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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例.1 08 天津卷（ 15）已知圆 C 的圆心与点P 2,1关于直线yx1对B两点,且称直线3x4y110与圆 C 相交于A,第 1 页,共 25 页AB6,求圆 C的方程为；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载b1a121,解：设圆心为 C（a,b ）,半径为 r ,就有a b2 122解得 C（0,1）,于是圆心 C到直线3x4y110的距离为 d=3,所以有r2d2|AB|323218,y2 118；2x2故所求的圆 C的方程为第 2 页,共 25
2、页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 2x y例 208 四川卷（ 21）设椭圆 a 2b 2 1, a b 0 的左右焦点分别为 F F ,离心率 e2 2,右准线为 l ,M N 是 l 上的两个动点,F M F N 0；（）如 F M F N 2 5,求 a b的值；（）证明：当 MN 取最小值y M时,FM F N 与 F F 共线；lF1 o F2 xN名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解】：由a2b2c 与ea2学习必备a2欢
3、迎下载,得22 bc2F 12a, ,0F 22a, , l的方程为x2 a, 2,b222y y232 a 0设M2a,y 1,N2a,y 2就F M3 2a,y 1,F N2a, ,由FMF N 得222（）由F MF N2 5,得3 2a22 y 12 5,2a2y222 522由、三式,消去y 1,y,并求得a ,故a22（）MN2y 1y222 y 1y 222y y22y y22y y24y y26 a2第 4 页,共 25 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当且仅当 y 1 y 22 6 a或 y 2 y
4、 12 6 a时, MN 取最小值 2 6 a, 此时,F M F N 3 22 a,y 12 2a,y 2 2 2 , a y 1 y 2 2 2 ,0 2 F F 2 , 故 FM F N与 F F 共线；【点评】：此题重点考察椭圆中的基本量的关系,进而求椭圆待定常数,考察向量的综合应用；【突破】：熟识椭圆各基本量间的关系,数形结合,娴熟地进行向量的坐标yx mx运算,设而不求消元的思想在圆锥曲线问ON题中的敏捷应用；APMB例 4（08 江西卷 21）设 点P x0,y0在 直 线名师归纳总结 第 5 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -
5、 - 学习必备 欢迎下载x m y m ,0 m 上,过点 P作双曲线 x 2 y 的两条切线 PA、 ,切点为A 、 B,定点 M m.（1）求证：三点 A、M、 共线；（2）过点 A作直线 x y 的垂线,垂足为 N,试求 AMN的重心G所在曲线方程 . 证明：（1）设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y ,由已知得到 y y ,且 x 1 2 y ,x 2 2 y ,设 切 线 PA 的 方 程 为 ：y y 1 k x x 由 yx y2 1y k x21 x 1 , 得2 2 21 k x 2 k y 1 kx 1 x y 1 kx 1 1 0从而 4 k 2 y 1 k
6、x 1 241 k 2 y 1 kx 1 241 k 2 0 ,解得 k y,因此PA的方程为：y y x x ,同理 PB的方程为：y y x x 1又 P m y 在 PA、 上,所以 y y 0 mx ,y y 0 mx ,即点 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 都在直名师归纳总结 第 6 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载线y ymx 上,又Mm也在直线y ymx 上,所以三点A、M、 共线；（2）垂线AN的方程为：yy 1xx,由yy 1yxx 1得垂足Nx 12y 1,x 12y 1,x0设重心
7、G x y ,所以x1x 11x 12y 1解得x 19x3y3,m43my1 3y 10x 12y 1y 19y3 x1m4由2 x 12 y 11可得3x3y13x3y12即x12y22为重心G所在曲线方mm3m9程；例 5（08 山东卷 22 本小题满分 14 分 如图,设抛物线方程为 x2=2pyp0,M 为 直线 y=2p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线,切点分名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载别为 A,B. （）求证： A,M,B 差数列；（）已知当 M 点的坐三点的横坐标成等 标
