意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取；列表时选取的数值越多,画的图像越精确；连线时,必需依据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接,切忌画成折线；画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交；（1）图象的外形：双曲线越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直（2）图象的位置和性质：越小,图象的弯曲度越大与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线当时,图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内,y 随 x 的增大而减小；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共
4、 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当时,图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内,y 随 x 的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称,即如（a,b）在双曲线的一支上,就（,）在双曲线的另一支上图象关于直线对称,即如（ a,b）在双曲线的一支上,就（,）和（,）在双曲线的另一支上4 k 的几何意义积是如图 1,设点 P（ a,b）是双曲线上任意一点,作PAx 轴于 A 点, PBy 轴于 B 点,就矩形PBOA 的面（三角形PAO 和三角形 PBO 的面积都是）如图 2,由双曲线的对称性可知,P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上,作QCPA 的延长线于C,就有三角形
5、1 PQC 的面积为图图 2 5说明：（ 1 ） 双 曲 线 的 两 个 分 支 是 断 开 的 , 研 究 反 比 例 函 数 的 增 减 性 时 , 要 将 两 个分支分别争论,不能一概而论（2）直线与双曲线的关系：时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称当时,两图象没有交点； 当（3）反比例函数与一次函数的联系26.4 学问点 4 反比例函数的性质关于反比例函数的性质,主要争论它的图像的位置及函数值的增减情形,如下表：反比例yk（k0）函数x2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - k 的k0k0符号
6、图像 x 的 取 值 范 围 是 x 的 取 值 范 围 是性质x0,y 的取值范畴是x0,y 的取值范畴是y0y0当k0时,函数图像当k0时,函数图像的 两 个 分 支 分 别 在 第的 两 个 分 支 分 别 在 第一、第三象限,在每个二、第四象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而象限内,y 随 x 的增大而留意：描述函数值的增减情形时,必需指出“减小；增大；k0时, y 随 x 的增大而减小在每个象限内 ” 否就,笼统地说,当“ ,就会与事实不符的冲突；反比例函数图像的位置和函数的增减性,是有反比例函数系数k 的符号打算的,反过来,由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性,也可以
7、推断出k 的符号；如yk在第一、第三象限,就可知k0；yk越靠近坐标原x反比例函数yk（k0）中比例系数k 的肯定值 k 的几何意义；x如下列图,过双曲线上任一点P（x,y）分别作 x 轴、 y 轴的垂线, E、F 分别为垂足,就kxyxyPFPES 矩形OEPF反比例函数yk（k0）中, k 越大,双曲线yk越远离坐标原点；k 越小,双曲线xxx点；双曲线是中心对称图形,对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形,对称轴是直线y=x 和直线 y= x；练习一、挑选题 （每道题 3 分,共 30 分）1、以下函数中y 是 x 的反比例函数的是（）；A y1B xy=8 C yx25D y35x2
8、x2、反比例函数 ynx5 图象经过点（ 2,3）,就 n 的值是（）A、 2B、1C、0D、1 3、函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4、如点 Ax1,1 、Bx 2,2 、Cx3, 3 在双曲线上,就（）A、x1x2x3 B、x1x3x2 C、x3x2x1 D、x3x1x2）yB A 5、如图 4,A、C是函数 y=的图象上任意两点,过点A 作 y 轴的垂线,O 垂足为 B,过点 C作 y 轴的垂线,垂足为 D,记 Rt AOB的面积为 S1,C D x Rt COD
