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1、.第 1 章 矩阵习题1.写出下列从变量x,y到变量x1,y1的线性变换的系数矩阵：(1)2.(通路矩阵)a省两个城市a1,a2和b省三个城市b1,b2,b3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.4。b1a1。31。b2a2。22。b3x1 x；(2)y 01x1 xcos ysiny xsin ycos123111 1T3.设111，B B 1 24，求 3ABAB-2A A和A AB B.1110514.计算211(1)3100122-可修编.a11(2)(x,y,1)a12b1a12a22b2b1x b2y c1y1
2、3z1 z2 x1 2y1y35.已知两个线性变换x2 2y13y22y3,y22z1 z3,写出它们的矩阵表示y z 3zx 4y y 5y2312333式,并求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换.6.设f(x)=a0 x+a1x+am，A A是n阶方阵，定义f(A A)=a0A A+a1A A+amE E.mm-1mm-1 21当f(x)=x-5x+3，A A 33时，求f(A A).22.7.举出反例说明下列命题是错误的.(1)若A A=O O，则A A=O O.2(2)若A A=A A，则A A=O O或A A=E E.2.7.设方阵A A满足A A-3A A-2E E=O
3、 O，证明A A及A A-2E E都可逆，并用A A分别表示出它们的逆矩阵2-可修编.8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：1 231(1)A A 2 46 21231 31 42 201101(2)B B.12134143304.9.对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B B和A A之间的关系式.1012A A 23121121r22r11012 033 211211002 033 2=B B.c3c111311410910.设P PAPAP ，其中P P ，求A A.11021-可修编.400 11.设A A 030，矩阵B B满足ABAB=A+A+2B B，求B B.00 210
4、2,利用初等行变换求A A12.设A212533复习题一-1.1.设A A,B B,C C均为n阶矩阵，且ABCABC=E E,则必有（）.(A)ACB ACB=E E；(B)CBA CBA=E E；(C)BAC BAC=E E；(D)BCA BCA=E E.a112.设A A a21a31a12a22a32a13a21a23,B B a11a aa331131a22a12a32 a12a13,a33 a13a236.010100P P1100,P P2010，则必有().001101(A)AP AP1P P2=B B；（B）APAP2P P1=B B；(C)P P1P P2A A=B B；(
5、D)P P2P P1A A=B B.3.设A A为4阶可逆矩阵，将A A的第列与第列交换得B B，再把B B的第 2 列与第 3 列交换得C C，设00P P10100110100，00P P 20101000000-1-10010，则C C-1=（）.0001-1-1(A)A A P P1P P2；(B)P P1A A P P2；(C)P P2P P1A A；(D)P P2A A P P1.4.设n阶矩阵A A满足A A-3A A+2E E=O O，则下列结论中一定正确的是（）.2(A)A A-E E不可逆；(B)A A-2E E不可逆；(C)A A-3E E可逆；(D)A A-E E和A
6、A-2E E都可逆.5.设A A=(1,2,3)，B B=(1,1/2,1/3)，令C C=A A B B，求.T6.证明：如果A A=O O，则(E E-A A)=E E+A A+A A+A A，k为正整数.-12kk-1-可修编.137.设A A,B B为三阶矩阵,A A 00014000,且A A-1BABA=6A A+BABA，求B B.17OA A8.设n阶矩阵A A及s阶矩阵B B都可逆，求B BO.18.0a1000 00a2009.设X X（a1a2an 0），求X X-1.0000an1an0000第 2 章 行列式习题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组x1 2x2 x3
