2022年二次函数的三中表示方法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2.2.2 二次函数的三种表示方式(第六讲)通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式:1一般式: yax 2 bxca0;2顶点式: yax h 2k a0,其中顶点坐标是 h,k除了上述两种表示方法外,它仍可以用另一种形式来表示为了争论另一种表示方式,我们先来争论二次函数 yax 2bxca0的图象与 x 轴交点个数当抛物线 yax 2bxca0与 x 轴相交时,其函数值为零,于是有ax 2bxc0并且方程的解就是抛物线 yax 2bxca0与 x 轴交点的横坐标 (纵坐标为零) ,于是,不难发觉,抛物线

2、 yax 2bxca0与 x 轴交点个数与方程的解的个数有关,而方程的解的个数又与方程的根的判别式 b 24ac 有关,由此可知,抛物线 yax 2bxca0与 x 轴交点个数与根的判别式 b 24ac 存在以下关系:(1)当 0 时,抛物线 yax 2bxca0与 x 轴有两个交点; 反过来,如抛物线 yax 2bxca0与 x 轴有两个交点,就 0 也成立(2)当 0 时,抛物线 yax 2bxca0与 x 轴有一个交点(抛物线的顶点);反过来,如抛物线 yax 2bxca0与 x 轴有一个交点,就 0 也成立(3)当 0 时,抛物线 yax 2bxca0与 x 轴没有交点; 反过来, 如

3、抛物线 yax 2bxca0与 x 轴没有交点,就 0 也成立于是,如抛物线 yax 2bxca0与 x 轴有两个交点 Ax1,0,Bx2,0,就 x1, x2 是方程 ax 2bxc0 的两根,所以x1x2b,x1x2 c,a a即 b x1x2,c x1x2a a所以, yax 2 bxca x 2 bx c a a= ax 2x1x2xx1x2 axx1 xx2由上面的推导过程可以得到下面结论:如抛物线 yax 2bx ca0与 x 轴交于 Ax1,0,Bx2,0两点, 就其函数关系式可以表示为 x1 x x2 a0这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法:yax3交点式: yax x1

4、 xx2 a0,其中 x1,x2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标今后,在求二次函数的表达式时,我们可以依据题目所供应的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题例 1 已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线yx1 上,并且图象经过点(3,1),求二次函数的解析式分析: 在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件 成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数 a 最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设名师归纳总结 解: 二次函数的最大值为2,而最大值肯定是其顶点的纵坐标,第 1 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 顶点

5、的纵坐标为2学习必备欢迎下载又顶点在直线yx1 上,所以, 2x1, x1顶点坐标是(1,2)设该二次函数的解析式为 y a x 2 21 a 0,二次函数的图像经过点(3, 1),1 a 3 2 21,解得 a 2二次函数的解析式为 y 2 x 2 21,即 y 2x 28x7说明: 在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函数的顶点式,最终解决了问题因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并奇妙地利用条件简捷地解决问题例 2 已知二次函数的图象过点3,0,1,0,且顶点到x 轴的距离等于2,求此二次函数的表达式分析一: 由于题目所给的条件中,二次函

6、数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式解法一: 二次函数的图象过点 3,0,1,0,x 轴可设二次函数为yax3 x1 a 0,22ax3a,绽开,得y ax顶点的纵坐标为12a2a4a24a,4x 轴的距离 2,由于二次函数图象的顶点到|4a|2,即 a12所以,二次函数的表达式为y1x2x3,或 y1x2x32222分析二: 由于二次函数的图象过点3,0, 1, 0,所以,对称轴为直线x 1,又由顶点到的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或 2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再利用图象过点 3,0,或 1,0,就可

7、以求得函数的表达式解法二: 二次函数的图象过点 3,0,1,0,对称轴为直线 x 1又顶点到 x 轴的距离为 2,顶点的纵坐标为 2,或 2于是可设二次函数为 yax1 22,或 yax1 22,由于函数图象过点 1,0,0a11 22,或 0a1 1 22a1,或 a12 2所以,所求的二次函数为 y 1 x1 22,或 y1 x 1 222 2说明: 上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,挑选恰当的方法来解决问题例 3 已知二次函数的图象过点 1, 22,0, 8,2,8,求此二次函数的表达式解: 设

8、该二次函数为 yax 2bxca0由函数图象过点 1, 22,0, 8,2, 8,可得22 a b c ,8 c ,8 4 a 2 b c ,解得 a 2,b12,c 8所以,所求的二次函数为 y 2x 212x8通过上面的几道例题,同学们能否归纳出:在什么情形下,分别利用函数的一般式、顶点式、交点式名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载来求二次函数的表达式?练习y a1挑选题 : 2x1 图象与 x 轴的交点个数是()(1)函数 y x(A )0 个(B)1 个(C)2 个(D)无法确定(2)函数 y

