《2022年中考数学名师点拨几何综合问题-知识讲解及答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中考数学名师点拨几何综合问题-知识讲解及答案解析.docx（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思中考冲刺：几何综合问题学问讲解（提高）【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型,大致可分为几何运算型综合题与几何论证型综合题,它主要考查同学综合运用几何学问的才能. 这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的重量,不仅有选择题、填空题、几何推理运算题以及代数与几何的综合运算题 , 仍有更留意考查同学分析问题和解决问题才能的探究性的问题、方案设计的问题等等. 主要特点是图形较复杂,掩盖面广、涉及的学问点较多,题设和结论之间的关系较隐藏,经常需要添加帮助线来解答 . 几何综合题的出现形式多样,如折叠类型、
2、探究型、开放型、运动型、情形型等,背景鲜活,具有有用性和制造性,考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学学问解决实际问题的能力. 以几何为主的综合题经常在肯定的图形背景下争论以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）3、几何运算问题；4、动态几何问题等 . 【方法点拨】一、几何运算型综合问题,经常涉及到以下各部分的学问：1、与三角形有关的学问；2、等腰三角形,等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形,相像三角形的性质；6、
3、垂径定理,切线的性质,与正多边形有关的运算；7、弧长公式与扇形面积公式 . 二、几何论证型综合题的解答过程,要留意以下几个方面：1、留意图形的直观提示,留意观看、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加帮助线补全或构造基本图形；2、留意分析挖掘题目的隐含条件、进展条件,为解题制造条件打好基础,要由已知联想经验,由未知联想需要,不断转化条件和结论来探求思路,找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何运算问题,仍要敏捷运用数学思想方法如数形结合、分类争论、转化、方程等思想来解决问题 . 【典型例题】类型一、动态几何型问题1已知正方形 ABCD中,E
4、为对角线BD上一点, 过E点作EF BD交BC于F,连接DF,G为DF 中点,连接 EG CG（1）直接写出线段 EG 与 CG 的数量关系；（2）将图 1 中 BEF绕B点逆时针旋转 45,如图 2 所示,取DF中点G,连接 EG CG,你在（ 1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）将图 1 中BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图3 所示,再连接相应的线段,问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思ADADADGBE图
5、1FGCEFCEBF图 3CB图 2 【思路点拨】 此题的核心条件就是G是中点,中点往往示意许多的全等关系,如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在 . 连接 AG之后,抛开其他条件,单看 G点所在的四边形 ADFE,我们会发觉这是一个梯形,于是依据我们在第一讲专题中所争论的方法,自然想到过 G 点做 AD,EF 的垂线 .于是两个全等的三角形显现了 . 第三问在BEF的旋转过程中,始终不变的依旧是 G点是 FD的中点 . 可以延长一倍 EG到 H,从而构造一个和 EFG全等的三角形,利用 BE=EF这一条件将全等过渡 . 要想方法证明三角形 ECH是一个等腰直角三角形,就需要证
6、明三角形 EBC和三角形 CGH全等,利用角度变换关系就可以得证了 .【答案与解析】（1） CG EG（2）（1）中结论没有发生变化,即 CG EG证明：连接 AG ,过 G 点作 MN AD 于 M ,与 EF 的延长线交于 N 点在 DAG 与 DCG 中, AD CD,ADG CDG,DG DG,DAGDCG AG CG在 DMG 与 FNG 中,DGM FGN,FG DG,MDG NFG,DMGFNG MG NG在矩形 AENM 中, AM EN在 Rt AMG 与 Rt ENG 中, AMEN,MGNG,AMGENG AGEGD EGCGAMGEFNCB图 2 （ 3）（1）中的结论
7、仍旧成立名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思A DGEBF图 3C【总结升华】 此题是一道典型的从特别到一般的图形旋转题. 从旋转45 到旋转任意角度,要求争论其中的不变关系 . 举一反三：【变式 】已知：如图（1）,射线 AM / 射线 BN , AB 是它们的公垂线,点 D、C分别在AM、BN上运动（点 D 与点 A 不重合、点 C 与点 B 不重合）, E 是 AB 边上的动点（点 E 与 A 、 B 不重合）,在运动过程中始终保持 DE EC,且 AD DE AB a（1