8、为（ 2,-2p）时,AB 4 10,求此时抛物线的方程；（）是否存在点 M,使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 x 22 py p 上,其中,点 C 满意 OC OA OB（O为坐标原点） .如存在,求出全部适合题意的点 M的坐标；如不存在,请说明理由 . （）证明：由题意设 A x 1 ,2 x 1p , B x 2 ,2 x 2p , x 1x 2 , M x 0 , 2 p . 由 x 22 py得 y2 x p,就 y xp , 2 2名师归纳总结 第 8 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载所
9、以 k MA xp 1 , k MB x p因此直线 MA 的方程为 y 2 p xp 1 x x 0 , 直线 MB的方程为 y 2 p xp 2 x x 0 . 所以 2 x 1p 2 p xp 1 x 1 x 0 , , 2 x 2p 2 p xp 2 x 2 x 0 . 2 2由、得 x 12 x 2x 1 x 2 x 0, 因此 x 0 x 12 x 2,即 2 x 0 x 1 x 所以 A、M、B 三点的横坐标成等差数列 . （）解：由（）知,当 x0=2 时,将其代入、并整理得：x 1 24 x 1 4 p 20, x 2 24 x 2 4 p 20, 所以 x1、x2 是方程
10、x 24 x 4 p 的两根,2 2因此 x 1 x 2 4, x x 2 4 p 又 k AB 2x p2 2x 1 p x 12 p x 2 x p所以 k AB 2 .p x 2 x 1由弦长公式得 AB 1 k 2 x 1 x 2 2 4 x x 1 2 1p 42 16 16 p 2 .名师归纳总结 第 9 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载又 AB 4 10,所以 p=1 或 p=2,因 此 所 求 抛 物线方程为 x 22 y或 x 24 .（）解：设 Dx3,y3,由题意得 Cx1+ x2, y1+ y
11、2, 就CD 的中点坐标为 Q x 1 x2 2 x 3 , y 1 y2 2 y 3 ,设直线 AB 的方程为 y y 1 xp 0 x x 1 , 由点 Q 在直线 AB 上,并留意到点 x 12 x 2, y 12 y 也在直线 AB 上,代入得 y 3 x p如 D（x3,y3）在抛物线上,就 x 3 22 py 3 2 x x 3 , 因此 x3=0或 x3=2x0. 即 D0,0或 D 2 x 0 , 2 xp 0 .2（1）当 x0=0 时,就 x 1 x 2 2 x ,此时,点 M0,-2p适合名师归纳总结 第 10 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 -
12、- - - - - - - - 学习必备 欢迎下载题意. 2 2x 1 x 2（2）当 x ,对于 D0,0,此时 C 2 x 0 , x 1 22 p x 2 2, k CD2 2x p0 x4 1 2px x0 2 2, 又k AB x pABCD,所以 k AB k CD xp 0 x 14 px x0 2 x 14 p 2 x 2 1, 即 x 1 2x 2 24 p 冲突. 2 2 2 2对于 D 2 x 0 , 2 p由于 C 2 x 0 , x 12 p此时直线 CD 平行于 y轴,又 k AB xp 00, 2所以 直线 AB 与直线 CD 不垂直,与题设冲突,所以 x 时,不
13、存在符合题意的 M 点. 综上所述,仅存在一点 M0,-2p适合题意 . 名师归纳总结 第 11 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载O为圆心, |AB| 4例 608 湖北卷（ 19）如图,在以点为直径的半圆ADB中, ODAB, P是半圆弧上一点,POB30,曲线C是满意|MA|MB 为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P. （）建立适当的平面 线C的方程；直角坐标系,求曲（）设过点 D的直线 l 与曲线 C相交于不同的两点 E、F.如OEF的面积不小于2 2,求直线 l斜率的取值范畴 . 名师归纳总结 第 12 页,共
14、 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（）解法 1：以 O 为原点, AB、OD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴,建立平面直角坐标系,就21 2A（-2,0）,B（2,0）,D0,2,P（3 ）,依题意得（23）1 222MA - MB =PA-PB 23 AB 4. 曲线 C 是以原点为中心, A、B 为焦点的双曲线 .设实平轴长为 a,虚半轴长为 b,半焦距为 c,就 c2,2a2 2,a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.曲线 C 的方程为x2y21 . 2 2解法 2：同解法 1 建立平面直角坐标系,就依题意可得 M
