《2022年反比例函数专题知识点归纳常考题型重难点题型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年反比例函数专题知识点归纳常考题型重难点题型.docx（47页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 反比例函数专题学问点归纳+常考（典型）题型 +重难点题型（含具体答案）一、目录名师归纳总结 一、目录 . 1第 1 页,共 26 页二、基础学问点 . 21. 学问结构 . 22. 反比例函数的概念. 23. 反比例函数的图象. 24. 反比例函数及其图象的性质. 25. 实际问题与反比例函数. 4三、常考题型 . 61. 反比例函数的概念. 62图象和性质 . 63函数的增减性. 84解析式的确定. 10 5面积运算 . 12 6综合应用 . 17 三、重难点题型 . 22 1. 反比例函数的性质拓展. 22 2. 性质的应用 . 23 1.
2、 求解析式 . 23 2. 求图形的面积 . 23 3. 比较大小 . 24 4. 求代数式的值 . 25 5. 求点的坐标 . 25 6. 确定取值范畴 . 26 7. 确定函数的图象的位置 . 26 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二、基础学问点1.学问结构2.反比例函数的概念1y =.（k 0）可以写成 y = .-1 （k 0）的形式,留意自变量x的指数为 1,在解决有关自变量指数问题时应特殊留意系数k 0这一限制条件；2y =.（k 0）也可以写成 xy=k 的形式,用它可以快速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式；3反
3、比例函数 y = . .的自变量 x 0,故函数图象与 x 轴、y 轴无交点3.反比例函数的图象在用描点法画反比例函数 y =.的图象时,应留意自变量x 的取值不能为 0,且 x 应对称取点（关于原点对称） 4.反比例函数及其图象的性质1函数解析式： y = . .（k 0）2自变量的取值范畴： x 0 3图象：（1）图象的外形：双曲线名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - |.|越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直度越大（2）图象的位置和性质：|.|越小,图象的弯曲与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线当 k0时
4、,图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限 内,y 随 x 的增大而减小；当 k0时,图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限 内,y 随 x 的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称,即如（a,b）在双曲线的一支上,就（a,b）在双曲线的另一支上图象关于直线 y= x 对称,即如（ a,b）在双曲线的一支上,就（b,a）和（ b,a）在双曲线的另一支上（4）k 的几何意义图1 如图 1,设点 P（a,b）是双曲线 y =.上任意一点,作PAx轴于 A点,PBy 轴于 B点,就矩形 PBOA的面积是 |.|（三角形 PAO名师归纳总结 和三角形 PBO的面积都是1 2|.|）第 3 页,共
5、26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图2 如图 2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作 QCPA的延长线于 C,就有三角形 PQC的面积为 2|.|（5）说明：双曲线的两个分支是断开的,争论反比例函数的增减性时,要将两个分支分别争论,不能一概而论直线 y=. 1.与双曲线 y = .2 .的关系：当. 1.20时,两图象没有交点；当. 1.20时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点 成中心对称5.实际问题与反比例函数 1求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）依据实际意义列函数解析式2留意学科间学问的综合,但重点
6、放在对数学学问的争论上名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、常考题型1.反比例函数的概念（1）以下函数中, y 是 x 的反比例函数的是（）Ay=3x By3=2x C3xy=1 Dy=.2答案： A为正比例函数 B 为一次函数 C 变型后为反比例函数 D 为二次函数（2）以下函数中, y 是 x 的反比例函数的是（）Ay =1 4. By = -1 .2 Cy =1 .-1 Dy = 1 +1.答案：
7、 A为反比例函数, k 为1 4B、C、D都不是反比例函数2图象和性质（1）已知函数 y = （k + 1）. .2+.-3 是反比例函数；如它的图象在其次、四象限内,那么k=_如 y 随 x 的增大而减小,那么 k=_答案：由于函数是反比例函数,且经过二、四象限所以k + 10 k2+ k - 3 = -1解得： k=2 由于函数是反比例函数,且y 随 x 的增大而减小名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以k + 10 k2+ k - 3 = -1解得： k=1 （2）已知一次函数 y=ax+b的图象经过第一、二
8、、四象限,就函数 y =. .的图象位于第 _象限答案：由于 y=ax+b 经过一、二、四象限 所以 a0,b0 所以 ab0 所以函数 y = ab x经过二、四象限（3）如反比例函数 y =.经过点（ 1,2）,就一次函数 y=kx+2的图象肯定不经过第 _象限k答案：由于函数 y = x经过点（ 1,2）所以2=-1,解得 k=2 k所以 y=kx+2为 y=2x+2 所以 a0,b0 所以经过一、二、三象限（4）已知 a b0,点 P（a,b）在反比例函数 y =.的图象上,就直线 y=ax+b 不经过的象限是名师归纳总结 答案：由于点 P（a,b）在反比例函数 y =a x的图象上第
9、 7 页,共 26 页所以 b= aa= 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于 a b0 所以 a0 所以 y=ax+b 经过一、二、四象限,不经过第三象限（5）如 P（2,2）和 Q（m,-.2）是反比例函数 y =.图象上的两点,就一次函数 y=kx+m的图象经过哪几个象限？答案：由于 P（2,2）是y =k x上的点所以 k=4 由于 Q（m,-m2）是反比例函数 y = k x图象上的点 所以-m 2 = m 4所以 m0 所以 y=kx+m经过一、三、四象限（6）已知函数 y=k（x1）和y = 图象大致是（）.（k 0）,它们在同一坐标
10、系内的 A B C D答案： B 3函数的增减性名师归纳总结 （1）在反比例函数 y =.（.0）的图象上有两点A（. 1,. 1）,B第 8 页,共 26 页（. 2,. 2）,且. 1. 20,就. 1- . 2的值为（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A正数 B负数 C非正数 D非负数答案： A 由于 k0 所以函数图像在二、四象限,由于x1x2y 随 x 的增大而增大所以y1y2,所以 y1 - y2为正数（2）在函数 y =-.2-1 .（a 为常数）的图象上有三个点（-1 ,. 1）,（-1 4,1. 2）,（2,. 3）,就函数值 .
11、1、. 2、. 3的大小关系是怎样的？-a2-1答案：由于函数为 y = x,其中 -a2- 10 所以函数图像在二、四象限,由于 1-1 412所以y1y2y3y 随 x 的增大而增大5（3）以下四个函数中： y=5x；y=5x；y= .；y=-5 .其中 y 随 x 的增大而减小的函数有：答案：要使 y 随 x 的增大而减小,就正比例函数 k0 符合条件的有：为反比例函数,且k0,是在每一个象限内y 随 x 的增大而减小,不符合；综上得,符合条件的有：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - （4）已知反比例函数 y
12、=.的图象与直线 y=2x 和 y=x+1的图象过同一点,就当 x0时,这个反比例函数的函数值y 随 x 的增大而（填“ 增大” 或“ 减小” ） 答案： .= 2. .= .+ 1,解得 .= 1所以反比例函数过点（ 1,2 ）,就 k=20 所以当 x0时,在第一象限, y 随 x 的增大而减小4解析式的确定1 1（1）如 y 与 .成反比例, x 与 .成正比例,就 y 是 z 的（ ）A正比例函数 B反比例函数C一次函数 D不能确定答案： B 1由于 y 与 x成反比例1所以 y. x=.1由于 x 与 z成正比例1所以 x=.2 . z合并得： yz= .1.2所以为反比例函数（2）
13、如正比例函数 y=2x 与反比例函数 y =.的图象有一个交点为 （2,m）,就 m=_,k=_,它们的另一个交点为 _答案：由于 y=2x 过点（ 2,m）所以 m=2 2=4 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由于y =k x过点（ 2,m）,即（ 2,4 ）所以 k=8 .= 2.= 8 .,解得另一个点为：（2,4）（3）已知反比例函数 y =m2 x的图象经过点（ 2,8）,反比例函数y =m x的图象在其次、四象限,求m的值答案：由于函数 y =m2 x的图象经过点（ 2,8）所以 8 （ 2）=m2
14、 m= 4 m x的图象在其次、四象限由于y =所以 m0 所以 m=4 （4）已知一次函数 y=x+m与反比例函数 y = 一象限内的交点为 P（x0,3）求 x0的值；求一次函数和反比例函数的解析式答案： 3 = .0+ .+1 3 = .0解得： .0= 1 .= 2一次函数解析式为： y=x+2 反比例函数解析式为： y =3 x.+1 x（m 0）的图象在第名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - （5）为了预防“ 非典” , 某学校对教室采纳药薰消毒法进行消毒已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y （毫
15、克）与时间 x （分钟）成正比例,药物燃烧完后,y 与 x 成反比例（如下列图） ,现测 得药物 8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为 6毫克 请 依据题中所供应的信息解答以下问题：药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式为 _,自变量 x 的 取值范畴是 _；药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式 为_争论说明,当空气中每立方米的含药量低于1.6 毫克时同学方可进教室,那么从消毒开头,至少需要经过 _分钟后,同学才能回到教室；争论说明,当空气中每立方米的含药量不低于 3毫克且连续时间不低于 10 分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效？为什么？答案： y =3 4x,0
16、 x 8；y =48 x,x830 消毒时间为：48 3- 3 3 4= 13.2510,所以有效5面积运算名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）如图,在函数 y = -3 .的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向 x 轴、y 轴作垂线,过每一点所作的两条垂线段与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为. 1、. 2、. 3,求三个面积的大小关系；答案：依据反比例函数图像面积的性质知. 1=. 2=.1 .的图象上关于原点O对称的任意两点,（2）如图, A、B是函数 y =AC/y 轴, BC/x 轴, A
17、BC的面积 S,就（ ）AS=1 B1S2 CS=2 DS2 答案： C 设 A（a,1 a）,其中 a0,就 B（a,-1 a） BC= a1（ a）=2a,AC= a（-1 2a）= a1 所以 S= 2 2.2 a=2 （3）如图, Rt AOB的顶点 A在双曲线 y = 值.上,且 S AOB=3,求 m的名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案：依据反比例函数图像性质 S|.| AOB= 2又由于图像在第一象限所以 m0 所以 m=6 （4）已知函数 y =4 .的图象和两条直线y=x,y=2x 在第一象
18、限内分别相交于 P1和 P2两点,过 P1分别作 x 轴、y 轴的垂线 P1Q1,P1R1,垂足 分别为 Q1,R1,过 P2分别作 x 轴、y 轴的垂线 P2Q2,P2R2,垂足分别为 Q2,R2,求矩形 OQ 1P1R1和 OQ 2P2R2的周长,并比较它们的大小4 答案： y = y = x x,解得 x=2,y=2,即P1 （2,2 ）名师归纳总结 4 y = xy = 2x,解得 x=2,y=22,即P1 （2,2 2）第 14 页,共 26 页所以矩形 OQ 1P1R1的周长为（ 2+2） 2=8 OQ2P2R2的周长为（ 2+22） 2=62- - - - - - -精选学习资料
19、 - - - - - - - - - 由于 82= 64（62）2= 72所以 OQ 2P2R2的周长长；（5）如图,正比例函数 y=kx（k0）和反比例函数 y = 1 .的图象相交于 A、C两点,过 A 作 x 轴垂线交 x 轴于 B,连接 BC,如 ABC面积为 S,就 S=_1 答案： y = xy = kx,解得 x=.,y= .所以 A（.,.）,C（., - .）,B（.,0）所以 S= 12 . （.- （ -.）=1 （6）如图在 Rt ABO中,顶点 A是双曲线 y=.与直线 y=x+（k+1）在第四象限的交点, ABx 轴于 B且 S ABO= 32求这两个函数的解析式；
20、求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和 AOC的面积名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案： y =k x,解得 . . 1= .,. 2= .2= 1y = -x + （k + 1）所以 A（1,k）,B（1,0 ）,C（k,1）由于 S ABO= 3 2 3 1 所以 2= 2 1 |.| 解得 k=3 所以反比例函数解析式为：y=-3 x,直线解析式为： y=x2 设直线交 x 轴于点 D 就 D（2,0 ）就. .= . .+ . .= 1 2 1 2 + 1 2 2 |.| =4 （7）如图,已知正方形
21、OABC的面积为 9,点 O为坐标原点,点 A、C.分别在 x 轴、y 轴上,点 B 在函数 y= .（k0,x0）的图象上,点P （m,n）是函数 y= . .（k0,x0）的图象上任意一点,过 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线,垂足为 E、F,设矩形 OEPF在正方形 OABC以外的部分的面积为 S求 B点坐标和 k 的值；9 当 S= 2时,求点 P的坐标；写出 S关于 m的函数关系式名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案：依据反比例函数图像性质知正方形 OABC的面积 9=k 由于是正方形,所以 B（3,
22、3 ）设 FP与 AB交于点 D 由于无论 P在什么地方,四边形9 OFPE的面积为 9；而 S=2所以四边形 OADF的面积为 99 92= 2=OA OF 所以 F（0,3 2）3所以 n=2所以 m=6 同理可推导出 9S=3n n= m=9-.39 27.= 9-.6综合应用（1）如函数 y=k1x（k 1 0）和函数 y = .2.（. 2 0）在同一坐标系内的图象没有公共点,就 k1和. 2（）A互为倒数 B 答案： D 符号相同 C 肯定值相等 D 符号相反名师归纳总结 由于如 k1和. 2同号,就必定有 2个交点第 17 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料
23、- - - - - - - - - 由于无交点,所以符号必定相反（2）如图,一次函数 y=kx+b 的图象与反比例数 y =.的图象交于 A、B两点： A（,1）,B（1,n）求反比例函数和一次函数的解析式；依据图象写出访一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范畴答案：将点 A坐标代入反比例函数得,m=2 所以反比例函数解析式为：y =-2x由于 B 也在反比例函数上,所以-2 n= 1= -2 ,即 B（1,2）将点 A,点 B代入一次函数得： 1 = -2k + b-2 = .+ .解得： k = -1 .= -1,即直线解析式为： y=x1 x 2或0x1 （3）如下列图,已知一次
24、函数y=kx+b（k 0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B两点,且与反比例函数 y =.（m 0）的图象在第一象限交于 C点, CD垂直于 x 轴,垂足为 D,如 OA=OB=OD=1名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求点 A、B、D的坐标；求一次函数和反比例函数的解析式答案： 由于 OA=OB=1=1 所以 A（1,0 ）,B（0,1 ）,D（1,0 ）A（-.,0）,B（0,b）y=x+1 所以 -.= -1.= 1,k=1,b=1,就一次函数解析式为：由于 D（1,0 ）,所以 C的横坐标为 1 代
25、入一次函数得,纵坐标为：1+1=2 所以 D（1,2 ）所以 m=1 2=2,即反比例函数解析式为：2 y= xy=k x的图象交（4）如图,一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数于第一象限 C、D两点,坐标轴交于 是坐标原点）A、B 两点,连结 OC,OD（O名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 利用图中条件,求反比例函数的解析式和 m的值；双曲线上是否存在一点P,使得 POC和 POD的面积相等？如存在,给出证明并求出点 P的坐标；如不存在,说明理由答案：由于交于点 C（1,4 ）4所以 k=1 4=4,即反比
26、例函数解析式为：y= x4 D 横坐标为 4,代入反比例函数得： m= 4= 1要想 POC和 POD的面积相等,就只需要 OP为 CD的中垂线即可由于 C（1,4 ）,D（4,1 ）所以直线 AB的解析式为： y=x+5 设 P（a,4 a）由于 OP是 CD中垂线所以 OP这条直线的斜率为 1,即4 a-0 a-0= 1解得： a=2,所以 P（2,2 ）（5）不解方程,判定以下方程解的个数名师归纳总结 1 x+ 4x = 0；1 x- 4x = 0第 20 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案：构造双曲线y=1 x和直线 y=4
27、x,它们无交点,说明原方程无实数解1 构造双曲线 y= x和直线 y=4x,它们有两个交点, 说明原方程有两个实数解名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四、重难点题型1.反比例函数的性质拓展1. 积的不变性：自变量x 与其对应的函数y 的乘积是定值,等于比例系数 k,即 ky=k（k 0,k 为常数）,因此反比例函数图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积不变,等于比例系数 k；2. 图象与 k 的关系：反比例函数的图象是两支双曲线；当 k0时,双曲线两个分支在第一、三象限内,如图 分支在其次、四象限内,如图 2；1；
28、当 k0时,在每个象限内 y 随 x 增大减小；当 k0时,在 每个象限内, y 随 x 增大而增大；4. 图象与坐标轴关系：在 y =.中,x 0,所以 y 0,因此反比例函数的图象无限接近 x 轴,y 轴,但永久不行能与 x 轴、y 轴相交；5. 对称性：轴对称性： 反比例函数的图象是轴对称图形,直线 y=x和 y=x 是它的两条对称轴；中心对称性： 反比例函数的图象是中心对称图形,对称中心是坐标原点；6. 面积相等性：如图 3,在反比例函数图象上任取两点 P、Q,过 P、Q分别作 x 轴、y 轴垂线,垂足如图 3,就有：名师归纳总结 ,；第 22 页,共 26 页- - - - - -
29、-精选学习资料 - - - - - - - - - 图3 2.性质的应用1. 求解析式（1）试写出图象位于其次象限与第四象限的一个反比例函数的解析式：_；答案：由反比例函数图像与如：y = -1 .,y = -5 .等；k 的性质知： k0,可得出这样的解析式,（2）如图,点 A是反比例函数图象上一点,自点 A作 y 轴垂线,垂足为 T,已知 . .= 4,就此函数的表达式为 _；答案：由面积相等性质可得：1 2|.| = 4,k= 8 又由图形和 k 的性质得, k0,所以 k=8,故解析式为 y = -8 .；2.求图形的面积名师归纳总结 （1）如图,反比例函数 y = -4 x的图象与直
30、线 y = -1 3x的交点为 A、B；第 23 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 过 A作 y 轴的平行线,过B作 x 轴平行线,它们交于C,就 ABC的面积为 _；答案：方法一：本联立 y = -4求 A、B坐标,再确定 C的坐标,最终运算x 1 3xy = -面积；方法二：利用性质可得巧解；如图过 B 作 BEx 轴,E为垂足, AC、BC与 x 轴、y 轴分别交于M、F,由于反比例函数与正比例函数都是以原点为中心的中心对称图形,就 A、B交于原点坐标,由对称性知：所以.矩.= .矩.AM=BE=MC,OM=OE由面积不变性得：
31、. .= . .=1 2|.| = 2.矩.= |.| = 4所以. .= 2 + 2 + 4 = 83. 比较大小（1）已知 . 1（. 1,. 1）、. 2（. 2,. 2）、. 3（. 3,. 3）是反比例函数y = .图象上三点,且 . 21. 20. 3,求. 1、. 2、. 3的大小关系；答案：由于 x1x20,所以 P1 、P2 在同一象限即第三象限名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以0y1 y2 ；由于0x3所以P3在第一象限,所以 y30所以y30y1 y2 4. 求代数式的值4（1）如图,直
32、线 y=kx（k0）与双曲线 y= .交于 A（. 1,. 1）,B（. 2,. 2）两点,就 2. 1. 2- 7.2. 1的值等于 _；答案：由于双曲线与直线y=kx 均关于原点对称所以 A、B关于原点对称所以x1 = -x2,y1= -y2又由于 x1y1 = 4,x2y2 = 4,所以2x1 y2 - 7x2 y1 = -2x 1 y1 + 7x2y2=8+28=20； 5. 求点的坐标（1）已知正比例函数 y=. 1.（. 1 0）与反比例函数 y= .2 .的图象有一个交点（ -2 ,-1 ）,就它的另一个交点坐标是_；答案：由于反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称 所以两交
33、点也关于原点对称名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以另一交点坐标为（ 2,1）； 6. 确定取值范畴（1）如图,已知 M（2,1）,N（2,6）两点,反比例函数.y= .的图象与线段相交, 过反比例函数图象上任意一点P 作 y 轴垂线 PG,G为垂足,就 POG的面积 S的取值范畴是 _；k 答案：当 y= x过（2,1）时, k=2 当 y= k x过（2,6）时, k=12 1 由面积不变性质得 S PGO= 2|k|所以1S PGO 6 7. 确定函数的图象的位置1（1）函数 y=-.+ 1的图象不经过第 _象限；1 答案： y=-x的图象在其次、四象限内1 1 将 y=-x的图象向上平移 1个单位,即得 y=-x+ 1的图象由平移可知： y=-1 x+ 1的图象不经过第三象限名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 26 页