9、1 2 x122 的顶点坐标是()(A )1,2 (B)1, 2 (C)1,2 ( D)1, 2 2填空:( 1)已知二次函数的图象经过与x 轴交于点 1, 0和2,0,就该二次函数的解析式可设为a 0 y x2+23x 1 的函数图象与x 轴两交点之间的距离为(2)二次函数3依据以下条件,求二次函数的解析式(1)图象经过点 1, 2,0, 3,1, 6;(2)当 x3 时,函数有最小值 5,且经过点 1, 11;(3)函数图象与 x 轴交于两点 12,0和12,0,并与 y 轴交于 0, 22.2.3 二次函数的简洁应用一、函数图象的平移变换与对称变换1平移变换问题 1 在把二次函数的图象进

10、行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来争论二次函数的图象平移?我们不难发觉:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点 只转变函数图象的位置、不改变其外形,因此,在争论二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象的顶点式争论其顶点的位置即可例 1 求把二次函数 yx 24x3 的图象经过以下平移变换后得到的图象所对应的函数解析式:(1)向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位;(2)向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位分析: 由于平移变换只转变函数图象的位置而不转变其外形(即不转变二次项系数),所以只转变二次函数图象的顶点位置(即只转变一次项和常数项),所以,第一将二次函数

11、的解析式变形为顶点式,然后,再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式解: 二次函数 y2x 24x 3 的解析式可变为y2x1 21,其顶点坐标为 1, 1(1)把函数 y2x 1 21 的图象向右平移2 个单位, 向下平移 1 个单位后, 其函数图象的顶点坐标是3, 2,所以,平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y2x3 2 2(2)把函数 y2x 1 21 的图象向上平移 3 个单位, 向左平移 2 个单位后, 其函数图象的顶点坐标是1, 2,所以,平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y2x1 2 22对称变换问题2 在把二次函数的图象关于与坐标

12、轴平行的直线进行对称x 1 y 变换时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来争论二次函数的图象平移?我们不难发觉:在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,具有这样的特点 只转变函数图象的位置或开口方向、不转变其外形,因此,在争论二次函数图象的对称变换问题时,名师归纳总结 O x A13,1 A1,1 图 2.27 第 3 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方一直解决问题例 2 求把二次函数 y2x 2 4x1 的图象关于以下直线对称后所得到图象对应的函数解析式:(1)直

13、线 x 1;(2)直线 y1y2x24x1 的图象关于直线x 1 作对称变换后,只转变y 1 x 解:( 1)如图 227,把二次函数图象的顶点位置,不转变其外形由于 y2x 24x12x1 21,可知,函数 y2x 24x1 图象的顶点为所得到图象的顶点为 A13, 1,所以,二次函数 y2x 24x1 的图象关于直线象的函数解析式为 y2x3 21,即 y2x 212x17A1,1,所以,对称后 x 1 对称后所得到图(2)如图 22 8,把二次函数y2x24x 1 的图象关于直线x 1 作对称变换后, 只转变图象的顶点位置和开口方向,不转变其外形由于 y2x 24x12x121,可知,函

14、数y2x24x1 图象的顶点为A1,1,所以,对称后所得到图象的顶点为 B1,3,且开口向下,所以,二次函数 y2x 24x1 的图象关于直线 y1 对称后所得到图象的函数解析式为 y 2xy B1,3 123,即 y 2x 24x1二、分段函数一般地, 假如自变量在不同取值范畴内时,函数由不同的解析式给出,这O 种函数,叫作 分段函数 例 3在国内投递外埠平信,每封信不超过20g 付邮资 80 分,超过 20g 不超A1,1 过 40g 付邮资 160 分,超过40g 不超过 60g 付邮资 240 分,依此类推,每封xg0x100的信应对多少邮资(单位:分)?写出函数表达式,作出函数图象所

15、图 2.28 分析: 由于当自变量x 在各个不同的范畴内时,应对邮资的数量是不同的以,可以用分段函数给出其对应的函数解析式在解题时,需要留意的是,当x 在各个小范畴内(如20x40)变化时,它所对应的函数值(邮资)并不变化(都是160 分)解: 设每封信的邮资为y(单位:分) ,就 y 是 x 的函数这个函数的解析式为8 0 ,x 0, 2 0 1 6 0x 2 0 , 4 0 y2 4 0 ,x9 4 0 , 8 0 3 2 0x 6 0, 8 0 4 0 0 ,x 8 0 , 1 0 0 由上述的函数解析式,可以得到其图象如图229 所示例 4 如图 92 所示,在边长为2 的正方形ABC

16、D 的边D C 上有一个动点P,从点 A 动身沿折线ABCD 移动一周后,回到 A 点设点 A 移动的路程为x, PAC 的面积为 yP (1)求函数 y 的解析式;(2)画出函数y 的图像;(3)求函数 y 的取值范畴A 图 2.210 B 分析: 要对点 P 所在的位置进行分类争论解:(1)当点 P 在线段 AB 上移动(如图 y1 AP BC x;22210),即 0x2时,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当点 P 在线段 BC 上移动(如图2210),即 2x 4 时,y1 2PC AB 1 4 2x 24x;当点 P 在线段 CD 上移动(如图2210),即 4x6时,y1 2PC AD 1 2x4 2x4;当点 P 在线段 DA 上移动(如图2210),即 6x 8 时,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页

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