7、 22x1 x23x31 x1 x2 x3 0-可修编.31x2.当x取何值时，4x00.10 x3.求下列排列的逆序数：(1)315624；abc4.证明：aababca3.a2ab3a2bc10(2)13(2n-1)24(2n).5.已知四阶行列式|A A|中第 2 列元素依次为 1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0,求|A A|.6.计算下列行列式:1111(1)11111111111 1xyx y(2)yx yxx yxy0111(3)101111011110-可修编.1x12(4)1x11x13x22x23x21 a11（5）Dn1111，其中a1a2an01
8、a21 1 an7设n阶矩阵A A的伴随矩阵为A A*，证明：|A A*|=|A A|，(n2)n-112.-18.设A A,B B都是三阶矩阵，A A*为A A的伴随矩阵，且|A A|=2，|B B|=1，计算|-2A A*B B|211-1A A 2109.设，利用公式求A A.111复习题二-可修编.1设A A,B B都是n阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A A*、B B*，证明：(ABAB)*=B B*A A*34432.设A A 00000000-1，求A A20223.已知A A1,A A2,B B1,B B2都是 31 矩阵，设A A=(A A1,A A2,B B1,)，B B=(A
9、 A1,A A2,B B2)，|A A|=2，|B B|=3，求|A+A+2 2B B|14.4设A A,B B都是n阶方阵，试证：E EB BA AE EE EABAB第 3 章向量空间习题1.设 1=(1,-1,1),2=(0,1,2),3=(2,1,3)，计算 31-22+32.设 1=(2,5,1,3),2=(10,1,5,10),3=(4,1,-1,1),且 3(1-x x)+2(2+x x)=5(3+x x),求向量x x.TTTTTT3.判别下列向量组的线性相关性:(1)1=(-1,3,1),2=(2,-6,-2),3=(5,4,1)；TTT-可修编.(2)1=(2,3,0),2
10、=(-1,4,0),3=(0,0,2).4.设1=1,2=1+2,3=1+2+a a3 3，且向量组1,2,3线性无关，证明向量组1,2,3线性无关5.设有两个向量组 1,2,3和 1=1-2+3,2=1+2-3,3=-1+2+3，证明这两个向量组等价.TTT16.6.求向量组 1=(1,2,-1),2=(0,1,3),3=(-2,-4,2),4=(0,3,9)的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.7.设 1,2,n是一组n维向量，已知n维单位坐标向量1,2,n能由它们线性表示，证明：1,2,n线性无关8.设有向量组1,2,3,4,5，其中1,2,3线性无关，4=a1+b2,5
11、=c2+d3(a,TTTTb,c,d均为不为零的实数)，求向量组 1,3,4,5的秩-可修编.9.设矩阵A A=(1,2,n),B B=(n,n-1,1)，求秩R(A A B B).T210.设矩阵A A 14318111 262691214 24，求A A的秩，并写出A A的一个最高阶非零子式.79.1211.已知矩阵A A 113 0 4 2，若A A的秩R(A A)=2，求参数t的值.t5t 40 2120212.设A A 013-35 2615194 43，求A A的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组.5-可修编.213.设A A为n阶矩阵，E E为n阶单位矩阵，证明：如果A A=
12、A A,则R(A A)+R(A A-E E)=n14.已知向量空间R的两组基为3100-11 0 11,21,31和 11,21,31，001011 求由基 1,2,3到基 1,2,3的过渡矩阵.复习题三k11.设矩阵A A 11111k11，已知A A的秩为 3，求k的值.1k111k20.2设向量组A A:1,s与B B:1,r，若A A组线性无关且B B组能由A A组线性表示为(1,r)(1,s)K K，其中K K为sr矩阵,试证：B B组线性无关的充分必要条件是矩阵K K的秩R(K K)r.3设有三个n维向量组A A：1,2,3；B B：1,2,3,4；C C：1,2,3,5若A A组
13、和C C组都线性无关，而B B组线性相关，证明向量组1,2,3,4-5线性无关4 设向量组A A:1=(1,1,0),2=(1,0,1),3=(0,1,1)和B B:1=(-1,1,0),2=(1,1,1),3=(0,1,-1)TTTTTT-可修编.(1)证明：A A组和B B组都是三维向量空间R3的基；(2)求由A A组基到B B组基的过渡矩阵；(3)已知向量 在B B组基下的坐标为(1,2,-1),求 在A A组基下的坐标T第 4 章 线性方程组习题x1 x2 51.写出方程组2x1 x2 x3 2x41的矩阵表示形式及向量表示形式.5x 3x 2x 2x 323412.用克朗姆法则解下列
14、线性方程组 bx ay 2ab 2cy 3bz bc,其中abc 0cx az 0 x1 x2 x3 03.问,取何值时，齐次线性方程组x1x2 x3 0有非零解？x 2x x 023122.x1 x2 k x3 424.设有线性方程组-x1 kx2 x3 k，讨论当k为何值时，(1)有唯一解？(2)有无穷x x 2x 4231多解？(3)无解？x18x210 x3 2x4 05.求齐次线性方程组2x1 4x25x3 x4 0的一个基础解系.3x 8x 6x 2x 02341-可修编.6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1,2,3是它的三个解向量，且1=(2,3,4,5)T,2+
15、3=(1,2,3,4)T，求此方程组的的通解7.求下列非齐次线性方程组的通解：x1 x2 52x1 x2 x3 2x415x 3x 2x 2x 3234124.12118.设有向量组A A：12,21，31及向量 3，3101问向量 能否由向量组A A线性表示？9.设*是非齐次线性方程组AXAX=b b的一个解，1,2,n-r是它的导出组的一个基础解系，证明：（1）*,1,2,n-r线性无关；（2）*,*+1,*+2,*+n-r线性无关复习题四12121.设A A 01aa，且方程组AXAX=的解空间的维数为 2，则a=.1a01-可修编.2设齐次线性方程组a1x1+a2x2+anxn=0,且
16、a1,a2,an不全为零，则它的基础解系所含向量个数为.3.设有向量组：1=(a,2,10),2=(-2,1,5),3=(-1,1,4)及向量=(1,b,-1)，问a,b为何TTTT值时,（1）向量 不能由向量组线性表示；（2）向量 能由向量组线性表示，且表示式唯一；（3）向量 能由向量组线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式4设四元齐次线性方程组x1 x2 x3 0 x1 x2 0（）（）x x 0 x x x 043422求:(1)方程组()与()的基础解系；(2)方程组()与()的公共解26.5设矩阵A A=(1,2,3,4)，其中2,3,4线性无关，1=22-3，向量=1+2+3+4
17、，求非齐次线性方程组Ax=Ax=的通解a1b1c16.设a2,b2,c2,证明三直线abc333l1:a1x b1y c1 022l2:a2x b2y c2 0ai bi 0,i 1,2,3l:a x b y c 03333相交于一点的充分必要条件是向量组,线性无关，且向量组,线性相关第 5 章矩阵的特征值和特征向量习题1.已知向量 1=(1,-1,1)，试求两个向量 2,3，使 1,2,3为R的一组正交基T32.设A A,B B都是n阶正交矩阵，证明ABAB也是正交矩阵-可修编.3.设A A是n阶正交矩阵，且|A A|=-1，证明：-1 是A A的一个特征值 212 4.求矩阵533的特征值
