2022年三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识总结.docx-淘文阁

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1、名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思三角形“ 四心” 向量形式的充要条件应用学问点总结1O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0 ; 1如 O 是 ABC 的重心,就 S BOC S AOC S AOB3 S ABC 故 OA OB OC 0 ;PG 1 3 PA PB PC G为 ABC的重心 . 2O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ; 如 O 是 ABC 非直角三角形的垂心,就 S BOC：S AOC：S AOB tan A：tan B：tan C故 tan A OA t

2、an B OB tan C OC 02 2 23O 是 ABC 的外心 | OA | | OB | | OC | 或 OA OB OC 如 O 是 ABC 的外心就 S BOC：S AOC：S AOB sin BOC：sin AOC：sin AOB sin 2 A : sin 2 B : sin 2 C故 sin 2 A OA sin 2 B OB sin 2 C OC 0AB AC BA BC CA CBOA OB OC 04O 是内心 ABC 的充要条件是 | AB | AC | BA | | BC | | CA | | CB |引进单位向量,使条件变得更简洁；假如记 AB , BC ,

4、心是 BAC 的角平分线所在 P 直线；范例一将平面对量与三角形内心结合考查例 1O 是平面上的肯定点, A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满意OPOAABAC,0 ,就 P 点的轨迹肯定通过ABC的（）ABAC（A ）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心解析：由于AB 是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 ABe 和e2,又OPOAAP,就原式可化为APe 1e 2,由菱形的基本性质知AP 平分BAC ,那么在ABC中, AP 平分BAC ,就知选B. 第 1 页,共 10 页细心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - -

5、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思二将平面对量与三角形垂心结合考查“ 垂心定理”例 2H 是 ABC 所在平面内任一点,HA HB HB HC HC HA 点 H 是 ABC 的垂心 . 由 HA HB HB HC HB HC HA 0 HB AC 0 HB AC , 同理 HC AB,HA BC .故 H 是 ABC 的垂心 . （反之亦然（证略））例 3.湖南 P 是 ABC 所在平面上一点,如 PA PB PB PC PC PA,就

6、P 是 ABC 的（ D）A外心 B内心 C重心 D垂心解析 :由 PA PB PB PC 得 PA PB PB PC 0 .即 PB PA PC 0 , 即 PB CA 0就 PB CA ,同理 PA BC , PC AB 所以 P 为 ABC的垂心 . 应选 D. 三将平面对量与三角形重心结合考查“ 重心定理”例 4G 是 ABC 所在平面内一点,GAGBGC=0点 G 是 ABC 的重心 . OCOD ,证明作图如右,图中GBGCGE连结 BE 和 CE,就 CE=GB , BE=GCBGCE 为平行四边形D 是 BC 的中点, AD 为 BC 边上的中线 . 将GBGCGE代入GAG

7、BGC=0,得GAEG=0GAGE2GD,故 G 是 ABC 的重心 .（反之亦然（证略））例 5P 是 ABC 所在平面内任一点.G 是 ABC 的重心PG1PAPBPC. 3证明PGPAAGPBBGPCCG3PGAGBGCGPAPBPC G 是 ABC 的重心GAGBGC=0AGBGCG=0,即3PGPAPBPC由此可得PG1PAPBPC.（反之亦然（证略））3例 6 如 O 为ABC 内一点,OAOBOC0,就 O 是ABC 的（）A内心B外心C垂心D重心解析：由OAOBOC0得 OBOCOA ,如图以 OB、OC为相邻两边构作平行四边形,就OB由平行四边形性质知OE1OD,OA2O

8、E,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D；2四将平面对量与三角形外心结合考查例 7 如 O 为ABC内一点,OAOBOC ,就 O 是ABC的（）第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - A内心B外心C垂心D重心解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等；故O是ABC的外心 ,选 B；细心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思五将平面对量与三角形四心结合考查例 8已知向量OP ,1OP

9、2,OP 3满意条件OP + 1OP 2+OP 3=0,|OP |=| 1OP 2|=|OP 3|=1,|.求证 P1P2P3是正三角形 .（数学第一册（下） ,复习参考题五B 组第 6 题）证明由已知OP + 1OP2=-OP3,两边平方得OP 1OP 2=1,2同理OP 2OP 3=OP 3OP = 11 ,2|P 1P 2|=|P 2P 3|=|P 3P 1|=3 ,从而P1P2P3是正三角形 . 反之,如点O 是正三角形P1P2P3 的中心,就明显有OP + 1OP 2+OP 3=0 且|OP |=| 1OP2|=|OP 3即 O 是 ABC 所在平面内一点,OP + OP 2 + O

10、P 3 =0 且 | OP |=| OP 2 |=| OP 3 | 点 O 是正 P1P2P3的中心 . 例 9在 ABC 中,已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心；求证：Q、 G、 H 三点共线,且 QG:GH=1:2 ；【证明】：以 A 为原点, AB 所在的直线为 x 轴,建立如下列图的直角坐标系；设 A0,0 、 B（ x 1,0 ）、 Cx 2,y 2 , D、 E、F分别为 AB、BC、AC的中点,就有：D（x1,0、Ex12x2,y2、Fx2,y2由题设可设Q（x1,y3、H x2,y4, F D G Cx 2,y2 22222y Gx13x2,y2AHx2,y4,Q

11、Fx2x1,y2y33222BC x2x1,y2H E AHBCA AHBCx2x2x1y y40x Q y4x2x22x1yBx1,0 QFACQFACx2x2x1y2y2y30222y3x2x22x1y22y2y2QHx2x1,y4y3（2x2x1,3x2x22x1y2222y2QGx23x1x1,y2y3（2x2x1,y2x2x22x123632y2y2 第 3 页,共 10 页 2x2x1,3x2x22x1y212x22x1,3x2x22x166y632y2 =1QH3细心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

12、 - 名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思即QH=3 QG,故Q、G、H三点共线,且QG：GH=1： 2 OAOBOC. 例 10如 O、H 分别是ABC 的外心和垂心 .求证OH证明如 ABC 的垂心为 H,外心为 O,如图 . CHAB,连 BO 并延长交外接圆于D,连结 AD, CD. ADAB,CDBC.又垂心为H,AHBC, AH CD,CH AD,四边形 AHCD 为平行四边形,AHDCDOOC,故OHOAAHOAOBOC. 闻名的“ 欧拉定理” 讲的是锐角三角形的“ 三心” 外心、重心、垂心的

13、位置关系：（ 1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“ 欧拉线”；. 即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2 倍；（ 2）三角形的重心在 “ 欧拉线”上,且为外垂连线的第一个三分点,“ 欧拉定理” 的向量形式显得特殊简洁,可简化成如下的向量问题. 求证OG1OH例 11设 O、G、 H 分别是锐角ABC 的外心、重心、垂心. 3证明按重心定理G 是 ABC 的重心OG1 OAOBOC3按垂心定理OHOAOBOC由此可得OG1OH3补充练习1已知 A、B、 C 是平面上不共线的三点,O 是三角形 ABC 的重心,动点P 满意+2 OC 可得 P 不过重心,故OP =11 OA + 21OB+2O

14、C ,就点 P 肯定为三角形ABC 的（ B ）32A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点1.B取AB边的中点M , 就OA2OB 2 OM, 由 OP = 1 1 OA + 1 OB3 2 2MC,即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的一个三等分点,且点3OP3 OM2MC,MP3AB2,就为选 B. 2在同一个平面上有ABC 及一点满意关系式：2 OABC2OB2CA2OC2ABC的（D ）外心内心C 重心D 垂心P 为ABC的2 已知 ABC 的三个顶点A 、 B 、 C 及平面内一点P 满足：P AP BP

15、C0, 就（C ）外心内心C 重心D 垂心3已知 O是平面上一定点, A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P 满意：OPOAABAC,就 P的轨迹肯定通过ABC的（C ）第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - 外心内心C 重心D 垂心4已知ABC ,P 为三角形所在平面上的动点,且动点P 满意：细心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思PA PC PA PB PB PC 0,就 P 点为三角形的（D ）

16、外心内心 C 重心 D 垂心5已知ABC , P 为三角形所在平面上的一点,且点 P 满意：a PA b PB c PC 0,就 P 点为三角形的（B ）外心内心 C 重心 D 垂心2 26 在三角形 ABC 中 , 动点 P 满足：CA CB 2 AB CP, 就 P 点轨迹一定通过 ABC 的：（B ）外心内心 C 重心 D 垂心7.已知非零向量 AB 与 AC 满意 AB|AB | + AC|AC | BC=0 且AB|AB |AC AC | =1 2 , 就 ABC 为 A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

18、AC两边分别交于 M, N两点,且 AM xAB ,AN yAC ,就1 13；x y证点 G是 ABC 的重心,知 GA GB GC O,得 AG AB AG AC AG O,有 AG 1 AB AC ；又 M, N, G三点共线（ A 不在直线 MN上）,3于是存在 ,使得 AG AM AN 且 1,有 AG xAB yAC =1 AB AC ,31得x y 1,于是得1x 1y 3；3例讲三角形中与向量有关的问题教学目标： 1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简洁的三角形外形判定方法细心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,

19、共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 2、向量的加法、数量积等性质 3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题 4、数形结合教学重点：敏捷应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题教学过程：1、课前练习1.1 已知 O是 ABC内的一点,如OA2OB2OC2,就 O是 ABC的ACABAC0,就A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心1.2 在 ABC中,有命题ABACBC；ABBCCA0；如ABABC为

20、等腰三角形；如ABAC0,就 ABC为锐角三角形,上述命题中正确选项A、 B、 C、 D、2、学问回忆 2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简洁的三角形外形判定方法 2.2 向量的有关性质2.3 上述两者间的关联3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题例 1、已知ABC中,有ABaACBC0和ABAC1, 试判定ABC的外形；2练习 1、已知ABC中,ABACABACab0,试判定ABC的外形；AB,BCb,B 是 ABC中的最大角,如4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例 2、已知 O是 ABC所在平面内的一点, 满意OA2BC2OB2AC2OC2AB2,就 O是 ABC

21、的A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例 3、已知 P 是 ABC所在平面内的一动点,且点P 满意OPOAABAC,AB0 ,就动点 P肯定过ABAC ABC的OPOA1 BC 2,0,A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心练习 2、已知 O为平面内一点, A、B、C平面上不共线的三点,动点 P 满意就动点 P 的轨迹肯定通过ABC的第 6 页,共 10 页 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心细心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结精品学习资料

22、 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思例 4、已知 O是 ABC所在平面内的一点,动点 P 满意OPOAABBAC,0 ,就动ABcosACcos C点 P 肯定过ABC的、内心点P满足A、重心 B、垂心 C、外心 D练习3、已知O是ABC所在平面内的一点,动OPOB2OCABBAC,0,就动点 P 肯定过ABC的AC,求证：ABcosACcos C、内心A、重心 B、垂心 C、外心 Dy例 5、已知点 G是的重心,过G作直线与 AB、 AC分别相交于M、N两点,且AMxAB ,AN113xy6、小结处理与三角形有关的向量问题时,要允

23、分留意数形结合的运用,关注向量等式中的实数互化,合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键；7、作业 51、已知 O是 ABC内的一点,如OAOBOC0,就 O是 ABC的cOC0,就 O是A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心2、如 ABC的外接圆的圆心为O,半径为 1,且OAOBOC0,就OAOB等于A、1 B 2、 0 C、1 D、123、已知 O是 ABC所在平面上的一点,A、B、C、所对的过分别是a、b、c如aOAbOB ABC的ABC为正三A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心4、已知 P 是 ABC所在平面内与A 不重合的一点,满意ABAC3AP,就 P是 ABC的A、重

24、心 B、垂心 C、外心 D、内心,求证：、平面上的三个向量OA 、 OB 、 OC 满意OAOBOC0,OAOBOC1角形；6、在 ABC中, O为中线 AM上的一个动点,如AM2,求OAOBOC三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体,有方向,大小,双重性,不能比较大小；在高中数学“ 平面对量”细心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（必修 4 其次第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思章