15、A -MB =PA-PB AB名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4. 曲线 C 是以原点为中心, A、B 为焦点的双曲线 .设双曲线的方程为 a x2b y2 1 a0,b0）. 2 2就由a 2 a 2b 2 b4 2 1 解得 a2=b 2=2, （3）21 2曲线 C 的方程为 x2 y2 1 .2 2解法 1：依题意,可设直线 l 的方程为 ykx+2,代入双曲线 C 的方程并整理得（ 1-K2）x2-4kx-6=0. 直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,名师归纳总结 第
16、14 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 k 24 k 0 24 6 1 k 2 0 k3 1k 3,k（-3,-1）（-1,1）（1,3）.设 E（x,y）,Fx2,y2,就由式得 x1+x2= 1 4 kk 2 , x 1 x 21 6k ,于是 EF x 1 x 2 2 y 1 x 2 2 1 k 2 x 1 x 2 21 k 2 x 1 x 2 24 x 1 x 21 k 2 2 21 3k 2 k；而原点 O 到直 2线 l 的距离 d1 2 k,S DEF = 12 d EF 12 1 2k 2 1 k
17、2 2 21 3k 2 k 2 21 3k 2 k.2 2如 OEF 面积不小于 2 2,即 S OEF 2 ,就有2 21 3k 2 k 2 2 k 4k 2 2 0 , 解得 2 k 2 . 2综合、知,直线 l 的斜率的取值范畴为 -2,名师归纳总结 第 15 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载-11-,1 1, 2. 解法 2：依题意,可设直线 l 的方程为 ykx+2,代入双曲线 C 的方程并整理,得（ 1-K2）x2-4kx-6=0. 直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,1 k24 k024
18、6 1 k2 0k31k 3,k（ -3,-1）（ -1,1）（ 1,3）. 设Ex1,y1,Fx2,y2,就由式得x1-x2=x 1x224x 1x21k22232k2.1k当 E、F 在同一去上时（如图1 1S ODF S ODE OD x 1 x 2 OD x 1 x 2 ;2 21 所示）,S OEF名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当 E 、 F 在 不 同 支 上 时 （ 如 图 2 所示）. S OEF S ODF SODE= 12 OD x 1 x 2 12 OD x 1 x 2
19、 .综上得 S OEF1 2 OD x 1 x 2 , 于是由 OD2 及式,得SOEF= 2 | 2 1 3 k 2 k ；如 OEF 面积不小于 2 ,即 S OEF 2 2,就有 2 | 2 1 3 k 2 k | 2 2 k 4 k 2 0,解得 2 k 2 2综合、知,直线 l 的斜率的取值范畴为 -2,-1（-1,1）（ 1,2）. （备用题 1）（08 福建卷 21）（本小题满名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分 12 分）如图、椭圆x2y21 ab0的一个焦点是 F（1,0）,O
20、 为坐a2b2标原点 . （）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程；（）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点 .如直线 l 绕点 F 任意转动,值有 OA 2OB 2 AB ,求 a 的取值范畴 . 本小题主要考查直线 与 椭 圆 的 位 置 关系、不等式的解法等 类与整合思想,考查基本学问,考查分 运算才能和综合解名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载题才能 .满分 12 分. 解法一： 设 M,N 为短轴的两个三等分点,因为 MNF 为正三角形,所以 O F2
21、 3M N, 即 12 3 23 b解得 b 3；a 2b 21 4, 因此,椭圆方程为 x4 y3 1.2 2设 A x y 1 , B x 2 , y 2 . 当直线 AB 与 x 轴重合时,| OA | 2| OB | 22 a 2|, AB | 24 a 2 a 21 ,因此,恒有 | OA | 2| OB | 2| AB | 2；当直线 AB 不与 x 轴重合时,设直线 AB 的方程为：x my 1, 代入a x2b y2 1, 2 2名师归纳总结 第 19 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载整 理 得 a
