《2022年--容斥原理之重叠问题.教师版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年--容斥原理之重叠问题.教师版.docx（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -7-7-2. 容斥原理之重叠问题（二）教学目标1. 明白容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 把握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用学问要点一、两量重叠问题在一些计数问题中,常常遇到有关集合元素个数的运算求两个集合并集的元素的个数,不能简洁地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复运算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成：A U B A B A I B 其中符号 “ U ” 读作 “ 并”,相当于中文 “ 和”或者 “或” 的意思；符号 “ I ”读作 “交 ”,相当于中文
2、“且 ”的意思 就称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理图示如下 : A 表示小圆部分, B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为：A I B,即阴影面积图示如下 : A 表示小圆部分, B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为：A I B,即阴影面积1先包含A B重叠部分 A I B 运算了 2次,多加了 1次；包含与排除原理告知我们,要运算两个集合 A、B 的并集 A U B 的元素的个数,可分以下两步进行：第一步：分别运算集合 A、B 的元素个数,然后加起来,即先求 A B 意思是把 A、B 的一切元素都 “ 包含 ” 进来,加在一起 ；其次步：从上面的和中减去
3、交集的元素个数,即减去CAIB意思是 “ 排除 ”了重复运算的元素个数二、三量重叠问题A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和 A类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是 A 类又是 B 类的元素个数 既是 B 类又是 C 类的元素个数 既是 A 类又是 C 类的元素个数 同时是 A 类、 B 类、 C 类的元素个数用符号表示为：A U B U C A B C A I B B I C A I C A I B I C图示如下：7- 7- 2.容斥原理之重叠问题（二）. 题库 老师版 page 1 of 7细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -
4、 - 第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数,1先包含：ABC重叠部分 AIB、BIC、CIBA重叠了 2次,多加了 1次2再排除：ABCAIBICAIC在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图 例题精讲模块一、三量重叠问题韦恩图 来帮忙分析摸索【例 1】一栋居民楼里的住户每户都订了 2 份不同的报纸；假如该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报纸,其中甲报 30 份,乙报 34 份,丙报 40 份,那么既订乙报又订丙报的有 _户；【
5、考点】三量重叠问题【难度】 3 星【题型】填空【关键词】期望杯,4 年级, 1 试【解析】 总共有（ 3034 40）252 户居民,订丙和乙的有 523022 户；【答案】 22户【例 2】某班同学手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗,已知手中有红旗的共有34人,手中有黄旗的共有 26人,手中有蓝旗的共有18人其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6 人而手中只有红、黄两种小旗的有9 人,手中只有黄、蓝两种小旗的有4 人,手中只有红、蓝两种小旗的有3人,那么这个班共有多少人？【考点】三量重叠问题【难度】 3 星【题型】解答BAC【解析】 如图,用 A 圆表示手中有红旗的,B 圆表示手中有黄旗的,C
6、圆表示手中有蓝旗的假如用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加,发觉手中只有红、黄两种小旗的各重复运算了一次,应减去,手中有三种颜色小旗的重复运算了二次,也应减去,那么,全班人数为：（342618）（943）6250人【答案】 50人【巩固】 某班有 42人,其中 26人爱打篮球, 17人爱打排球, 19人爱踢足球, 9 人既爱打篮球又爱踢足球,人既爱打排球又爱踢足球,没有一个人三种球都爱好,也没有一个人三种球都不爱好问：既爱打4篮球又爱打排球的有几人？【考点】三量重叠问题【难度】 3 星【题型】解答42人依据包含排除法,page 2 of 7 第 2 页,共 7 页 - - - - - - -
7、 - - 【解析】 由于全班 42人没有一个人三种球都不爱好,所以全班至少爱好一种球的有7- 7- 2.容斥原理之重叠问题（二）. 题库老师版细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -42（261719）（94既爱打篮球又爱打排球的人数）0,得到既爱打篮球又爱打排球的人数为： 49427人【答案】 7 人【例 3】四年级一班有46 名同学参与3 项课外活动 其中有 24 人参与了数学小组,20 人参与了语文小组,参与文艺小组的人数是既参与数学小组也参与文艺小组人数的
8、35 倍,又是 3 项活动都参与人数的 7 倍,既参与文艺小组也参与语文小组的人数相当于3 项都参与的人数的2 倍,既参与数学小组又参与语文小组的有10 人求参与文艺小组的人数【考点】三量重叠问题【难度】 3 星【题型】解答【解析】 设参与数学小组的同学组成集合 A,参与语文小组的同学组成集合 B,参与文艺小组的同学组成集合 G三者都参与的同学有 z 人有 A U B U C =46, A =24,B =20,C =3.5, A I C =7 A I B I C,B I C =2 A I B I C, A I B =10由于 A U B U C A B C A I B A I C B I C
9、A I B I C,所以 46=24+20+7 x-10-2x-2x+x,解得 x=3,即三者的都参与的有3 人那么参与文艺小组的有37=21 人【答案】 21人【巩固】五年级三班同学参与课外爱好小组,每人至少参与一项其中有 25 人参与自然爱好小组,35人参与美术爱好小组,27 人参与语文爱好小组,参与语文同时又参与美术爱好小组的有 12 人,参与自然同时又参与美术爱好小组的有 8 人,参与自然同时又参与语文爱好小组的有 9 人,语文、美术、自然 3 科爱好小组都参与的有 4 人求这个班的同学人数【考点】三量重叠问题【难度】 3 星【题型】解答A自然 B美术C语文【解析】 设参与自然爱好小组
10、的人组成集合 组成集合 CA,参与美术爱好小组的人组成集合日,参与语文爱好小组的人A =25, B =35, C =27, BIC=12, AIB=8, AIC=9,. AIBIC=4. BICAUBUC= ABCAIBAICBICAI所以,这个班中至少参与一项活动的人有 这个班有 62 人【答案】 62人25+35+27-12-8-9+4=62 ,而这个班每人至少参与一项即【巩固】光明学校组织棋类竞赛,分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行,参与围棋竞赛的有 42人,参与中国象棋竞赛的有 55人,参与国际象棋竞赛的有 33人,同时参与了围棋和中国象棋竞赛的有 18人,同时参与了围棋和国际象棋
11、竞赛的有 10人,同时参与了中国象棋和国际象棋竞赛的有 9 人,其中三种棋赛都参与的有 5 人,问参与棋类竞赛的共有多少人？【考点】三量重叠问题【难度】 3 星【题型】解答【解析】 依据包含排除法, 先把参与围棋竞赛的 42人,参与中国象棋竞赛的 55 人与参与国际象棋竞赛的 33 人加起来,共是 42 55 33 130 人把重复加一遍同时参与围棋和中国象棋的 18人,同时参与围棋和国际象棋的 10人与同时参与中国象棋和国际象棋的 9 人减去,但是,同时参与了三种棋赛的 5 人被加了 3 次,又被减了 3 次,其实并未运算在内,应当补上,实际上参与棋类竞赛的共有：7- 7- 2.容斥原理之重
12、叠问题（二）. 题库 老师版 page 3 of 7细心整理归纳 精选学习资料 第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -130（18109）598人ABCAIBBICAICAIBIC,参与棋类竞赛的总或者依据学过的公式：AUBUC人数为： 42553318 109598人【答案】 98人【例 4】新年联欢会上,共有 90 人参与了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出假如只参与跳舞的人数三倍于只参与合唱的人数；同时参与三种节目的人比只参与
13、合唱的人少 7 人；只参与演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参与合唱的人多 4 人； 50 人没有参与演奏；10 人同时参与了跳舞和合唱但没有参与演奏； 40 人参与了合唱；那么,同时参与了演奏、合唱但没有参与跳舞的有 _人【考点】三量重叠问题【难度】 3 星【题型】填空【关键词】西城试验【解析】设只参与合唱的有 x 人,那么只参与跳舞的人数为 3x ,由 50人没有参与演奏、10人同时参与了跳舞和合唱但没有参与演奏,得到只参与合唱的和只参与跳舞的人数和为 50 10 40 人,即x 3 x 40,得 x 10,所以只参与合唱的有 10人,那么只参与跳舞的人数为 30人,又由 “同时参与三种节目
14、的人比只参与合唱的人少 7人 ”,得到同时参与三项的有 3人,所以参与了合唱的人中“ 同时参与了演奏、合唱但没有参与跳舞的”有： 40 10 10 3 17人【答案】 17人【巩固】六年级 100 名同学,每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项其中,爱好体育的55 人,爱好文艺的 56 人,爱好科学的51 人,三项都爱好的15 人,只爱好体育和科学的4 人,只爱好体育和文艺的 17 人问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？【考点】三量重叠问题【难度】 3 星【题型】解答【解析】 只是 A 类和 B 类的元素个数,有别于容斥原理中的既是 A 类又是 B 类的元数个数依题意,画
15、图如 下 设 只 爱 好 科 学 和 文 艺 两 项 的 有 x 人 由 容 斥 原 理 , 列 方 程 得55 56 51（17 15）（4 15）（x 15）15 100即 55 56 51 17 4 x 15 2 100111 x 100x 11 只爱好体育的有：55 17 15 4 19人【答案】 11人只爱好科学和文艺,19人只爱好体育；【例 5】在某个风和日丽的日子,10个同学相约去野餐,每个人都带了吃的,其中 6 个人带了汉堡,6 个人带了鸡腿,4个人带了芝士蛋糕,有 3个人既带了汉堡又带了鸡腿,1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕 2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕问： 三种都带了的有几
16、人？ 只带了一种的有几个？【考点】三量重叠问题【难度】 4 星【题型】解答ABC【解析】 如图,用 A 圆表示带汉堡的人,B 圆表示带鸡腿的人,C 圆表示带芝士蛋糕的人 依据包含排除法,总人数（ 带汉堡的人数 带鸡腿的人数 带芝士蛋糕的人数）（带汉堡、鸡腿的人数 带汉堡、芝士蛋糕的人数 带鸡腿、芝士蛋糕的人数） 三种都带了的人数,即10（6 6 4）（3 2 1） 三种都带了的人数,得三种都带了的人数为：10 10 0 人7- 7- 2.容斥原理之重叠问题（二）. 题库 老师版 page 4 of 7细心整理归纳 精选学习资料 第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - - -
17、 - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 求只带一种的人数,只需从10 人中减去带了两种的人数,即10（321）4人 只带了一种的有 4 人【答案】（ 1）0 人,（ 2） 4 人【巩固】 盛夏的一天,有 10 个同学去冷饮店,向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有 5 人；可乐、雪碧都要的有 3人；可乐、橙汁都要的有 2人；雪碧、橙汁都要的有 2 人；三样都要的只有 1人,证明其中肯定有 1人这三种饮料都没有要【考点】三量重叠问题【难度】 4 星【题型】解答【解析】 略【答
18、案】依据依据包含排除法,至少要了一种饮料的人数1要可乐的人数要雪碧的人数要橙汁的人数 要可乐、雪碧的人数要可乐、橙汁的人数要雪碧、橙汁的人数三种都要的人数,即至少要了一种饮料的人数为：（555）（322）9人 1091人,所以其中有1人这三种饮料都没有要【例 6】全班有 25个同学, 其中 17人会骑自行车,13人会游泳, 8人会滑冰, 这三个运动项目没有人全会,至少会这三项运动之一的同学数学成果都及格了,但又都不是优秀如全班有6 个人数学不及格,那么,数学成果优秀的有几个同学？ 有几个人既会游泳,又会滑冰？【考点】三量重叠问题【难度】 4 星【题型】解答【解析】 有 6 个数学不及格, 那么
19、及格的有：25 6 19人,即最多不会超过 19人会这三项运动之一而又由于没人全会这三项运动,那么,最少也会有：（17 13 8）2 19 人至少会这三项运动之一于是,至少会三项运动之一的只能是 19人,而这 19人又不是优秀,说明全班 25人中除了 19人外,剩下的 6 名不及格,所以没有数学成果优秀的 上面分析可知, 及格的 19人中, 每人都会两项运动：会骑车的肯定有一部分会游泳,一部分会滑冰；会游泳的人中如不会骑车就肯定会滑冰,而会滑冰的人中如不会骑车就肯定会游泳,但既会游泳又会滑冰的人肯定不会骑自行车所以,全班有19 172 人既会游泳又会滑冰【答案】（ 1）0 人,（ 2） 2 人
20、【巩固】五年级一班共有 36人,每人参与一个爱好小组,共有 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五个小组,如参与 A 组的有 15人,参与 B 组的人数仅次于 A组,参与C组、D组的人数相同,参与 E组的人数最少,只有 4 人那么,参与 B 组的有 _人【考点】三量重叠问题【难度】 4 星【题型】填空【解析】 参与 B , C , D 三组的总人数是 36 15 4 17人, C , D 每组至少 5 人,当 C , D 每组 6 人时,B 组为 5 人,不符合题意,所以参与 B 组的有 17 5 5 7 人【答案】 7 人【例 7】五一班有 28 位同学,每人至少参与数学、语文、自然课外小组
21、中的一个其中仅参与数学与语文小组的人数等于仅参与数学小组的人数,没有同学仅参与语文或仅参与自然小组,恰有 6 个同学参与数学与自然小组但不参与语文小组,仅参与语文与自然小组的人数是 3 个小组全参与的人数的 5 倍,并且知道 3 个小组全参与的人数是一个不为 0 的偶数,那么仅参与数学和语文小组的人有多少人？【考点】三量重叠问题【难度】 4 星【题型】解答【解析】 参与 3 个小组的人数是一个不为 0 的偶数,假如该数大于或等于 4,那么仅参与语文与自然小组的人数就大于等于 20,而仅参与数学与自然小组的人有 6 个,这样至少应有 30 人,与题意冲突,所以参与 3 个小组的人数为 2仅参与语