18、和特征向量.10 25.已知三阶矩阵A A的特征值为 1,2,3，计算行列式|A A-5A A+7E E|3228.1 2 4500 x 2与0y0相似，求x,y；并求一个正交矩阵P P，6.设矩阵A A 2 4 2100 4使P P-1APAP=7.将下列对称矩阵相似对角化：（1）2 20 21 20 20-可修编.400（2）0310138.设 是可逆矩阵A A的特征值，证明：(1)的特征值时，求A A*的特征值9.设三阶实对称矩阵A A的特征值为 1=6,2=3=3，属于特征值 1=6 的特征向量为A A是A A*的特征值(2)当 1,-2,3 是 3 阶矩阵A Ap p1=(1,1,1
19、)T，求矩阵A A复习题五30.1.设n阶矩阵A A的元素全为 1，则A A的n个特征值是2.已知 3 阶矩阵A A,A A-E E,E E+2A A都不可逆，则行列式|A A+E E|=1a10003.设A A a1b，B B 010，已知A A与B B相似，则a,b满足1b10024.设A A为 2 阶矩阵,1,2为线性无关的 2 维列向量，A A1=0,A A2=21+,2，则A A的非零特征值为.2015.已知矩阵A A 31x可相似对角化，求x4056.设矩阵A A满足A A-3A A+2E E=O O，证明A A的特征值只能是 1 或 22 212 TA A 5a37.已知p p1
20、=(1,1,-1)是对应矩阵的特征值的一个特征向量1b 2(1)求参数a,b及特征值；(2)问A A能否相似对角化？说明理由-可修编.8.设A A 32109，求(A A)=A A-5A A23第 6 章 二次型习题1.写出下列二次型的矩阵表示形式：222f x12 x2 x3 x4 2x1x2 4x1x3 2x1x4 6x2x3 4x2x4 1112 2所对应的二次型2.写出对称矩阵A 101 23232.2223.已知二次型f(x1,x2,x3)x1 x2 ax3 4x1x2 6x2x3的秩为，求a的值2224.求一个正交变换将f(x1,x2,x3)2x1 3x2 3x3 4x2x3化成标
21、准形2225.用配方法将二次型f x1 3x2 5x3 2x1x2 4x1x3化成标准形，并写出所用的可逆线性变换-可修编.2226.设二次型f 2x13x23x32ax2x3(a 0)，若通过正交变换x Py化成标准形22f y12 2y2 5y3，求a的值7.判别下列二次型的正定性：222（1）f 2x1 6x2 4x3 2x1x2 2x1x32222（2）f x1 3x2 9x319x4 2x1x2 4x1x3 6x2x412x3x434.2228.设f x1 x2 5x3 2ax1x2 2x1x3 4x2x3为正定二次型，求a的取值围复习题六1.设A A为mn矩阵，B B=E E+A
22、A A A，试证：0 时，矩阵B B为正定矩阵T02.设A A 100100000,写出以A A,A A-1为矩阵的二次型，并将所得两个二次型化成标准形021012-可修编.2223.已知二次曲面方程x1 x2 ax32bx1x22x1x35，通过正交变换X=PYX=PY化为椭圆柱面方程y12y25，求a，b的值221012（kE E A A）4.设矩阵A A 020，B B，其中k为实数，求对角矩阵，使B B101与相似，并讨论k为何值时，B B为正定矩阵测试题一一、计算题：21.计算行列式Dn13111.11 n 136.0 1103T02设A，B 035，计算A B01 223设A、B都
23、是四阶正交矩阵，且B 0，A*为A的伴随矩阵,计算行列式2BAA*12，计算行列式B22E4设三阶矩阵A与B相似，且A 3105设A 11二、解答题：23T6设i(1,ti,ti,ti)i 1,2,3,4，其中t1,t2,t3,t4是各不相同的数，问 4 维非零向量能02 a 2，且A的秩为 2，求常数a,b的值1b4 2否由1,2,3,4线性表示？说明理由 x1 2x2 x3 x4 07求齐次线性方程组3x1 6x2 x33x4 0的一个基础解系5x 10 x x 5x 02341 x1 x2 kx318问k取何值时，线性方程组x1 kx2 x3 kkx x x k2231(1)有唯一解；(
24、2)有无穷多解；(3)无解9已知四阶方阵A（1,2,3,4），其中1,2,3线性无关，4233，求方程组Ax 1234的通解10三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3.矩阵A的属于特征值1,2 的特征向量分别是1(1,1,1)T,2(1,2,1)T,求A的属于特征值3的所有特征向量,并求A的一个相似变换矩阵P和对角矩阵,使得PAP.1三、证明题:-可修编.11设1 212，2 32 23，3 43 31，且1,2,3线性无关，证明：1,2,3也线性无关12设A为实对称矩阵，且满足A A 2E O，证明A 2E为正定矩阵2测试题二一、填空题:、若规定自然数从小到大的次序为标准次序，则排列13478
25、2695 的逆序数为；、已知A为三阶正交矩阵，且A，则AA*=；1213x2、设方阵A=，若A不可逆，则x；5 42、设P1AP，其中P 23106，则=；A 4501、“若向量组1,2,3线性无关，向量组2,3,4线性相关，则4一定能由2,3线性表示”该命题正确吗？。二、计算下列各题:12330nnn101、计算行列式D 1 2n1 2 3013 52、设A2，B 2，且C AB，求C31 103、利用初等行变换求矩阵A 213812 2115的秩，并写出矩阵A的列向量组的一个0331110 412.极大线性无关组 x1 x23x3 x4 1三、设非齐次线性方程组3x1 x2 x39x4 7
26、x 5x 11x 13x 32341（1）求它相应的齐次线性方程组的一个基础解系；（2）求原方程组的通解222四、求一个可逆变换将二次型f 2x1 3x2 3x3 4x2x3化为标准形，并判别其正定性a11 1 五、设11,2a,31,a，11aa2 问a为何值时，可由1,2,3线性表示，且表示式不唯一？并说明不唯一的理由200六、已知矩阵A与B相似，其中A 032，计算行列式2B23E.023七、证明题:13，233是齐次线性方程组Ax 0的一个基础解系，2，、已知1，证明12，也是它的一个基础解系、设A、B均为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且B E A1E A，证明B E1A E2测试题三一
27、、填空题:-可修编.x1 x2 x3 0已知齐次线性方程组2x1 3x2 ax3 0有非零解，则a应满足的条件是；4x1 9x2 a2x3 0已知A为三阶矩阵，且A=2，则AA*=；已知两个线性变换x1 y1 2y2 3yy1 2z1 3z23 y和xy2 3z1 4z2，则225y3y3 2z1 z2从z1,z2到x1,x2的线性变换为；若二次型f(xx2221,x2,x3)21 x2 x3 2x1x2 kx2x3是正定的，则k的取值围是；设A为实对称矩阵，为非零向量，且A 2，A 3，则T=二、计算下列各题:0aa1计算行列式Da0an aa02设P1AP，其中P 1 111，1001，计
28、算11A三、解答题:设向量组：11，11，11 0 1231，4 3，5211 231（1）求向量组的秩，并写出它的一个极大无关组；（2）令A（1，2，3，4），求方程组Ax 5的通解四、解答或证明下列各题:1命题一：“若方阵A满足A2 A，则AO或A E”40.命题二：“若方阵A满足A2 A，则A 0或A E 0”以上两个命题是否正确？若正确给出证明，若不正确举例说明之2设是四元非齐次线性方程组Ax b的一个解，1,2是对应的齐次线性方程组的解空间的一组基，证明，1,2线性无关01五、解答题:设矩阵A 00（1）求矩阵A的特征值；2100000021012（2）令BA2A3E，求一个对角矩阵
29、，使B与相似；（3）求以A为矩阵的二次型测试题四一、填空题：T61.设A A=(-1,0,1)，B B=（1,2,3），则(A A B B)=；111 a2bb2；b32.行列式1 1 a1 1 a33.设四阶方阵A A、B B满足ABAB+2B B+E E,且|A A+2E E|2，则|B B|；4.设A A为n阶方阵,且|A A|=2,|3E EA A|=0,则A A的伴随矩阵A A*必有一个特征值是；1115.设矩阵A 11 x,已知齐次线性方程组AX=AX=的解空间的维数为 2,则x=.222二、选择题：1.下列集合中不能构成向量空间的是().（A）(x1,xn)xiR且x1+xn=1
30、；（B）(x1,xn)xiR且x1+xn=0；（C）(0,x2,xn)TTTxiR；（D）=11+ss,iR,i为n维向量.-可修编.a11a122设A a21a22a31a32a13a21a22 a23a23,B a11a12 a13aa3331a32 a33a23a13,a33 010 100 P 100,Q 010,则A A=（）001 011 （A）Q Q BPBP；（B）P P BQBQ；（C）QBPQBP；（D）PBQPBQ.-1-1-1-13.n（n3）维向量 1 1,2 2,3 3线性无关的充分必要条件是（）(A)1 1,2 2,3 3中任意两个向量线性无关；(B)1 1,2
31、2,3 3全是非零向量；(C)对于任何一组不全为零的数k1,k2,k3，都有k11 1+k22 2+k33 3；(D)1 1,2 2,3 3能由单位坐标向量1 1,2 2,3 3线性表示4设n阶方阵A A、B B满足ABAB=,则下列命题中错误的是().(A)若|A A|0，则B B=O O；(B)若R(A A)=r，则R(B B)n-r；(C)|A A|、|B B|中至少有一个为零；(D)若B BO O，则A A=O O5设A A是mn矩阵，非齐次线性方程组AX=bAX=b的导出组为AX=AX=.如果mn，则().(A)AX=b AX=b必有无穷多解；(B)AX=bAX=b必有唯一解；(C)
32、AX=AX=必有非零解；(D)AX=AX=必有唯一解三、三、设A A为三阶方阵，且|A A|=3，计算行列式|(2A A)A A*|.-130 1 2 21 2 1四、设A ,求矩阵A A的秩，并分别写出A A的列向量组和行向量组 1 1 57 2 4 24 的一个极大无关组 1 10 五、设矩阵A 1 20，且AB=AB=2A AB B，求矩阵B B 000 42.1 3 1 0 六、设向量组1 3，2 8，3 3，4 1 1 4 m n 已知方程组x11 1+x22 2+x33 3=4 4有无穷多解，求m,n的值，并求该方程组的通解七、设A1 1 A101k1,已知 3 是矩阵A ,A 2
33、 O120 O 的一个特征值.A2 (1)求参数k的值；-1-1(2)求A A，并写出以A A为矩阵的二次型2(3)计算行列式|B B3E E|，其中B B与A A相似.八、设三阶实对称矩阵A A的特征值为 1，1，-1已知属于特征值1 的两个线性无关的特征 1 2 12向量为1 2，2 1，求矩阵A A及A A.2 2 a11x1 a12x2 a13x3 0 九、设方程组 a21x1 a22x2 a23x3 0的系数行列式det(aij)=0，而 A110，a x ax a x 0322333 31 1证明(A11,A12,A13)是该方程组的一个基础解系其中Aij是元素aij的代数余子式T
34、复习题与测试题参考答案或提示复习题一1.(D).2.(C).3.(C).4.(C).15.nC 3n123121321 3kk2k-12.6.提示：E A (E A)(E A A A).313007.B 020.8.001 O1AB1.O-可修编.9.X1 01a10 0001a20-10001an11an0（a1a2an0）.0 0复习题二1.提示：利用A*=|A|A34252543252.125AO-1212O.0123.72.4.提示：利用B EOEBE.AEAEOE-AB复习题三1k=-3.2.必要性利用定理 3.12(2),充分性利用定理 3.7 及其证明方法.3.利用线性无关的定义
35、及定理 3.2.04(1)证明 A 组及 B 组线性无关；(2)T 111212121 T1；(3)在A组基下的坐标为(0,1,2)0复习题四1a=1.2n-13(1)a4 且b0 时,不能线性表示；(2)a4 时，能唯一线性表示；(3)a4 且b0 时，表示式不唯一，且=k1-(2k-1)2+34(1)方程组()的一组基础解系为 1=(-1,1,0,0),2=(0,0,1,0).方程组()的一组基础解系为1=(0,1,1,0),2=(1,1,0,-1).(2)公共解x=k(-1,1,2,1),k为任意实数TTTTT5利用方程组的向量表示式及解的结构，可得通解为x=k(1,-2,1,0)+(1
36、,1,1,1)，k为任意实数TT复习题五1.n,0,02.1.3.a=b=04.A的非零特征值为 1.5.x=36.说明 A 的任意特征值的取值围.7.(1)a-3，b0，-1；(2)A不能对角化，因为A没有 3 个线性无关的特征向量118.(A)211；复习题六1.提示：证明二次型x x BxBx正定T44.2222222.f xTAx 2 x3 y2 y3 3 y4 2 x4 2 x1x2 2 x3x4,其标准形为f y1f xTA1x 3.a=1,b=0122222222x3x4 2x1x2x3x4，其标准形为,f y12 y2 y3y43333k24.(k 2)2，k 0,k 2时，B
37、为正定矩阵(k 2)2测试题一一、1.11n!(1).2.0i1in00 00.3.-16.4.-14.5.a=2,b=1 40160二、6.能由 1,2,3,4线性表示.7.1(2,1,0,0)T,2(1,0,1,0)T8.当k1 且k-2 时，有唯一解；当k=1 时，有无穷多解；当k=-2 时，无解.9.(0,1,3,1)T是导出组的基础解系(1,1,1,1)T是原方程组的特解,通解为x k10.属于 3 的所有特征向量为 k3=k(1,0,1)，k0T113令P 31321626161,则P0，213212-1AP=.三、12.A-A-2E=(A+E)(A-2E)=O，所以A的特征值只能
38、取-1 或 2,因此A+2E的特征值只能取 1 或 3,故A 2E为正定矩阵测试题二一、110.2-1.3-4.4E.5正确.3二、1.Dn=n!.2.C=A(B A)B=10695T44T246T1.TTT23.R(A)=3,极大无关组为(1,0,2,1),(1,2,0,1),(2,1,3,0).3TTT三、一个基础解系为(1,2,1,0),(-2,3,0,1),通解为x=k1(1,2,1,0)+k2(-2,3,0,1)+(4,-1,0,0)200 x1四、f (x,x,x)032x,矩阵为正定.2123023x3-可修编.五、当a=1时，可由1,2,3线性表示，且表示式不唯一.六、-235
39、.测试题三一、1a=2或a=3.28.3x1 2z1 2z2.42 k 2.50.x2 7z1 z2-1二、1.(-1)(n-1)a.2A=PP=E.n-1n11三、1R()=2,的一个最大无关组为1,3.2基础解系为 1=(1,1,0,0),2=(1,0,2,1),特解为=(1,0,1,0),通解为x=k11+k22+.TTT四、1命题一不正确例如：A 1002,A A，但AO且AE.0命题二二正确.证明：由A(A-E)=O,可得|A|A-E|=0，所以|A|=0或|A-E|=02五(1)1=2=1,3=3,4=-1.(2)B的特征值为 2,2,6,6.2,则B与相似.66(3)A10100
40、10000230130 222220,f xTA1x x3x4 2x1x2x3x43331323测试题四一.1 1 2 3 .2.ab(b-a)(a-1)(b-1).3.1/2.4.2/3.5.1.32 000 123 -1二.1.(A).2.(B).3.(C).4.(D).5.(C).三.(2A A)A A*-(125/24).四.R(A A)2,A A的列向量组的一个极大无关组为(2,1,1,-2),(3,2,-1,-4);A A的行向量组的一个极大无关组为TT(2,3,0,-1),(1,2,1,-2)TT 01 0-1.六.m=-1,n=7,基础解系=(-1,0,1)T,特解*(-3,1
41、,0)T,通解x=k+*.*.五.B B2(A+EA+E)A A=21 3 000 0七.(1)k2.(2)1 A1 O A 1 0 O 1 1 A2 0 0 210000023 130 0,fx xTA A-1x x2x2 2x2 2 x x 2x x341234 333 13 2 3 2(3)A A的特征值为 1,1,-1,3,B B2E E的特征值为2,-2,-2,6.B B 3E E48.46.1 1八 3(-2,2,1),令P 23 2T212 2 1 2,0 01 0100 ，则P P-1APAP.0 1 4 18,A A12P P12P P-1PEPPEP-1E E.A AP PP P-1P PP PT1 81 4 9 4 47 九.由det(aij)=0，A110 知方程组的系数矩阵的秩为 2，因此方程组的基础解系只含一个非零解向量。由行列式的按行展开定理知a11A11+a12A12+a13A13=det(aij)0，a21A11+a22A12+a23A130，a31A11+a32A12+a33A130，又AT110，因此(A11,A12,A13)是该方程组的一个非零解向量，即为该方程组的一个基础解系.-可修编.