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1、|一、 (25 分)填空题1 (6 分)24kRM2 , (4 分)fVuf3 (6 分)10gTpA4 , , (9 分)17.ms812.0s5.40Vh2eEpcy2keVm二、 (20 分)1令 表示物块的质量,物块在斜面上滑动的加速度, (1)11sincosincosgag物块滑到斜面底端的速度(2)0 12ct4.0m/ssinhv以传输带为参照系,物块滑到传输带的初速度大小。 (3)205.0/sV运动方向与传输带边缘的夹角 满足。 (4)4tan3物块在传输带上作减速运动,其加速大小为|。 (5)22mga当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离, (6)201vsag物
2、块不超过传输带的边缘对应的最小摩擦系数 应满足2(7)20sinsivdg因此可得。 (8)20sin.5vgd2物块对传输带的摩擦力大小, (9)02Fv方向与 的方向相同。从地面参照系来看,传送带速度为 ,单位时间内物0 V块对传输带所做的功, (10)cosWFV因此负载所引起的附加功率。 (11)2640P考虑到无负载时电机的输出功率。2003IER(12)有负载时电机的输出功率为|。 (13)01WP设有负载时的工作电流为 ,则I, (14)2IER解之得。 (15)10A评分标准:(2)式 2 分, (3) 、 (4)式共 2 分, (6)式 2 分, (7)式 3 分,(8)式
3、1 分, (9)式 4 分, (10)式 2 分, (13)式 2 分, (15)式 2 分。三、 (20 分)设轻杆的杆长为 ,当杆与水平线的夹角为 时,球 1 和球 2 的速度分别为l 和 ,杆转动的角速度为 。因机械能守恒,有1v2 。 (1)2210sinsimgllmv又因, (2)12vl可由(1) 、 (2)解得(3)sin3gl轻杆与两小球构成的系统对转轴的角动量, (4)12Lmlv由角动量定律有。 (5)2cossLgllt根据角加速度 的定义|,t(6)由(2) 、 (4) 、 (5) 、 (6)各式得。cos3gl(7)当两球都未脱离轻杆时,两球都绕转轴作圆周运动,球
4、1 的切向加速度和法向加速度分别为(8)lta(9)lt以 表示沿垂直于轻杆方向球 1 与杆的相互作用力的大小,以 表示沿着1N 1f轻杆方向球 1 与杆的相互作用力的大小,根据牛顿第二定律,有, (10)2cos2ltmga(11)1inltf由(3) 、 (9) 、 (10) 、 (11)各式得。 (12)14cosNg。 (13)0in3fm对 2 球作同样的分析,沿垂直于轻杆方向球 2 与杆的相互作用力的大小与沿着轻杆方向球 2 与杆的相互作用力的大小 分别为N f, (14)24cos3g|。 (15)21sin3fmg由(12) 、 (14)式可知,杆与小球 1、杆与小球 2 的最
5、大静摩擦力相等,而(13) 、 (14)式表明小球 1 与杆的摩擦力大于小球 2 与杆的摩擦力,故在转动过程中,小球 1 与杆之间的摩擦力先达到最大静摩擦力,故小球 1 先滑动。设 1 球开始滑动时,细杆与水平线夹角为 ,1则 ,11fN即 , (16)103sincos34mgg由(16)式并代入数据得。 (17)16当 时,球 1 开始向外滑动。由于球 1 的初始位置紧靠轻杆末端,球 1从开始滑动到脱离细杆的时间可忽略不计,因此球 1 脱离细杆与水平线夹角也为 。16球 1 一旦脱离轻杆,因轻杆没有质量,球 2 与轻杆间的相互作用立即消失,此后球 2 只受重力作用而作斜舞女运动,注意到(2