8、）求证：ADE BEC ；（2）如图（ 2）,当点 E 为 AB 边的中点时,求证：AD BC CD；（3）设 AE m,请探究：BEC 的周长是否与 m 值有关？如有关,请用含有 m 的代数式表示BEC 的周长；如无关,请说明理由【答案】（1）证明：DE EC,DEC 90AED BEC 90又A B 90,AED EDA 90BEC EDAADE BEC（ 2）证明：如图,过点 E作EF / BC,交 CD 于点 F , E 是 AB 的中点,简洁证明 EF 1 AD BC 2名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - -
9、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思在RtDEC中,DFCF,EF1CD21ADBC1CDm22ADBCCD（ 3）解：AED 的周长AEADDEam,BEa设ADx,就DEaxm2x2A90,DE2AE2AD2即a22axx2xa22m2a由（ 1）知ADEBEC,a2m2ADE的周长ADa2 aa2mBEC的周长BEaBC上一动点,连接AD,以 AD为一mBEC 的周长a2 aADE 的周长2 amBEC的周长与 m 值无关2在 ABC中, ACB=45o点D（与点 B、C不重合）为射线边且在 AD的右侧作正方形ADEFCF与 BD之间的位置关系,并证明你（1）假如 AB=AC如图,且点
10、D在线段 BC上运动试判定线段的结论（2）假如 AB AC,如图,且点D在线段 BC上运动（ 1）中结论是否成立,为什么？（3）如正方形ADEF的边 DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设 AC 42 ,BC3,CD=x ,求线段 CP的长（用含 x 的式子表示）【思路点拨】1 由题干可以发觉,正方形中四条边的垂直关系是不动的,于是利用角度的互余关系进行传递,就可以得解 . 2 是典型的从特别到一般的问法,那么思路很简洁,就是从一般中构筑一个特别的条件就行,和上题名师归纳总结 一样找 AC的垂线,就可以变成第一问的条件,然后一样求解. 所以已给的线段长度就需要分情形去第 4 页,共 14
11、 页3D 在 BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思考虑究竟是4+X仍是 4-X. 分类争论之后利用相像三角形的比例关系即可求出CP. 【答案与解析】（1）结论： CFBD；证明如下：AB=AC , ACB=45o, ABC=45o由正方形 ADEF得 AD=AF , DAF=BAC =90o, DAB=FAC, DAB FAC , ACF=ABD BCF=ACB+ACF= 90o即 CFBD（2）CFBD1 中结论仍成立理由是：过点 A作 AGAC交 BC于点 G
12、, AC=AG 可证：GAD CAF ACF=AGD=45o BCF=ACB+ACF= 90o即 CFBD （3）过点 A 作 AQBC交 CB的延长线于点 Q,点 D在线段 BC上运动时,BCA=45o,可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x,x,易证 AQD DCP,CP DQCD,CP4x4AQCPx2x 4点 D在线段 BC延长线上运动时, BCA=45 , AQ=CQ=4,DQ=4+x过 A 作 AQBC, Q=FQC=90 , ADQ=AFC,就 AQD ACFCF BD, AQD DCP,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - -
13、- - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思CP DQCD, CPx, 4+x4AQCPx2x 4【总结升华】 此题综合性强,需要综合运用全等、相像、正方形等学问点,属才能拔高性的题目3已知正方形 ABCD的边长为 6cm,点 E是射线 BC上的一个动点, 连接 AE交射线 DC于点 F,将 ABE沿直线 AE翻折,点 B 落在点 B处（1）当 BE =1 时, CF=_cm,CE（2）当 BE =2 时,求 sin DAB的值；CE（3）当 BE = x 时（点 C 与点 E 不重合）,请写出ABE 翻折后与正方形 ABCD公共部分的面积 y 与 xCE的关系式,（只要写出结论
14、,不要解题过程）【思路点拨】 动态问题未必只有点的平移、图形的旋转,翻折（即轴对称）也是一大热点 .1 给出比例为 1,2 比例为 2, 3 比例任意,所以也是一道很明显的从一般到特别的递进式题目 . 需要认真把握翻折过程中哪些条件发生了变化,哪些条件没有发生变化. 一般说来,翻折中,角,边都是不变的,所以轴对称图形也意味着大量全等或者相像关系,所以要利用这些来获得线段之间的比例关系 . 特别要留意的是,此题中给定的比例都是有两种情形的,E在 BC上和 E在延长线上都是可能的,所以需要分类争论,不要遗漏 . 【答案与解析】（1）CF=6cm；（2） 如图 1,当点 E在 BC上时,延长图 1
15、AB 交 DC于点 M,BEAB AB CF, ABE FCE,CEFC名师归纳总结 BE =2, CF=3CE第 6 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 AB CF, BAE= F又 BAE=B AE, B AE=F MA=MF设 MA=MF=k,就 MC=k -3,DM=9-k在 Rt ADM中,由勾股定理得：k2=9-k2+6 2, 解得 k=MA=132 DM=5 2 E 于点 N, sin DAB=DM5；AM13如图 2,当点 E在 BC延长线上时,延长AD交 B图 2 同可得NA=NE
16、xN=9 2设 NA=NE=m,就 B N=12-m在 Rt AB N 中,由勾股定理,得m 2=12-m2+6 2, 解得 m=AN=152 B sin DAB=BN3AN518（ 3）当点 E 在 BC上时, y=18x x 1；当点 E 在 BC延长线上时, y=18x【总结升华】 动态几何问题当中有点动,线动,乃至整体图形动几种可能的方式,动态几何问题往往作为压轴题显现 , 所以难度不言而喻 , 但是拿到题后不要慌张 , 由于无论是题目以哪种形式显现,始终把握的都是在变化过程中那些不变的量 . 只要一个个将条件抽出来 , 将大问题化成如干个小问题去解决 , 就很轻松了 . 类型二、几何
17、运算型问题名师归纳总结 4已知如图, 在梯形 ABCD 中,ADBC,AD2,BC4,点 M 是 AD 的中点,MBC是第 7 页,共 14 页等边三角形MPQ60保持不变设PCx,MQy,（1）求证：梯形 ABCD是等腰梯形；（2）动点 P 、 Q 分别在线段 BC 和 MC 上运动,且求 y 与 x 的函数关系式；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（3）在（ 2）中,当 y 取最小值时,判定PQC的外形,并说明理由【思路点拨】 （1）属于纯静态问题,只要证两边的三角形全等就可以了 . 2 是双动点问题,所以就需
18、要争论在 P,Q 运动过程中什么东西是不变的 . 题目给定 MPQ=60 ,其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来 . 由于最终求两条线段的关系 , 所以很自然想到要通过相像三角形找比例关系 . 3 条件又回来了当动点静止时的问题,由其次问所得的二次函数,很轻易就可以求出当 x 取对称轴的值时 y 有最小值,接下来就变成了“ 给定 PC=2,求 PQC外形” 的问题了,由已知的 BC=4,自然看出 P是中点,于是问题轻松求解 .【答案与解析】名师归纳总结 （1）证明：MBC是等边三角形BC4,MBCMCB60,MPQ60第 8 页,共 14 页MBMC,MBCMCB60 M 是 A
19、D 中点 AMMD ADBCAMBMBC60,DMCMCB60AMBDMC ABDC梯形 ABCD 是等腰梯形（2）解：在等边MBC中,MBMCBMPBPMBPMQPC120BMPQPCBMPCQP4yPC BMCQ BP PCx,MQyBP4x,QCx4yy1x2x444x4（3）解：PQC为直角三角形,y1x2234当 y 取最小值时,xPC2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 P 是 BC 的中点, MPBC,而MPQ60,CPQ30,PQC90PQC为直角三角形 .【总结升华】 以上题目是动点问题,这一类问
20、题的关键就在于当动点移动中显现特别条件,例如某边相等,某角固定时,将动态问题化为静态问题去求解哪些条件是保持不变的 . 举一反三：【高清课堂：几何综合问题 例 3】. 假如没有特别条件,那么就需要争论在动点移动中【变式 】已知：如图, N、M是以 O为圆心, 1 为半径的圆上的两点,B 是 MN 上一动点（ B不与点 M、N 重合）, MON=90 , BAOM于点 A,BC ON于点 C,点 D、E、 F、G 分别是线段 OA、 AB、BC、CO的中点, GF与 CE相交于点 P,DE与 AG相交于点 Q（1）四边形 EPGQ （填“ 是”或者“ 不是” ）平行四边形；（2）如四边形EPGQ
21、是矩形,求OA的值 . 【答案】（1）是证明：连接 OB,如图,BAOM,BCON, BAO=BCO=90 ,名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 AOC=90 ,四边形 OABC是矩形AB OC,AB=OC,E、G分别是 AB、CO的中点,AE GC,AE=GC,四边形 AECG为平行四边形CE AG,OA、AB、BC、CO的中点,点 D、E、F、G分别是线段GF OB,DE OB,PG EQ,四边形 EPGQ是平行四边形；（2）解：如图,口 EPGQ是矩形 AED+ CEB=
22、90 又 DAE=EBC=90 , AED= BCE AED BCE,AD AE,BE BC设 OA=x, AB=y,就 x : y y x 2 2 2 2=2x 2,得 y 又 OA 2+AB 2=OB 2, 即 x 2+y 2=1 2x 2+2x 2=1,3 解得： x=3即当四边形 EPGQ是矩形时, OA的长度为 335在 ABCD 中,过点 C作 CECD交 AD于点 E, 将线段 EC绕点 E 逆时针旋转 90 得到线段 EF 如图 1（1）在图 1 中画图探究：名师归纳总结 当 P 为射线 CD上任意一点（ P1不与 C重合）时,连结EP1绕点 E 逆时针旋转 90得到线段 EC