22、文与自然小组的人数为 10,于是仅参与语文与7- 7- 2.容斥原理之重叠问题（二）. 题库 老师版 page 5 of 7细心整理归纳 精选学习资料 第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -自然、仅参与数学与自然和参与 3 个小组的人数一共是 18 人,剩下的 10 人是仅参与数学与语文以及仅参与数学的由于这两个人数相等,所以仅参与数学和语文小组的有 5 人【答案】 5 人【例 8】在一个自助果园里,只摘山莓者两倍于只摘李子者；
23、摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多 3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4 人； 50个人没有摘草莓；11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子 .假如参与采摘水果的总人数是100,你能回答以下问题吗？ 有人摘了山莓； 有人同时摘了三种水果； 有人只摘了山莓； 有人摘了李子和草莓,而没有摘山莓； 有人只摘了草莓 . 山莓A【考点】三量重叠问题【难度】 3 星EGDB 草莓FC 李子【题型】填空【解析】如图,依据题意有A2C5060B9,C13,D11,E5,F20,G16GC3B AE D4 CD11GCDFABE4026,代入求解：A所以 有ADEG261
24、151658人摘了山莓；有 16人同时摘了三种水果；有 26人只摘了山莓；有 20人摘了李子和草莓,而没有摘山莓；有 9 人只摘了草莓 . 【答案】 有 58人摘了山莓； 有 16人同时摘了三种水果；有 26人只摘了山莓； 有 20人摘了李子和草莓,而没有摘山莓；有 9人只摘了草莓 . 【例 9】某学校派出如干名同学参与体育竞技竞赛,竞赛一共只有三个项目,已知参与长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20 人,长跑、跳高、标枪每一项的的参与选手中人中都有五分之一的人仍参与了别的竞赛项目,求这所学校一共派出多少人参与竞赛？体育 55人17文艺 56人154x科学 51人【考点】三量重叠
25、问题【难度】 4 星【题型】解答3 人参与其它项目,参与标【解析】 由条件可知,参与长跑的人中有2 人参与其它项目,参与跳高的人中有7- 7- 2.容斥原理之重叠问题（二）. 题库老师版page 6 of 7细心整理归纳 精选学习资料 第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -枪的人中有 4 人仍参与别的项目, 假设只参与长跑和跳高的人数为 x,只参与长跑和标枪的人数为 y,只参与标枪和跳高的有 z 人,三项都参与的有 n 人.那么
26、有以下方程组：由 条 件 可 知 , 参 加 长 跑 的 人 中 有 2 人 参 加 其 它 项 目 , 参 加 跳 高 的 人 中 有 3 人参与其它项目, 参与标枪的人中有 4 人仍参与别的项目,假设只参与长跑和跳高的人数为 x,只参与长跑和标枪的人数为 y,只参与标枪和跳高的有 z 人,三项都参与的有 n 人 .那么有以下方程组：x y n 2x z n 3z y n 4将 3 条等式相加就有 2（ x+y+z）+3n=9,由这个等式可以得到,n 必需是奇数,所以,n 只能是 1 或3、5、 7 ,假如 n3时 x、y、z 中会显现负数 .所以 n=1,这样可以求得 x=0,y=1,z=
27、2.由此可得到这个学校一共派出了 10+15+20-0-1-2-2 1=40 人. 将 3 条等式相加就有 2（ x+y+z）+3n=9,由这个等式可以得到,n 必需是奇数,所以,n 只能是 1 或3、5、 7 ,假如 n3时 x、y、z 中会显现负数 .所以 n=1,这样可以求得 x=0,y=1,z=2.由此可得到这个学校一共派出了 10+15+20-0-1-2-2 1=40 人. 【答案】 40人模块二、四个量的重叠问题【例 10】 养牛场有2007 头黄牛和水牛,其中母牛1105 头,黄牛1506 头,公水牛200 头,那么母黄牛有头；【考点】四个量的重叠问题【难度】 3 星【题型】填空
28、【关键词】期望杯,4 年级, 1 试【解析】 解：公牛有 2007-1105=902 头,公黄牛有 902-200=702 头,母黄牛有 1506-702=804 头【答案】 804头【例 11】 一个书架上有数学、语文、英语、历史4 种书共 35 本,且每种书的数量互不相同；其中数学书和英语书共有 l6 本,语文书和英语书共有 17 本：有一种书恰好有 9 本,这种书是 书；【考点】四个量的重叠问题【难度】 4 星【题型】填空【关键词】迎春杯,四年级,初赛,5 题【解析】如 果 数 学 书 有 x 本 , 那 么 英 语 书 有 16-x 本 , 语 文 书 有 17- （ 16-x ） =x+1 本 , 历 史 书 为35-x+16-x+x+1=18-x 本,其中有可能显现相等的有 x 和 16-x,x 和 18-x 由于它们奇偶性相同 .为了不相等, x 8且 x 9,有此得到16-x 不等于 8 和 7,x+1 不等于 9 和 10,18-x 不等于 10 和 9,只有16-x 可以等于 9,所以英语书有 9 本. 【答案】英语7- 7- 2.容斥原理之重叠问题（二）. 题库老师版page 7 of 7细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - -