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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次根式性质与运算新知学习一、二次根式的概念及性质二次根式的概念：形如a （a0）的式子叫做二次根式,“” 称为二次根号0）；（ 3 ）二 次 根 式 的 基 本 性 质 ：（ 1）a0（a0） 双 重 非 负 性 ；（ 2 ）a2 a （aa2aaa a0 a0二、二次根式的乘除运算1、二次根式的乘法法就：abaab （a00,b00）a2、二次根式的除法法就：bb（a,b）三、最简二次根式：1、最简二次根式：二次根式a （a0）中的a称为被开方数满意下面条件的二次根式我们称为最简二次根式（1）被开放数的因数是整数,因式是整
2、式（被开方数不能存在小数、分数形式）（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（3）分母中不含二次根式留意：二次根式的运算结果要写成最简根式的形式2、分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘,假如它们的积不含有二次根式,说这两个代数 式 互 为 有 理 化 因 式 a b 与 a b 互 为 有 理 化 因 式 , 原 理 是 平 方 差 公 式2 2 a b a b a b ；分式有理化时,肯定要保证有理化因式不为 0四、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后,假如被开方数相同, 这几个二次根式就叫做同类二次根式合并同类二次根式：a x
3、b x a b x 同类二次根式才可加减合并基础演练一、对二次根式定义的考察【例 1】 判以下式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式：名师归纳总结 2 、4 、3 3 、 1 x、x x0、0 、42 、x1y、xy （ x0,y.0）第 1 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【练一练】 以下式子中,是二次根式的是（学习必备欢迎下载）A 7B3 8CxDx 【例 2】 当 x 是多少时,3x1在实数范畴内有意义？【例 3】 当 x 是多少时,2x3x11在实数范畴内有意义？【练一练】 使式子x2 6有意义的未知数x 有（）个 A 0 B
4、1 1C2 D很多【练一练】 某工厂要制作一批体积为3 m 的产品包装盒, 其高为 02m,按设计需要, .底面应做成正方形,试问底面边长应是多少？【例 4】 解答以下 题目如a1b10,求2022 a2022 b的值【练一练】 已知 a、b 为实数,且5a2 2a10b5,求 a、b 的值【练一练】 已知实数 a 与非零实数x 满意等式：x2312a1x0,求a22x2x二、对二次根式性质的考察【例 5】 运算名师归纳总结 （1）32（2）342（3）52（4）32 第 2 页,共 13 页42- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【练
5、一练】 运算（1）x2 2 x0: （2）a2212x92（ 3）a22 a12（4）4x2【例 6】 在实数范畴内分解以下因式（1）x25a=9 时,求a12（2）x44（3）2x23【例 7】 先化简再求值：当a2 a的值,甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a1a 2a1a 1；17乙的解答为：原式=a1a 2aa12a1两种解答中, _的解答是错误的,错误的缘由是_【练一练】 如 -3x2时,试化简x2x2 32 x10x25【例 8】 假如9xy3xy 成立,那么x,y 必需满意条件【例 9】 假如 x x 3 x x 3,那么（）A x 0 Bx 3 C 0 x 3 D x 为任
6、意实数【练一练】 已知三角形一边长为 2 cm,这条边上的高为 12 cm,求该三角形的面积【例 10】把 4 2 3根号外的因式移进根号内,结果等于（）4A 11B11C44D44【练一练】 把以下各式中根号外的因式移到根号里面：名师归纳总结 （1）a1;（2）y1 y1第 3 页,共 13 页1a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 11】已知 a,b 为实数,且1ab1学习必备欢迎下载a20222022 b的值1b0,求【练一练】 探究过程：观看以下各式及其验证过程（1）2222122233验证：223 22322222223321213333
7、3881333验证：333 33 323333288312 318同理可得：44441515=_（a0）,并验证你的结论5555, 2424通过上述探究你能推测出：a2 aa1【练一练】 已知8a,80b, 求6.4 的值x2x5x4的值【例 12】已知9x9x,且 x 为偶数,求1xx6x621【练一练】nn1n 3n3（m0,n0）m2 m 3mm22 m三、最简二次根式的概念名师归纳总结 【例 13】以下各式中是最简二次根式的是（）x2yD3 x2y第 4 页,共 13 页A 8 aBb23C- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【
8、练一练】 把以下各式化成最简二次根式：（1）2 31824（2）51（3）3 a b5ab ；（4）1 2121；23【例 14】运算：（1）60 ；（2） 2 3 a4 6（3）482【例 15】23 的有理化因式是；xy 的有理化因式是x1x1的有理化因式是【例 16】把以下各式分母有理化：（1）2 a2 a1（2）xyy2（3）11（4）3 5234xy23 523【练一练】 化简：abba【例 17】aba1b【例 18】观看规律：112,131232,21323, ,求值2名师归纳总结 （1）2217_；（2）11110_；（ 3）n1n_；1【练一练】 运算：x41x72_x3x3
9、【例 19】把以下二次根式32,27,125, 4 45, 2 8,18,12,15 化简后,与2 的被开方数相同的有；与3 的被开方数相同的有与5 的被开方数相同的有第 5 页,共 13 页【例 20】如最简二次根式3 a5与a3是可以合并的二次根式,就a_【例 21】如最简二次根式23 m22与n21 4 m 210是同类二次根式,求m、n 的值3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【练一练】 如a b b 与最简二次根式3a学习必备欢迎下载）b 是同类二次根式,求a,b 的值a b7是同类二次根式,就满意条件的a,b 的值（【练一练】 已知最简根式
10、a2 ab与A 不存在B有一组C有二组D多于二组【例 22】化简运算：（1）31（2）ab5ab ab0 2 28ab 四、二次根式的加减【例 23】运算：（1） 3 34 3（2）1275【练一练】712548_【例 24】运算：（1）2 8118132（2）12413 482427【练一练】 运算 ：（1） 6 30.1248（2）ab13 8 a b118ab38m假如梯子的顶2ab【例 25】如图,一架长为10m 的梯子 AB 斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为端下滑 1m,那么它的底端是否也下滑 1m？AC B名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选
11、学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载五、二次根式的乘除【例 26】运算：（1）21312（2）122112355335六、二次根式的混合运算【例 27】运算：（1）3243233252（2） 235235a0,b0）5222022382022（3）23（4）38【练一练】（1） 233 26236（2）3 a b3 ab3 abab （【例 28】解方程或不等式 :（1）26x17x110（2）2x12 2x33【练一练】 已知a2a18a,求 a 的值a2【例 29】已知yx22x2522,就x2y2= 5x44x名师归纳总结 【例 30】化简11n12,所得的结
12、果为（1）11第 7 页,共 13 页n21A 1111B1nnnnC1111D11n11nnn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【例 31】运算：（1）63433 27515 7（2）10114491521633210141521（3）3114947475 33 5（4）3 1510263 321852 31七、非负数性质的综合应用【例 32】如x1y4230,就y x 的值等于y12【例 33】假如y2x32x2,就 2x【例 34】当x2时,化简412x2x2的值2x【练一练】 已知a0,求a124aaa【例 35】已知实数 x
13、 , y , z 满意4x4y112yz2 zz10,求xz 2 y 的值34【练一练】 已知实数 a , b , c 满意1ab2 bcc22c10,求a bc2【例 36】如x1y20222z10,就 xz y的值等于名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 37】已知ab2a2a2 acc20abc学习必备欢迎下载30,求3 abc 的值【练一练】 如a2b42 b5,求2ab b的值2a【例 38】已知正数 a , b ,且满意a1b2b1a21,求证：a2b21课后作业【题 1】 以下各式中,肯定是二次根式
14、的是（）DxA 32B0 3. 2C2D x 3 【题 2】 已知x33是二次根式,就x 应满意的条件是（）A x0 B x0C x3 【题 3】 如2 m3m有意义,就m【题 4】 运算以下各式：（1）322（2）23 2（3）352（4）3223【题 5】 运算以下各式,使得结果的分母中不含有二次根式：名师归纳总结 （ 1）1 3_；（ 2）1_；（3）22 _；（4）3xy_第 9 页,共 13 页246【题 6】 当 a_时,3a2有意义；当x_时,13有意义x当 x_时,1 有意义；当 xx_时,1 的值为 1x【题 7】 如 b0,化简5 ab 的结果是 _【题 8】 在9 ,12
15、,1, 8,27中,与3 是同类二次根式的是3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载）【题 9】 如3xy2 xy 与最简根式y6 4xym 是同类二次根式,就m = 【题 10】如 a,b 两数满意 b0 a 且 b a,就以下各式有意义的是（A abBbaCabDab【题 11】等式x2x2x24成立的条件是（）Ax2Bx2C2x2Dx2或x2【题 12】如a3,b4,就以下各式求值过程和结果都正确选项（）A 2 a.a2b2a ab3 3421Ba2.a2b2aa22 b3 32 423 2515Ca2a2b2a2 a2 b2 3 3
16、2 43 2515D2 aa2b2aa2b23 32 423 2515【题 13】运算（1） 352323a（2） 227 1 288 18x（3）a bab3 a b 3（4）xx3x32b4（5）1x1x1xx1xx【题 14】如最简二次根式a b2ab 与a2b是同类根式,求a2b的值【题 15】已知 a 为实数,那么a2等于（）名师归纳总结 A ax2BaC1D0 第 10 页,共 13 页【题 16】如 ab0,就等式a1ab成立的条件是b53 b【题 17】当 x时,2x4有意义 x3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【题 18】假如式子1
17、a学习必备欢迎下载1a）11a根号外的因式移入根号内,化简的结果为（A1aBa1Ca1D【题 19】假如a0,a0,化简ba42ab2 1b【题 20】运算：240.5221638【题 21】运算： 82 0.251 18502723【题 22】271 1214535【题 23】运算：21327613111名师归纳总结 【题 24】运算：122320222022第 11 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【题 25】3 248 184 3学习必备欢迎下载【题 26】 23662 3【题 27】 433 25027【题 28】（1） 2a3b 6b（2） 163 a1a3a375 a248【题 29】 326623【题 30】 1x1x1xx1xx【题 31】ab24abab 【题 32】4816274名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【题 33】 x2xyy81x3y学习必备欢迎下载【题 34】181122【题 35】20551123【题 36】n2n24n2n24n2n24n2n24【题 37】已知3 a3a27a18,求 a 的值3名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页