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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师精编 优秀资料一元二次方程总复习考点 1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数,未知数的最高次数是 2,且系数不为 0,这样的方程叫一 元二次方 程一般形式： ax 2bx+c=0a 0）； 留意： 判定某方程是否为一元二次方程时,应第一将方程化为一 般形式；考点 2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如x+a）2=b（ b0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法；X+a=baxx =-a-bx =-a+b2.配方法： 用配方法解一元二次方程：2bx+c=0k 0）的一般步
2、骤是： 化为一般形式； 移项,将常数项移到方程的右边；化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；配方,即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为x+a）2=b 的形式；假如b0 就可以用两边开平方来求出方程的解；假如b0,就原方程无解3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通过配方推导出来的一元二次方程的求根公式是xbb24 acb24ac0；步骤：把方程转化为一般形式；确定a,ab=0,2 ab, c 的值；求出b 24ac 的值,当 b2 4ac0 时代入求根公式；4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法理论依据：如就 a=0
3、或 b=0；步骤是：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式等于 0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方 程的解因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法；5一元二次方程的留意事项：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师精编优秀资料a=0 时,不含有二次项,即不是一元二 在一元二次方程的一般形式中要留意,强调a 0因当次方程 应用求根公
4、式解一元二次方程时应留意：先化方程为一般形式再确定a,b,c 的值；如b 24ac0,就方程无解2 利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能任凭约去含有未知数的代数式如2x 4 =3（x4）中,不能任凭约去 x4； 留意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特殊要求外）但又必需娴熟把握,解一元二次方程的一般次序是：开平方法因式分解法公式法6一元二次方程解的情形 b 2 4ac0 方程有两个不相等的实数根； b 2 4ac=0 方程有两个相等的实数根； b2 4ac0 方程没有实数根；解题小诀窍：当题目中含有“ 两不等实数根”“ 两相等实数根”“ 没有实数根” 时,往往第一考虑用b 24ac 解题
5、；主要用于求方程中未知系数的值或取值范畴；考点 3：根与系数的关系 :韦达定理bc；2x 1x 2对于方程 ax2bx+c=0a 0）来说, x1 +x2 = a,x1 x2= a利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形）,如2 x 12 x 2x 1x 2211x1x2x1x 2x 1x2；解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用韦达定理；二、经典考题剖析：【考题 11】以下方程是关于 x 的一元二次方程的是（）Aax2bx+c=0 B. k2 x 5k+6=0 1C.3x22x+x=0 D. k2 3 x2 2x+1=0 第 2 页,共 12 页
6、细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师精编 优秀资料【考题 12】解方程： x22x3=0 【考题 13】（2022、青岛,6 分）已知方程 5x2+kx 10=0 一个根是 5,求它的另一个根及 k 的值三、针对性训练：1、以下方程中,关于x 的一元二次方程是（）A .3x2 12x1 .1 2 x120yC ax2bxc0 . D x22xx212、如22 x3 与2x4 互为相反数,就x的值为 A 1 2B、2 C
7、、 2 D、1 23、用配方法解以下方程时,配方有错误选项（A.x2-2x-99=0 化为 x-12=100 B.x2+8x+9=0 化为 x+42=25 C.2t2-7t-4=0 化为t7281D.3y2-4y-2=0 化为y2210 第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - 394164、关于 x 的一元二次方程m12 xxm22m30 的一个根为x=0 ,就 m 的值为（）A m=3 或 m=1 Bm=3 或 m= 1 Cm= 1 Dm=3 5、2022 济南 如 x1 ,x2 是方程 x2 5x+6=0 的两个根,就x1 +x2 的值是（）A .1 B.5 C. 5
8、 D.6 116、2022 眉山 如 x1 ,x2 是方程 x2 3x1=0 的两个根,就x1x 2的值为（）11A.3 B.3 C.3D37、2022 潍坊 如 x1 ,x2 是方程 x2 6x+k 1=0 的两个根,且2 x 12 x 224,就 k 的值为（）A.8 B. 7 C.6 D.5 8、2022 成都 如关于 x 的方程 kx22x1=0 有两个不相等的实数根,就k 的取值范畴是（）A.k 1 B. k 1 且 k 0 C. k1 D. k 1 且 k 0 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - -
9、- - - - - - - - - - - - -9、已知一元二次方程x2名师精编优秀资料_. +2x 8=0 的一根是 2,就另一个根是10、2022 泰安 如关于 x 的方程 x2+（2k+1）x+2k2 =0 有实数根,就k 的取值范畴是 _ 11、解方程： 12 2x3232; 23y y12y1; 3 34x2 9 2x3=0; 4 x2 6x+8=0 k12、 2022 鄂州 关于 x 的方程 kx2 +k+2x+ 4=0 有两个不相等的实数根,1求 k 的取值范畴；2是否存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0？如存在求出k 的值；不存在说明理由；考点：一元二次方程的应用一、
10、考点讲解：1构建一元二次方程数学模型,常见的模型如下： 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等； 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据,常见的等量关系是 a1 x）2=b,其中 a 表示增长（降低）前的数据,x 表示增长率（降低率） , b 表示后来的数据；留意：所得解中,增长率不为负,降低率不超过 1； 经济利润问题：总利润 =（单件销售额单件成本） 销售数量；或者,总利润 =总销售额总成本； 动点问题：此类问题是一般几何问题的延长,依据条件设出未知数后,要想方法把图中变化的线段用未知数表示出来,再依据题目中的等量关系列出方程；2留意解法
11、的挑选与验根：在详细问题中要留意恰当的挑选解法,以保证解题过程简洁流畅,特殊要对方程的解留意检验,依据实际做出正确取舍,以保证结论的精确性二、经典考题剖析：C 【考题 1】（2022、深圳南山区） 课外植物小组预备利用学校仓库旁的一块空地,开创一个面积为 130平方米的花圃（如图 121）,准备一面利用长为 15 米的仓库墙面,三面利用长为 33 米的旧围栏,求花圃的长和宽解：设与墙相接的两边长都为x 米,就另一边长为332x 米, 第 4 页,共 12 页 依题意得x332 x130,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
12、- - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2x233x1300x 110x 213名师精编优秀资料2又 当 x 1 10 时,33 2 x 13当 x 2 132 时,33 2 x 2015 x 132 不合题意,舍去x 10答：花圃的长为 13 米,宽为 10 米【考题 2】（2022、襄樊）为了改善居民住房条件,我市方案用将来两年的时间,将城镇居民的住房面积由现在的人均约为 10 平方米提高到 12.1 平方米,如每年的增长率相同,就年增长率为（）A.9 B.10C. 11D.12 解：设年增长率为 x,依据题意得101+x 2
13、=12.1,解得 x1=0.1, x2 =2.1由于增长率不为负,所以 x=0.1；应选 D；【考题 3】（2022、海口）某水果批发商场经销一种高档水果 假如每千克盈利 10 元,每天可售出 500千克,经市场调查发觉,在进货价不变的情形下,如每千克涨价 1 元,日销售量将削减 20 千克,现该商场要保证每天盈利 6000 元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？解：设每千克水果应涨价 x 元,依题意,得5002 0 x （10+x）=6000整理,得 x 2 15x50=0解这个方程, x 1 =5, x 2 =10要使顾客得到实惠,应取 x=5 答：每千克应涨价 5 元点拨：
14、此类经济问题在设未知数时,一般设涨价或降价为未知数；应依据“ 要使顾客得到实惠” 来取舍根的情形【考题 4】如图, 在 ABC 中,B=90 ,AB=5 ,BC=7 ,点 P 从 A 点开头沿 AB 边向点 B 点以 1cm/s的速度移动,点Q 从 B 点开头沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动 . 4？ 第 5 页,共 12 页 （1）假如点 P、 Q 分别从 A、B 两点同时动身,经过几秒钟,PBQ 的面积等于（2）假如点 P、 Q 分别从 A、B 两点同时动身,经过几秒钟,PQ 的长度等于5？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -
15、- - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师精编 优秀资料C Q B P A 解：（1）设经过 x 秒钟,PBQ 的面积等于 4,就由题意得 AP=x ,BP=5x,BQ=2x, 1 1由2 BPBQ=4,得2（5 x）2x=4,解得, x 1 =1,x 2 =4当 x=4 时, BQ=2x=8 7=BC,不符合题意；故2x=1 （ 2）由 BP2+BQ2=52 得（ 5x）2+（2x）=52, 解得 x1=0（不合题意）,x2=2 所以 2 秒后, PQ 的长度等于 5；三、针对性训练：1小明的妈妈上周三在
