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1、精选优质文档-倾情为你奉上第五章 平面向量【考纲说明】1、理解平面向量的概念和几何表示，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示。2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算。3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题。【知识梳理】一、 向量的基本概念与线性运算1 向量的概念：（1）向量：既有大小又有方向的量记作；向量的大小即向量的模（长度），记作| 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小（2）零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行（3）单位向量：
2、模为1个单位长度的向量常用e表示（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作平行向量也称为共线向量（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为 大小相等，方向相同（6）相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量若、是互为相反向量，则=,=,+=2 向量的线性运算：（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法 向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” （2）向量的减法 ：求向量加上的相反向量的运算叫做与的差向量的减法有三角形法则，可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同
3、起点）（3）向量的数乘运算：求实数与向量的积的运算，记作；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的数乘向量满足交换律、结合律与分配律3. 两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=向量与非零向量共线有两个均不是零的实数、，使得二、平面向量的基本定理与坐标表示1 平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2. 平面向量的坐标表示：（1）在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底 由平面向量的基本定理知，该平面内的任
4、一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标显然=（0,0），（2）设.则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标，即若=(x,y)，则A点的坐标为(x,y)，反之亦成立（O是坐标原点）3 平面向量的坐标运算：（1）若，则（2）若，则，（3）若=(x,y)，则=(x, y)（4）若，则（5）若，则三、平面向量的数量积1 两个向量的数量积： 已知两个非零向量与，它们的夹角为，等于的长度与在方向上的投影的乘积叫做与的数量积（或内积），即=cos，规定2 向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影
5、投影的绝对值称为射影3 向量的模与平方的关系：4 乘法公式成立： ；5 平面向量数量积的运算律：交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：；特别注意：结合律不成立：消去律不成立不能得到=0不能得到=或=6 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则=7 向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题8 垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作O【经典例题】【例1】（2010全国，8）ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若，则= （）（
6、A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由角平分线的性质得,即有从而故选B【例2】（2009北京，2）已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 （ ） A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向【答案】D【解析】取a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D【例3】（2009湖南卷文）如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )ABCD 【答案】A【解析】得 或【例4】（2009宁夏海南卷文）已知，向量与垂直，则实数的值为 ( )A. B. C. D.【答案
7、】A【解析】向量（31，2），（1,2），因为两个向量垂直，故有（31，2）（1,2）0，即3140，解得：，故选A【例5】（2009全国卷文）设非零向量、满足，则 （ ）A150 B.120 C.60 D.30【答案】B【解析】由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B【例6】（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+，其中，R ，则+= _ 【答案】【解析】设、则 , ,代入条件得【例7】（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边ABDC,ADBC,已知点A(2，0)，
8、B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为_【答案】(0,2)【解析】平行四边形ABCD中, (2,0)(8,6)(6,8)(0,2) 即D点坐标为(0,2)【例8】（2012江苏）如图,在矩形中,点为的中点，点在边上,若,则的值是_【答案】【解析】由,得,由矩形的性质,得 ， 记之间的夹角为，则 又点E为BC的中点， . 本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解【例9】(2009湖南卷理)在，已知，求角A，B，C的大小【答案】【解析】解：设由得，所以又因此 由得，于是所以，因此，既由A=知，所以，从而或，既或故或【课堂练习】一、选择题1.（2012辽宁理）已知两个非零向量a,b
9、满足|a+b|=|ab|,则下面结论正确的是（）AabBab C0,1,3Da+b=ab2. (2009年广东卷文)已知平面向量a=，b=，则向量 ( )A. 平行于轴 B. 平行于第一、三象限的角平分线 C. 平行于轴 D. 平行于第二、四象限的角平分线 3.（2012天津文）在中,AC=2,设点满足.若,则( )（）ABCD24.（2009浙江卷理）设向量，满足：，以，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) A B.4 C D5.（2012重庆理）设R,向量,且,则（）ABCD106. （2009浙江卷文）已知向量，若向量满足，则 （ ） A B C D 7（
10、2012浙江理）设a,b是两个非零向量.（）A若|a+b|=|a|-|b|,则ab B若ab,则|a+b|=|a|-|b| C若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数,使得a=b D若存在实数,使得a=b,则|a+b|=|a|-|b|8.（2009全国卷理）设、是单位向量，且0，则的最小值为 ( )A. B. C. D.9.（2012天津理）已知ABC为等边三角形,设点P,Q满足,若,则（）ABCD10.（2009全国卷理）已知向量，则 ( ) A. B. C. D. 11.（2012大纲理）中,边上的高为,若,则（）ABCD 12.（2008湖南）设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、A
11、B上的点，且则与 ( )A. 反向平行B. 同向平行C. 互相垂直D. 既不平行也不垂直13.（2008广东）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则 （ ）A B C D14.（2007湖北）设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为（ ）A B C D15.（2012安徽理）在平面直角坐标系中,将向量按逆时针旋转后,得向量则点的坐标是 （ ）ABCD二、填空题16.（2012浙江文）在ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=_.17.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是
12、_.18.（2012上海文）在知形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是_ .19.（2012课标文）已知向量,夹角为,且|=1,|=,则|=_.20.（2012湖南文）如图4,在平行四边形ABCD中 ,APBD,垂足为P,且= _.21.（2012湖北文）已知向量,则()与同向的单位向量的坐标表示为_;()向量与向量夹角的余弦值为_.22.（2012北京文）已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为_.23.（2012安徽文）设向量,若,则.24.（2012江苏）如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是
13、_.25.（2012安徽理）若平面向量满足:;则的最小值是三、解答题26. (2009年广东卷文)（已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值（2）若，,求的值27.（2009上海卷文）已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， .（1） 若/，求证：ABC为等腰三角形； （2） 若，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 .28. 已知、分别为的三边、所对的角，向量，且.（）求角的大小；（）若，成等差数列，且，求边的长.【课后作业】一、选择题1.（2009辽宁卷理）平面向量a与b的夹角为， 则( ) A. B. C. 4 D. 22.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所
14、在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 ( )A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 内心 C. 外心 重心 垂心 D. 外心 重心 内心3.（2008安徽）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则 （ ）A（2，4）B（3，5）C（3，5）D（2，4）4.（2008浙江）已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 ( ) A. 1 B. 2 C. D. 5.（2007海南、宁夏）已知平面向量，则向量 （）A BC D6.（2007湖南）设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ ）ABCD7. （2007天津）设两个向量和，其中为实数若，则的取值范围是
15、 （）A-6，1 BC（-6，1D-1，68. 在的面积等于（ ）ABCD9. 已知平面向量等于 （ ）A9B1C1 D910. 已知、是不共线的，则、 三点共线的充要条件是： （ ）A B C D二、填空题11. 设向量_.12. 若向量，则向量的夹角等于 .13. 已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是 .14.（2008江苏），的夹角为， 则 15. （2007安徽）在四面体中，为的中点，为的中点，则 （用表示） 16.（2007北京）已知向量若向量，则实数的值是 . 17. 已知向量，则的值为 .18.（2007广东）若向量、满足的夹角为120，则 .三、解答题19.（2009
16、湖南卷文）已知向量（1）若，求的值； （2）若求的值。 20.已知向量，设函数.()求函数的最大值；()在锐角三角形中，角、的对边分别为、， 且的面积为，,求的值.【参考答案】【课堂练习】一、选择题：1、B 2、C 3、B 4、C 5、B 6、D 7、C 8、D 9、A 10、C 11、D 12、A 13、B 14、B 15、A二、填空题：16、-16 17、2 18、1 19、或(舍) 20、 18 21、 () () 22、1；1 23、 24、25、三、解答题：26、 27、（1）即，其中R是三角形ABC外接圆半径，为等腰三角形（2）由题意可知由余弦定理可知， 28、（）.（）c=6【课后作业】一、选择题：1、B 2、C 3、B 4、C 5、D 6、A 7、A 8、A 9、B 10、D 二、填空题：11 、12、13、214、 715、16、-317、118、三、解答题：19、. 20、，或 21、 专心-专注-专业