22、2b m 2 2 y 22 b my 2b 2a b 2 20, 所 以 y 1 y 2a 2 2 b mb m 2 2 , y y 2a b2 b m, 因 为 恒 有 2 2OA 2OB 2 AB ,所以 AOB 恒为钝角；即 OA OB x 1 , y 1 x 2 , y 2 x 1 x 1 y 2 y 2 0 恒成立；2x x 2 y y 2 my 1 1 my 2 1 y y 2 m 1 y y 2 m y 1 y 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 m 1 b a b 2 b m m a b b a b a2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 0a b m
23、a b m a b m又 a 2+b 2m 20,所以-m 2a 2b 2+b 2-a 2b 2+a 2 a 2 -a 2b 2+b 2 对 m R 恒成立 . 当 m R 时,a 2b 2m 2最小值为 0,所以 a 2- a 2b 2+b 20. a 2a 2b 2- b 2, a 20,b0,所以 a0,解得名师归纳总结 第 20 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a1学习必备欢迎下载12,+ ）. 2或 a12；综合（ i）ii,a 的取值范畴为（解法二：（）同解法一,（）解：（i）当直线 l 垂直于 x 轴时, x=1 代入1
24、y21,yA2b2a21=1.由于恒有 |OA| 2+|OB| 2|AB| 2,21+yA 21,即aa 1,解得 a 212或 a12 . （ii）当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 A（x1,y1）, B（x2,y2）.设直线 AB 的方程为 y=kx-1代入x2y21,b 2=0,故a22 b得b2+a 2k 2x 2-2a 2k 2x+ 2 a2-k2 a名师归纳总结 第 21 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载x1+x2= b 2 2 a k 2a k 2 22 , x x 2 a kb 22 2 a k由于
25、恒有 |OA|2+|OB| 2|AB| 2, 所 以 x2 1+y 2 1+ x 2 2+ y 2 2 x2-x1 2 +y2-y1 2 ,得 x1x2+ y1y20 恒成立 . x1x2+ y1y2= x1x2+k 2x1-1 x2-1=1+k 2 x1x2-k 2x1+x2+ k 2=1+k 2 a kb 2a k a b2 2 k 2b 2 2 a k2 2 k 2 a a bb 2 ba k 2 k2 a b . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2由题意得（ a2- a 2 b 2+b 2）k2- a 2 b 20 时,不合题意；当a 2- a 2 b 2+b 2=0
26、时,a= 1 2 ; 名师归纳总结 第 22 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当 a2- a 2 b 2+b 20 时,a 2- a 2a 2-1+ a 2-10, 解得 a2 3 2或 a2 3 2（舍去）,a 1 2,因此 a 1 2 . 综合（ i）（ii）,a 的取值范畴为（1 2,+ ）. （备用题 2）08 安徽卷（22）设椭圆 C :a x2b y2 1 a b 0 过点 2 2M 2,1,且其焦点为 F 1 2,0,F 2 2 , 0 ；（）求椭圆C的方程；（）当过点 P 的动直线 l与椭圆 C相交与
27、两不同点 A B时,在线段 AB上取点 Q,满意 | AP | | QB | | AQ | | PB |,证明：点 Q总在某定直线上；名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2c 2解 1由题意：a 22b 12 1,解得 a 24, b ,所求椭圆方2 2 2c a b程为 x4 y2 1 2 22设点 Q x y , A x 1 , y 1 , B x 2 , y ,由题设,PA , PB , AQ , QB均不为零；且 AQ PAQB PB又 P A Q B四点共线,可设 PA AQ PB BQ
28、 0, 1 ,于是x 1 41 x, y 1 11 y（1）；x 2 41 x, y 2 11 y（2）由于 A x y 1 , B x 2 , y 在椭圆 C 上,将（ 1）,（2）分别代入 C 的方程 x 22 y 24,整理得 x 22 y 24 242 x y 2 14 0（3） x 22 y 24 242 x y 2 14 0 4 名师归纳总结 第 24 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 43 得 8 x 2 y即点 Q x y 总在定直线学习必备欢迎下载x2y,第 25 页,共 25 页2 ,02xy20上- - - - - - -