23、1.第 10 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思判定直线 FC1与直线 CD的位置关系,并加以证明；当 P2为线段 DC的延长线上任意一点时,连结EP2, 将线段 EP2 绕点 E 逆时针旋转 90 得到线段EC2. 判定直线 C1C2与直线 CD的位置关系,画出图形并直接写出你的结论 . （2）如 AD=6,tanB=4 ,AE=1, 在的条件下,设 CP1=x ,S P FC = y ,求 y 与x之间的函数关系式,3并写出自变量 x 的取值范畴 . 图 1 备用图【思路点拨】 1 此题在于如何
24、把握这个旋转 90 的条件 . 旋转 90 自然就是垂直关系,于是显现了一系列直角三角形,于是证角、证线就手到擒来了 . 2 是利用平行关系建立函数式,但是不要遗忘分类争论 . 【答案与解析】 （1）直线 FG 与直线 CD 的位置关系为相互垂直证明：如图 1,设直线 FG 与直线 CD 的交点为 H G1 B A E F G2 H D P1 C P2 图 1 名师归纳总结 线段EC、EP 1分别绕点 E 逆时针旋转90 依次得到线段EF、EG 1,第 11 页,共 14 页PEG1CEF90,EG 1EP 1,EFECG EF90PEF,PEC90PEF,G EFPEC G EFPECG F
25、EPCE - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 ECCD,PCE90 ,1,直线G G 与直线 CD 的位置关系为相互垂直G FE90 EFH90 FHC90 FG 1CD按题目要求所画图形见图（2）四边形 ABCD 是平行四边形,B ADCAD 6,AE 1 tan B 4,3DE 5 tan EBC tan B 43可得 CE 4由（ 1）可得四边形 EFCH 为正方形CH CE 4如图 2,当 1P 点在线段 CH 的延长线上时,G1 B A E F C HP1 D 图 2 名师归纳总结 FG1CP 1x,PH
26、x4,H两点重合）时,第 12 页,共 14 页SP FG 111 2FG 1PHx x42y412 x2 x x2如图 3,当1P 点在线段 CH 上（不与 C、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思G1 F BAECDHP1 图 3 FG1CP 1x,PHx4,4或SP FG 111FG 1PHx 4x22y12 x2 0x42当1P 点与 H 点重合时,即x4时,PFG1不存在综 上 所 述 , y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 及 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是y1x22 x x2y1x22
27、0x42【总结升华】 此题着重考查了二次函数的解析式、图形的旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情形等重要学问点,综合性强,才能要求较高考查同学分类争论,数形结合的数学思想方法举一反三：【变式 】已知,点 P 是 MON的平分线上的一动点,射线 PA交射线 OM于点 A,将射线 PA绕点 P逆时针旋转交射线 ON于点 B,且使 APB+MON=180 （1）利用图 1,求证： PA=PB；（2）如图 2,如点 C是 AB与 OP的交点,当S POB=3S PCB时,求 PB与 PC的比值；（3）如 MON=60 , OB=2,射线 AP交 ON于点 D,且满意且 PBD=ABO,请借助图 3
28、补全图形,并求 OP的长【答案】（1）作 PEOM,PFON,垂足为 E、F 四边形 OEPF中, OEP= OFP=90 , EPF+MON=180 ,已知 APB+MON=180 , EPF=APB,即 EPA+ APF=APF+FPB, EPA=FPB,由角平分线的性质,得 PE=PF, EPA FPB,即 PA=PB；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2） S POB=3S PCB, PO=3PC,由（ 1）可知PAB为等腰三角形,就PBC=1 2（180 - AP
29、B）=1 2MON= BOP,又 BPC=OPB（公共角）, PBC POB,PB PC,PO PB 即 PB 2=PO.PC=3PC 2,PB 3 PC（3）作 BHOT,垂足为 H,当 MON=60 时, APB=120 ,由 PA=PB,得 PBA=PAB=1（180 - APB） =30 ,2 又 PBD=ABO, PBD+ PBA+ABO=180 , ABO=1（180 -30 ） =75 ,就 OBP=ABO+ABP=105 ,2 在 OBP中, BOP=30 , BPO=45 ,在 Rt OBH中, BH=1 OB=1,OH= 3 ,2 在 Rt PBH中, PH=BH=1,OP=OH+PH=3 +1名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页