9、的面积为 S2,就（）A、S1S2； B 、S1S2； C、S1 =S 2； D 、S1和 S2 的大小关系不能确定图 4 6、在反比例函数y1xk的图象的每一条曲线上,y 都随的增大而增大,就 k 的值可以是（A1B0 C1 D2 7、如图 2,正比例函数 y=x 与反比例 y= 就四边形 ABCD 的面积为（）的图象相交于 A、C 两点, ABx 轴于 B,CDx 轴于 D,A、1 B、C、2 D、8、已知反比例函数 y1 2 m 的图象上有 A（x1,y1）、B（x2,y2）两点,当 x1x20 时,y1 y2,就xm 的取值范畴是（）A、m0 B、m0 C、m1 D、m12 29、一次
10、函数 ykxk,y 随 x 的增大而减小,那么反比例函数 yk 满意（）xA、当 x0 时,y0 B、在每个象限内, y 随 x 的增大而减小C、图象分布在第一、三象限 D、图象分布在其次、四象限10、如反比例函数 y-4 的图象经过点（ a,-a ）,就 a 的值为（）xA、2； B、 2； C、-2 ； D、 4 二、填空题 （每道题 4 分,共 40 分）11 、已知正比例函数y=k1x k1 0 与反比例函数y=k2 k2 0 的图象有一个交点的坐标为-2 ,-1 ,就x它的另一个交点的坐标是4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - -
11、 - - - - - 12、函数ya2 xa22是反比例函数,就 a 的值是k13、正比例函数 y 5 x 的图象与反比例函数 y k 0 的图象相交于点 A（1, a ）,x就 k14、反比例函数 y（ m2）x m 2 10的图象分布在其次、四象限内,就 m 的值为15、在反比例函数 y k 1的图象上有两点 x 1,y 1 和 x 2,y 2 ,如 x 1 0 x 2 时, y 1 y 2,x就 k 的取值范畴是16、如图,点 M 是反比例函数 ya （a 0）的图象上一点,过 M 点作 x 轴、y 轴的平行线,如 S 阴影x5,就此反比例函数解析式为17、如图,点 A、 B 是双曲线
12、y 3x 上的点, 分别经过 A 、 B 两点向 x y 轴、 y 轴作垂线段,如 S阴影 1,就 S 1 S 2A 1 S 1 B 18、点 P 在反比例函数 y xx 0的图象上,且横坐标为 2. 如将 S 2 点 P 先向右平移两个单位,再向上平移一个单位后所得的像为点 P . 就在第一 O 17 题图 x 象限内,经过点 P 的反比例函数图象的解析式是 _19. 如图,直线 y kxk0与双曲线 y 4 交于 A（x1,y1）,xB（x2,y2）两点,就 2x1y27x2y1_20、如图 5,A、B 是函数 y 2 的图象上关于原点对称的任意两点,xBCx 轴, ACy 轴,就 ABC
13、 的面积 S =_ yA O C xB 图 5 三、解答题 （共 50 分）21、（8 分）已知yy1y2如1y 与2 x 成正比例关系,y 与 x 成反比例关系,且当 X=-1 时,3由1 时, 5 时,求与的函数关系式？5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 22、（10 分）如下列图：已知直线1x与双曲线kk0交于两点,且点的横坐标为4 2x求的值 如双曲线kk0上的一点 C的纵坐标为 8,求 AOC的面积xy A O x B 23、（8 分）在反比例函数yk的图像的每一条曲线上,y 都随 x的增大而减小在曲线上
14、取一点A,x分别向 x 轴、 y 轴作垂线段,垂足分别为B、C,坐标原点为 O,如四边形 ABOC 面积为 6,求 k 的值24、（24 分）如图,已知反比例函数 yk 的图象与一次函x数 yaxb 的图象交于 M（2,m）和 N（ 1,4）两点（1）求这两个函数的解析式；（2）求 MON 的面积；（3）请判定点 P（4,1）是否在这个反比例函数的图象上,并说明理由（4）依据图象写出访反比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范畴6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 参考答案1、B 2、D 3、B 4、C 5、C 6、D 7、C 8、D 9、D 10、B 11、2,1 x-1 或 0 x 2 12、-1 , 13、-5 14、-3 , 15、K-1 16、y=5 , x17、4 18、y=6, 19、4 x20、4 , 21、y=-x2- 4x22、k=8, AOC的面积 =1523、k=6, 24、1 y=4 , xy=2x-2 2 =3, 3在,4、7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页