6、) 、 (3) 、 (7)各式,抛出时的初速度。 (18)10sin3glvl初速度的方向与水平线的夹角。 (19)0123|在球 2 作抛体运动的过程中,球与轻杆间虽无相互作用,但球仍套在杆上,轻杆将跟着球运动,但不会干扰小球的运动。当球离转轴的距离再次等于时,球 2 便脱离轻杆。建立如图所示的坐标系 ,根据斜抛运动规律可l Oxy得任意 时刻(取球 2 开始作抛体运动的时刻为计时起点)球 2 的位置坐标t, (20)10cosxlvt, (21)2iniyltg球 2 脱离细杆时有。 (22)2lx利用(17) 、 (18) 、 (19)各式得, (23)203lttg从而解得。 (24)
7、153ltg此时。 (25)2561xly设球 2 脱离细杆时细杆与水平线夹角也为 (如图) ,则2, (26)235cos6xl|(或 弧度) 。 (27)235arcos78.261.36评分标准:(3)式 2 分, (7)式 3 分, (12)(15)式各 1 分, (16)式 2分, (17)式 1 分, (18)式 2 分, (19)式 1 分, (20)(22)式各 1 分,(26) 、 (27)式各 1 分。四、 (15 分)解法 1:以 表示质点 的质点, 表示连线 与竖直方向的夹角, 表示转动角mBBC速度, 表示 间排斥力的大小。根据牛顿定律有Cf, (1)21 1sins
8、isinABBfmA, (2)coc0Cff, (3)22 2sinsisinACBff。 (4)coc0Cff由(1) 、 (3)两式并利用(2) 、 (4)两式可得。 (5)1122sinsinABCABf 考虑到几何关系 21sinA(6)并利用已知 和 的表示式。可由(5)得到ABfC|(7)212sinaABC又,由(2) 、 (4)式可得 。 (8)21cosABCf带入已知的 和 的表达式可得ABf。 (9)21cosC联立(7) 、 (9)从而有。 (10)2211sincosinco如果 ,则意味着方程2(11)sinco0C在 区间有两个不同的解,其中 为某一合适的常数。这
9、要求函数02, C在 区间不能是单调函数,也就是说 和 不sinco02, sin2cos能同时为单调增函数或单调减函数。因此当 增大时,若 增大,则i应减小;反之,若 减小,则 应增大,故 与 同2cossin2cos 2号。因此有(12)0。 (13)2a对 ,可知 在 及 时均为零,因此 在2sinco022sinco|区间一定存在极值点,意味着方程(11)在 合适选取的情况下必02, C有两个或两个以上的不同解。对 亦然。因此条件(12) 、 (13)是符合2a题意要求的充分必要条件。评分标准:(1)(4)式各 1 分, (6)式 1 分, (10)式 6 分, (12) 、(13)式
10、及其以下说明共 4 分。解法 2:如图,设 、 间的排斥力是 ,它们受到 的吸引力分别是 、 ,BCfAABfC向心力分别是 、 ,距离 分别是 、 ;根据三1f21r2角形的相似关系,有, (1a)1CABfrD。 (2a)2ff以上两式相比可得(3a)12CABffr依题意有, (4a)12ABCfr, (5a)1122sinfEFr, (6a)1cosDBA将(4a)(6a)代入(3a )得。 (7a)112221incossrr|由(7a)得。 (8a)2211sincosinco之后的讨论与“参考解答 1”相同。评分标准:考虑“参考解答 1”。五、 (15 分)以 表示环境中大气的压强,则初始时装入容器的空气的压强为 ,温度ap ap为 ,以 表示其体积。当容器与冰山接触,达到平衡时,容器中空气的TV温度为 ,体积减小为 ,根据题意,空气经历的过程为等压过程,故有10(1)01aT在这一过程中,容器中空气内能的增加量为, (2)02.5aaUpV大气所考察空气做功为(3)0aaWv若以 表示此过程中冰山传给容器中空气的热量,根据热力第一定律有Q。 (4)U由以上四式得(5)13.5aaTpV(5)式给出的 是负的,表示在这一过程中,实际上是容器中的空气把热Q量传给冰山。