25、）的学习中,一方面通过数形结合来讨论向量的概念和运算；另一方面,我们又以向量为工具,运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题；在平面对量的应用中,用平面对量解决平面几何问题时,第一将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示, 然后挑选适当的基底向量,将相关向量表示为基向量的线性组合,把问题转化为基向量的运算问题,最终将运算的结果再仍原为几何关系；下面就以三角形的四心为动身点,应用向量相关学问,奇妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质；既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的奇妙特殊的数学美感；一、 “重心”的向量风采【命题 1】已知 G 是ABC 所在平面上的一点,如 G

26、A GB GC 0,就 G 是ABC 的重心如图 . CPA BA GB A M CO图图【命题 2 】已知 O 是平面上一定点 , A, ,C 是平面上不共线的三个点 , 动点 P 满足OP OA AB AC ,0,就 P 的轨迹肯定通过ABC 的重心 . 【解析】由题意 AP AB AC ,当 0, 时,由于 AB AC 表示 BC 边上的中线所在直线的向量,所以动点 P 的轨迹肯定通过ABC 的重心,如图 . 二、 “垂心”的向量风采【命题 3】P是ABC所在平面上一点,如PAPBPBPCPCPA,就 P 是ABC的垂心【解析】0,即由 PA

27、 PBPB PC ,得PBPAPCPB CA0,所以 PBCA同理可证PCAB, PABC P 是ABC的垂心如图. CAEBCPAPHMB 第 8 页,共 10 页细心整理归纳精选学习资料图OF图 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【命题4 】已知 O 是平面上一定点 , A, ,C 是平面上不共线的三个点 , 动点 P 满足AB ACOP OAAB cos B

28、 AC cos C,0,就动点 P的轨迹肯定通过ABC 的垂心【解析】由题意 AP AB AC,由于 AB ACBC 0,AB cos B AC cos C AB cos B AC cos C即 AB BC AC BCBC CB 0 ,所以 AP 表示垂直于 BC 的向量,即 P 点在过点 A 且垂直AB cos B AC cos C于 BC 的直线上,所以动点 P 的轨迹肯定通过ABC 的垂心,如图 . 三、 “内心”的向量风采【命题 5】已知 I 为ABC所在平面上的一点,且 ABc,ACb,BCa如aIA bIB cIC0,就 I 是ABC的内心BCOcaIPAbCAB图图【解析】 IB

29、IAAB , ICIAAC ,就由题意得abc IAbABcAC0,bABcACACABABACACABABAC,ABACAIabccABACAB AB与AC AC分别为 AB 和 AC 方向上的单位向量,bABAC AI 与BAC平分线共线,即AI平分BAC同理可证： BI 平分 ABC, CI 平分 ACB从而 I 是【命题 6 】已知 O 是平面上一定点 , A, ,ABC 的内心,如图 . C 是平面上不共线的三个点 , 动点 P 满足细心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 10

30、页 - - - - - - - - - 名师归纳总结精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思OPOAABAC,0,就动点 P 的轨迹肯定通过ABC的内心ABAC【解析】由题意得APABAC,当0,时, AP 表示BAC 的平分线所在直线方向ABAC的向量,故动点P的轨迹肯定通过ABC的内心,如图. 四、“ 外心” 的向量风采【命题 7】已知 O 是ABC所在平面上一点,如2OA2OB2OC2,就 O 是ABC的外心的外【解析】COCBMPABAOCO图如图 2 OAOB22 OC ,就OA2OB2, OAOBOC ,就 O

31、是ABC心,如图；【命题 7 】已知 O 是平面上的一定点 , A, ,C 是平面上不共线的三个点 , 动点 P 满足OP O B O C A B A C,0,就动点 P 的轨迹肯定通过ABC 的外心；2 AB c o s B AC c o s【解析】由于 OB OC 过 BC 的中点, 当 0, 时,AB AC 表示垂直于 BC 的2 AB cos B AC cos C向量（留意：理由见二、4 条说明；）,所以 P 在 BC 垂直平分线上,动点 P 的轨迹肯定通过ABC 的外心,如图；细心整理归纳精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - -

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