16、自选商场花10 元钱买了几瓶酸奶,周六再去买时,正好遇上商场搞酬宾活动,同样的酸奶,每瓶比周三廉价05 元,结果小明的妈妈只比上次多花了2 元钱,却比上次多买了 2 瓶酸奶,问她上周三买了几瓶？2合肥百货大搂服装柜在销售中发觉：“ 宝乐” 牌童装平均每天可售出20 件,每件盈利40 元；为了迎接“ 十 一” 国庆节,商场打算实行适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽快削减库存；经市场调查发觉：假如每件童装降价 4 元,那么平均每天就可多售出 8 件；要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元,那么每件童装应降价多少？3在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上, 修筑同样宽的两条相互垂
17、直的道路,余下部分作为耕地,要使耕地面积为 540 米 2,道路的宽应为多少？20m 32m 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4小红的妈妈前年存了名师精编优秀资料.今年到期扣除利息税（利息税5000 元一年期的定期储蓄,到期后自动转存为利息的 20%）,共取得 5145 元.求这种储蓄的年利率 .（精确到 0.1%）5如图 12-3, ABC 中, B=90 ,点 P 从 A 点开头沿 AB
18、向点 B 以 1cm/s 的速度移动,点 Q 从B 点开头沿 BC 边向 C 点以 2cm/s 的速度移动；（1）假如 P、Q 分别从 A、B 同时动身,经几秒钟,使ABQ 的面积等于 8cm2. 2假如 P、Q 分别从 A、B 同时动身,并且 P 到 B 后又连续在 BC 边上前进, Q 以 C 后又连续在 AC边上前进,经几秒钟,使PCQ 的面积等于 12.6 cm2 ；1解：依题意,得：2（6-x） 2x=8 解这个方程得：x1=2 ,x2=4 即经过 2s,点 P 到距离 B 点 4cm 处,点 Q 到距离 B 点 4cm 处；经过 4s,点 P 到距离 B 点 2cm 处,点 Q 到
19、距离 B 点 8cm 处；故本小题有两解；（2）设经过 x 秒,点 P 移动到 BC 上,且有 CP=（14-x）cm,点 Q 移动到 CA 上,且命名 CQ=（2x-8）cm,过 Q 作 QD CB 于 D； CQD CAB ,QDAB62x8 ；2x8AC,即 QD=10依题意,得：16 2 x82（ 14-x）10=12.6,解这个方程得：x1=7 ,x2=11 经过 7s,点 P 在 BC 距离 C 点 7cm 处,点 Q 在 CA 上距离 C 点 6cm 处,使 S PCQ=12.6cm2 经过 11s,点 P 在 BC 距离 C 点 3cm 处,点 Q 在 CA 上距离 C 点 1
20、4cm 处,140,点 Q 已超出CA 范畴,此解不存在；故此题只有一解；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师精编 优秀资料中考真题1.钟老师出示了小黑板上的题目 如图 122）后,小敏回答： “ 方程有一根为 1”,小聪回答： “ 方程有一根为 2” 就你认为（）A只有小敏回答正确 B只有小聪回答正确C两人回答都正确 D两人回答都不正确2.解一元二次方程 x 2 x12=0,结果正确选项（）
21、Ax 1 =4, x 2 =3 Bx 1 =4,x 2 =3 Cx 1 =4,x 2 =3 D x 1 =4,x 2 =3 2 第 8 页,共 12 页 - - - - - - - - - 3.方程x x3x3解是（）Ax 1 =1 Bx 1=0,x 2 =3 Cx 1 =1,x 2 =3 Dx 1 =1,x 2 =3 4.如 t 是一元二次方程ax2 bx+c=0a 0）的根,就判别式 = b2 4ac 和完全平方式M=2at+b的关系是（）A =M B M C M D大小关系不能确定5.方程x 2 x10的根是（）A0 B1 C 0, 1 D0,1 6.已知一元二次方程x22x7=0 的两
22、个根为x 1,x2,就 x1 + x 2的值为（）A 2 B2 C 7 D7 7.已知 x 1、x2是方程 x2 3x1 0 的两个实数根,就11的值是 x 1x2A、3 B、 3 C、1D、1 3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -8.用换元法解方程x2 x2 x名师精编优秀资料）2 x6 时,假如设x2 xy,那么原方程可变形为（A、y 2 y60 B、y 2 y60 C、y 2 y60 D、 y 2 y6 0 9.方程 x 2 5x=0 的根是（）A0
23、B0,5 C5,5 D5 10.如关于 x 的方程 x 2 2xk=0 有实数根,就（）Ak1,Bk1 Ck 1 D k 1 11.假如一元二次方程 x 2 4x20 的两个根是 x 1 ,x 2 ,那么 x 1 x 2 等于（）A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 12.用换元法解方程 x 2 xx 2x6 时,设 x 2xy,那么原方程可化为（）2 2A. y y6 0 B. y y60 2 2C. y y6 0 D. y y60 13.设 x 1,x2是方程 2x 2 +3x-2=0 的两个根,就 x 1x2的值是 A-3 B 3 C2 3 D2 314.方程 x 3 -x=0 的解是
24、（）A0,1 B1,-1 C0,-1 D 0,1, 1 x2 5 x4 0 时,如设 x=y, 就原方程15.用换元法解方程 x 1 x 1 x+1 _ _ 16.两个数的和为 6,差（留意不是积）为 8,以这两个数为根的一元二次方程是 _ 17.方程 x 2 x=0 的解是 _ 18.等腰 ABC 中,BC=8,AB 、BC 的长是关于 x 的方程 x2 10x+m= 0 的两根,就 m 的值是 _. 19.关于 x 的一元二次方程ax2 +2x+1=0 的两个根同号,就a 的取值范畴是_. 第 9 页,共 12 页 20.解方程2 2x -9x+5=x-321.解方程： x3 2x2 3x
25、0. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师精编 优秀资料y=x+122.解方程组：2 x +y2=52023.解方程： 2（x1）2 +5（ xl）+2=024.解方程： x22x2=0 25.解方程： x2+5x+3=0 26.已知关于 x 的一元二次方程2 xk1 x60的一个根是2,求方程的另一根和k 的值27.已知关于x 的一元二次方程k4x23xk23k40的一个根为0,求 k 的值28.如图 123 为长方
26、形时钟钟面示意图,时钟的中心在长方形对角线的交点上,长方形的宽为厘米,钟面数字2 在长方形的顶点处,就长方形的长为_厘米（此题用到三角函数）中考猜测题一、基础经典题 44 分 一挑选题 每题 4 分,共 28 分 【备考 1】假如在 1 是方程 x2 +mx1=0 的一个根,那么m 的值为（） 第 10 页,共 12 页 A 2 B 3 C1 D 2 【备考 2】方程2 x x35x3的解是（）Ax3 . B x5C x 13,x 25D x322【备考 3】如 n 是方程2 xmxn0的根, n 0,就 m+n 等于（）A 7 B6 C1 D 1 【备考 4】关于 x 的方程2 xmxn0的
27、两根中只有一个等于0,就以下条件中正确选项（Am0,n0 Bm0,n 0 Cm 0,n = 0 Dm 0,n 0 【备考 5】以 52 6 和 5+26 为根的一元二次方程是（）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -Ax210x10Bx210x1名师精编优秀资料02 2Cx 10 x 1 0 Dx 10 x 1 0【备考 6】已知 x ,x 是方程 x 2 x3=0 的两根,那么 x 1 2 x 2 2值是（）49A1 B5
28、 C7 D、41 2 2x m 3 x m 0【备考 7】关于 x 的方程 4 有两个不相等的实根,那么 m 的最大整数是（）A2 B 1 C0 Dl （二）填空题（每题 4 分,共 16 分）【备考 8】已知一元二次方程 x 2 3x+1=0 的两个根为 x 1,x 2 那么（1+ x 1 ）（1+ x 2 ）的值等于 _. 【备考 9】已知一个一元二次方程 x 2 +px+l=0 的一个实数根的倒数恰是它本身,就 P 的值是 _. 【备考 10】如图,在ABCD 中,AE BC 于 E,AE=EB=EC=a ,且 a是一元二次方程 x 2 +2x 3=0的根,就ABCD 的周长是 _ A
29、D B C E 【备考 11】关于 x 的方程k1x2223k2xk2420的一次项系数是3,就 k=_ 【备考 12】关于 x 的方程a1 xaa1x50是一元二次方程,就a=_. 三、实际应用题（9 分）a（1+x）2=b,a 为起始时间的有关数量,b 为终止时间的有关此题为增长率问题,一般形式为数量【备考 13】 2 月 27 日广州日报报道：底广州自然爱护区掩盖率 即自然爱护区面积占全市面积的百分比） 为 465,尚未达到国家 A 级标准, 因此, 市政府打算加快绿化建设,力争到 底自然爱护区掩盖率达到 8以上,如要达到最低目标 8,就广州市自然爱护区面积的年平均增长率应是多少？（结果
30、保留三位有效数字）14. 据媒体报道,我国公民出境旅行总人数约 5000 万人次, 20XX 年公民出境旅行总人数约 7200细心整理归纳 精选学习资料 第 11 页,共 12 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师精编 优秀资料万人次,如 20XX 年、 20XX 年公民出境旅行总人数逐年递增,请解答以下问题：（1）求这两年我国公民出境旅行总人数的年平均增长率；（2）假如 20XX 年仍保持相同的年平均增长率,请你猜测 万人次？20XX 年我
31、国公民出境旅行总人数约多少15.商场某种商品平均每天可销售 30 件,每件盈利 50 元为了尽快削减库存,商场打算实行适当的降价措施经调查发觉,每件商品每降价 1 元,商场平均每天可多售出 2 件设每件商品降价 x元据此规律,请回答：（1）商场日销售量增加 件,每件商品盈利 元（用含 x 的代数式表示） ；（2）在上述条件不变、销售正常情形下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到 2100 元？2 2 216、当 m 是何值时,关于 x 的方程 m 2 x m 1 x 4 3 x（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）如 x=-2 是它的一个根,求m 的值； 第 12 页,共 12 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -