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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高三数学一轮复习测试题 导数及其应用 本试卷分第 卷挑选题 和第 卷非挑选题 两部分；满分 150 分；考试时间 120 分钟；第一卷挑选题 共 60 分 一、挑选题 本大题共 12 个小题,每道题 5 分,共 60 分,在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符号题目要求的； 1一质点沿直线运动,假如由始点起经过 t 秒后的位移为 s13t 33 2t 22t,那么速度为零的时刻是 A0 秒 B1 秒末C2 秒末 D1 秒末和 2 秒末答案 D 解析 st23t2 0,令 s0,得 t1 或 2,应选 D. 2文已知二次函数 fx的图象如下列图,
2、就其导函数 f x的图象大致外形是 答案 B 解析 由于二次函数在 ,0上递增,在 0, 递减,所以其导函数在,0大于 0,在 0, 小于 0,应选 B. 理 下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中肯定不正确 的序号名师归纳总结 是 第 1 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A BC D答案 B 解析 由于三次函数的导函数为二次函数,其图象为抛物线,观看四图,由导函数与原函数的关系可知,当导函数大于 0 时,其函数为增函数,当导函数小于 0 时,其函数为减函数,由此规律可判定 不正确3已知曲线 C：fxx 3ax a
3、,如过曲线 C 外一点 A1,0引曲线 C 的两条切线,它们的倾斜角互补,就 a 的值为 A.27 8 B 2 27C2 D8答案 A 分析 由三次函数图象可知,切线的斜率肯定存在,故只需处理好“ 导数值 ” 与 “ 斜率” 间的关系即可是解析 设切点坐标为 t,t3ata切线的斜率为ky|x t3t 2 a所以切线方程为yt3ata3t2axt将点 1,0代入 式得 t3ata3t2 a1 t,解之得： t0 或 t3 2. 分别将 t0 和 t3 2代入 式,得 k a 和 k 27 4a,由它们互为相反数得,a27 8 . 4文如关于 x 的不等式 x 33x29x2m 对任意 x 2,
4、2恒成立,就 m 的取值范畴 A, 7 B, 20 C, 0 D12,7 答案 B 解析 令 fxx33x29x2,就 fx3x26x9,令 fx0 得 x 1 或 x3舍去 f17,f20,f2 20. 等于fx的最小值为f2 20,b, c,就 ad故 m20,综上可知应选B. 理 已知实数a,b,c,d 成等比数列,且曲线y3xx3 的极大值点坐标为A2B1C 1D 2 答案 A 解析 a,b,c,d 成等比数列, adbc,又b,c为函数 y 3xx3的极大值点,c3bb3,且 033b2,名师归纳总结 b 1或b 1,ad2. 第 2 页,共 12 页c2c 25对于在 R 上可导的
5、任意函数fx,如满意 x1fx0,就必有Af0 f22 f1 答案 C - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 x1fx0,x1,或x1,f0f1,f2 f1,fx 0fx0如函数 yfx在,1上单调递减, 在1 ,上单调递增,就f0f22 f1如函数 yfx为常数函数,就f0f22f1应选 C. 6设曲线 y1cosx在点 2,1 处的切线与直线xay10 平行,就实数 a 等于 sinxA 1 B.12C 2 D2 答案 A 解析 ysin2x1cosxcosxsin2x1cosx sin 2xf2 1,由条件知 1 a 1,a 1,应选 A. 7
6、文08 广东 设 aR,如函数 ye xax,xR 有大于零的极值点,就 Aa1 1 1Cae Da0a ex01x 2t2dxt2xt4 3t3 t21 3,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令 S4t22t0, 0t0,xfxfxb,就必有 Aafbbfa Bbfaafb Cafa fb Dbfb0,求导得 yxfxfx,由条件知fx0,yb0,fa a fbb,即 bfa2 时, yxfx0,fx0,yfx在 2, 上单调递增；同理 fx在, 2上单调递增,在 2, 2上单调递减,yfx的极大值为 f2,微小值为 f2,应选 C. 第二卷非挑选题
7、 共 90 分 二、填空题 本大题共 4 个小题,每道题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上 13文已知函数 yfx x33ax23bx c 在 x 2 处有极值,其图象在 x1 处的切线平行于直线 6x2y50,就 fx极大值与微小值之差为 _答案 4 解析 y3x 26ax 3b,3 226a 23b0 a 1.,3 1 26a 13b 3 b0y3x2 6x,令 3x26x0,就 x0 或 x2,fx极大值 fx微小值 f0f24. 理 定积分 3 2 166xx 2dx_. 25答案 4解析 设 y166xx2,即 x32y225y03 2 166xx 2dx 表示以 3,
8、0为圆心, 5 为半径的圆的面积的四分之一3 2 166xx2dx254 . 14文函数 fxx 33ax2 3a 2x 1有极大值又有微小值,就 a 的取值范畴是_答案 a2 或 a0,解得 a2 或 a 1. 理 函数 yxsintcostsintdt 的最大值是 _0名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 2 解析 yxsintcostsintdt0xsint10 2sin2tdtcost1 4cos2t| x0 cosx1 4cos2x54 cosx1 42cos2x 151 2cos2xcosx321 2
9、cosx1 222. 当 cosx 1 时取等号15已知函数 y1 3x 3bx22b3x 2b 在 R 上不是单调减函数,就 b 的取值范畴是_答案 b3 解析 y x22bx2b3,要使原函数在 R 上单调递减,应有 y 0 恒成立, 4b242b34b22b3 0, 1b3,故使该函数在 R 上不是单调减函数的 b 的取值范畴是 b3. 16文对正整数 n,设曲线 yx n1x在 x2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an,就数an列 n1的前 n 项和是 _答案 2 n12 解析 yx n1x,yx n1x1xx n nx n 11 xx n. f 2 n2 n12nn2 2n1.
10、在点 x2 处点的纵坐标为 y 2 n. 切线方程为 y2n n2 2n1x2令 x0 得, yn1 2 n,ann1 2 n,名师归纳总结 数列an n1的前 n 项和为22n12 n 12. x是奇函数,就_. 第 6 页,共 12 页21理 设函数 fxcos 3x00 得, x2；令 fx0 得, 1x1 时, fx在m,m3上单调递增,fxmaxfm3,fx minfm由 fm 3fm1 3m331 2m322m31 3m 31 2m 22m 3m2 12m15 245得, 5m1,这与条件冲突当 0m1 时, fx在m,1上递减,在 1,m3上递增, fx minf1,fxmax
11、为 fm与 fm3中较大者,fm3fm3m212m15 23m229 20,0m1,fxmaxfm3,|fx2 fx1|fm3f1f4f145 2恒成立,故当 0m1 时,原不等式恒成立,综上,存在 m0,1 符合题意19本小题满分 12 分文设函数 fxx 22tx4t3t23t3,其中 xR,t R,将 fx的最小值记为 gt1求 gt的表达式；2争论 gt在区间 1,1内的单调性；3如当 t1,1时, |gt|k 恒成立,其中 k 为正数,求 k 的取值范畴解析 1fxxt2 4t33t3,当 xt 时, fx取到其最小值 gt,即 gt4t33t3. 名师归纳总结 - - - - -
12、- -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 gt12t2332t12t 1,列表如下：t 1,1 212,1 211 2,1 22gt00极大值微小值gtg1 2g1 2由此可见, gt在区间 1,1 2和 1 2,1 上单调递增,在区间1 2,1 2上单调递减3 g1 g1 24,g1g 1 22 gtmax4,gtmin2,又|gt| k 恒成立, kgtk 恒成立,k4, k4. xk 2理 将一张2 6 米的矩形钢板按图示划线,要求至全为矩形,且左右对称、上下对称,沿线裁去阴影部分,把剩余部分焊接成一个以为底,为盖的水箱设水箱的高为米,容积为y
13、立方米1写出 y 关于 x 的函数关系式；2x 取何值时,水箱容积最大？62x解析 1依题意,水箱底的宽为 22x米,长为 23x米,就水箱的容积 y22x3 x x0x1,2y22x3x x 2x 38x26x0x1,y6x2 16x6. 47令 y6x216x60 得 x3,47当 0x0,函数单调递增；47当3 x1 时 y0,函数单调递减；47当 x时,函数 y22x3x x0x1取最大值347当 x时,水箱的容积最大320本小题满分 12 分文09 湖南 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元
14、；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 2xx 万元假设桥墩等距离分布,全部桥墩都视为点,且不考虑其它因素记余下工程的费用为 y 万元1试写出 y 关于 x 的函数关系式；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2当 m640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小？解析 1设需新建 n 个桥墩,就 n1xm,即 nm x1,所以 yfx256nn 12xx256 m x1 m x 2xx256mxm x2m256. 2由 1知, fx256mx 21 2mx12m 2x2x3 2512令 fx0 得, x3 2
15、512,所以 x64. 当 0x64 时, fx0,fx在区间 0,64内为减函数,当 64x0,fx在区间 64,640内为增函数所以 fx在 x64 处取得最小值,此时 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小nm x1640 6419,理 已知 fx是一次函数,且1fxdx5,1xfxdx17 6 .求2fx 1 x dx 的值解析 fx是一次函数,00可设 fx axba 01fxdx1axbdx0 012ax 2 bx 1 012a b. 1 2ab5又1xfxdx1xaxbdx0 03ax3 1 2bx2 101 3a12b. 1 3a1 2b17 解 得 a4,b3,fx4x3. 2
16、fx 1 x dx24x3 1 x dx2 43 x dx14x3lnx|2143ln2. 21本小题满分12 分 文已知函数fxax3bx2cx 在点 x0 处取得极大值5,其导函数 yf x的图象经过点 1,0,2,0如右图所示1求 x0 的值；2求 a,b,c 的值名师归纳总结 解析 1结合图象可得：第 10 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x , 111,222, f x000 fx极大值微小值得到 fx在 x1 处取得极大值,所以x01. 2解法 1：f x3ax22bxc,由 f 10,f 20,f15 得,3a2b c0
17、12a4bc0,解得 a 2,b 9,c12. abc5解法 2：设 f xmx1x2mx 23mx2m,又 f x3ax 22bx c,所以 am 3,b 3 2m,c2m,fxm3 x 33 2mx 22mx. f15,m 33 2m2m5, m6,a2, b 9,c12. 点评 此题要求同学善于随机应变,依据实际情形,读图象,列表格,翻译不等式,定极大值,很好的考查了同学思维的敏捷性,将传统二次函数问题结合导数方式显现,很好的兼顾了基础与才能的要求、新旧内容的连接,源于教材又不拘泥于教材,是一道训练读图识图才能,运用 “ 数形结合 ” 思想解决问题的好题理 “ 我们称使 单调的函数,且满
18、意 x3x2xm. fx0 的 x 为函数 yfx的零点如函数 yfx在区间 a,b 上是连续的、fa fb0,就函数 y fx在区间 a,b上有唯独的零点” 对于函数fx1当 m0 时,争论函数fx在定义域内的单调性并求出极值；2如函数 fx有三个零点,求实数 m 的取值范畴解析 1当 m0 时, fx x3x2x. fx 3x22x1 3x1 3x 1列表fx ,1 31 31 3,111, x00fx微小值极大值f1 3f1由表可知： 函数 fx x3x2x 在区间 1 3,1上单调递增, 在 , 1 3和 1,上单调递减名师归纳总结 fx的微小值为f1 3 5 27,极大值为f1 1.
19、 1 3,1第 11 页,共 12 页2fx 3x22x1,由 1 知 fx在 ,1 3和1, 上单调递减,在- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 上单调递增故欲使 fx有三个零点,须f1 3 m 5 270, 1m0,f2m20 在2, 上, fxf20. 又 f1 f1 30,f13 f10 ,f1f20 ,由题设知 fx在 1,1 3, 1 3,1 ,1,2 上各有惟一零点综上可知 1m 5 27. 22本小题满分 14 分文设函数 fx x 33x2 分别在 x1、x2 处取得微小值、 极大值,xOy 平面上点 A、B 的坐标分别为 x1,fx1、
20、x2,fx2该平面上动点 P 满意 PA PB 4,点Q 是点 P 关于直线 y2x 4的对称点求：1A、B 的坐标；2动点 Q 的轨迹方程分析 第一求 f x,令 f x0,求出 x1、x2 的值,得到 A、B 两点的坐标利用向量的数量积可求得动点 P 的轨迹方程 依据 P、Q 对称性求出 P、Q 两点坐标的关系, 利用 “ 坐标代入法 ” 求得动点 Q 的轨迹方程解析 1令 f x 3x230,解得 x 1 或 x 1. 当 x1 时, f x0；当 1x0,当 x1 时, f x0 和任意实数x,都有 faxafx1证明 f00；名师归纳总结 2证明 fxkxx0,其中 k 和 h 均为常数；第 12 页,共 12 页hx x0- - - - - - -