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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数学学问点 第一章、集合与函数概念 1.1.1、集合它对应,那么就称f :AyB为集合 A 到集合 B 的一个 函数 ,记作：fx,xA. 2、 一个函数的构成要素为： 定义域、对应关系、1、 把讨论的对象统称为 元素,把一些元素组成的总体叫做 集合 ；集合三要素： 确定性、互 异性、无序性 ；2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这 两个集合相等 ；值域 . 假如两个函数的定义域相同,并且对 应关系完全一样,就称 这两个函数相等 . 3、 常见集合： 正整数集合 ：* N 或 N ,整数集 1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法
2、： 解析法、图象法、列 合： Z ,有理数集合 ： Q ,实数集合 ： R . 4、集合的表示方法： 列举法、描述法 . 1.1.2、集合间的基本关系表法. 1.3.1、单调性与最大（小）值 1、 留意函数单调性证明的一般格式：1、 一般地,对于两个集合A、B,假如集合A解 ： 任 取x1,x2a,b且x 1x2, 就 ：中任意一个元素都是集合B 中的元素, 就称集合 A 是集合 B 的子集；记作AB. fx1fx2=2、假如集合AB,但存在元素xB,且xA, 1.3.2、奇偶性就称集合 A 是集合 B 的真子集 . 记作： A B. 1、 一般地,假如对于函数fx的定义域内任意3、 把不含任
3、何元素的集合叫做空集 .记作：.一个 x ,都有fxfx,那么就称函数并规定：空集合是任何集合的子集. fx为偶函数 . 偶函数图象关于 y 轴对称 . 4、 假如集合 A 中含有 n 个元素,就集合 A 有2n2、 一般地,假如对于函数fx的定义域内任意个子集 . 1.1.3、集合间的基本运算一个 x ,都有fxfx,那么就称函数1、 一般地,由全部属于集合A 或集合 B 的元素fx为奇函数 . 奇函数图象关于原点对称. 组成的集合,称为集合A 与 B 的并集 . 记作：AB. 其次章、基本初等函数（） 2.1.1、指数与指数幂的运算2、 一般地,由属于集合A 且属于集合 B 的全部元素组成
4、的集合,称为A 与 B 的交集 . 记作：AB. 1、 一般地,假如xna,那么 x 叫做 a的 n 次3、全集、补集 ？C Ax xU,且xU方根；其中n,1nN. 1.2.1、函数的概念 1、 设 A、B 是非空的数集,假如根据某种确定2、 当 n 为奇数时,nn aa；的对应关系f ,使对于集合 A 中的任意一个当 n 为偶数时,nana. 数 x ,在集合 B 中都有惟一确定的数fx和名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、 我们规定： 2.2.2、对数函数及其性质n. 1、 记住图象：ylogaxa0,a1
5、上的图ammana0 ,m ,nN* m1； 3.1.1、方程的根与函数的零点an1n0；an4、 运算性质：arasarsa0 ,r,sQ；arsarsa,0r,sQ；1、方程fx0有实根函数yfx的图象与 x 轴有交点abrarbra0,b0,rQ函数yfx有零点 . 2.1.2、指数函数及其性质1、 记住图象：yaxa0 a12、 性质：假如函数yfx在区间a,b象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有fafb0,那么,函数yafx在区间a,b内 有 零 点 , 即 存 在cf,b, 使 得fc0,这个 c 也就是方程x0的根. 2.2.1、对数与对数运算 3.2.2、
6、函数模型的应用举例1、axNlogaNx；时：1、解决问题的常规方法：先画散点图,再用适当的函数拟合,最终检验 . 2、alogaNa. 第一章、三角函数3、log a10,logaa1. 1.1.1、任意角4、当a,0a,1M0,N01、 正角、负角、零角、象限角的概念 . 2、 与角终边相同的角的集合：logaMNlogaMlogaN；2 k ,kZ. aN； 1.1.2、弧度制logaMlogaMlogN1 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1logaMnnlogaM. 弧度的角 . 5、换底公式：logablogcb2、l . rlogca3、弧长公式 ：lnRR. a0,a,1c0
7、,c,1b0. 1806、logab1a4、扇形面积公式 ：SnR21lR. 3602logb 1.2.1、任意角的三角函数a0 ,a,1b,0b1. 1、 设是一个任意角,它的终边与单位圆交于名师归纳总结 第 2 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点Px ,y,那么：4、诱导公式五 ：siny,cosx ,tany. sin2cos,x2、 设点Ax 0, y0为角终边上任意一点, 那么：cos2sin.（设r2 x 0y2）0s i ny0,cosx0,tany0. 5、诱导公式六 ：rrx 03、sin, cos, tan在四个象
8、限的符号和sin2cos,三角函数线的画法 . 4、 诱导公式一 ：cos2sin.sin2 ksin, 1.4.1 、正弦、余弦函数的图象 1、记住正弦、余弦函数图象：2、 能够对比图象讲出正弦、余弦函数的相关性cos2kcos,（其中：kZ）tan2ktan.5、 特殊角 0 ,30 ,45 ,60 ,质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、90 ,180 ,270的三角函数值 . 3对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 643、 会用五点法作图 . sin 1.4.2 、正弦、余弦函数的性质cos1、周期函数定义 ：对于函数fx,假如存在一tan 1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、 平
9、方关系 ：sin2cos2. 1. 2、 商数关系 ：tansincos 1.3 、三角函数的诱导公式1、 诱导公式二 ：sinsin,coscos,tantan.个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有fxTfx,那么函数fx就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期 . 2、诱导公式三 ：, 1.4.3 、正切函数的图象与性质sinsin1、记住正切函数的图coscos.象：tantan3、诱导公式四 ：名师归纳总结 sinsin,第 3 页,共 10 页coscostantan.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、 能够对比
10、图象讲出正切函数的相关性质：定变形 1：2 cos1cos 22,义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性 . 变形 2：sin21cos 22. 3、tan212tan2. 1.5 、函数yAsinx的图象tan数列 一、学问梳理 数列概念 1. 数列的定义：根据肯定次序排列的一列数1 、能 够 讲 出 函 数ysinx的 图 象 和 函 数yAs i nxb的图象之间的平移伸缩称为数列,数列中的每个数称为该数列的项. 变换关系 . 2、 对于函数：2. 通项公式：假如数列an的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这yAsinxbA0,0有：振幅 A,个数列的通项公
11、式,即a nfn. 3. 递推公式：假如已知数列an的第一项（或周期T2,初相,相位x,频率前几项）,且任何一项a 与它的前一项a n1（或前f1 T2. 几项）间的关系可以用一个式子来表示,即anfan1或anfan1,an2,那么这个式子、三角恒等变换 3.1.1 、两角差的余弦公式叫 做 数 列an的 递 推 公 式 . 如 数 列an中 ,a11 ,an2an1,其中an2a n1是数列an1、coscoscossinsin的递推公式 . 4. 数列的前 n 项和与通项的公式2、记住 15 的三角函数值：Sna 1a2an；sincostananS 1n1 n2 . 126426422
12、3S nS n1 3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、coscoscossinsin5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举 法、递推法 . 6. 数列的分类：有穷数列,无穷数列；递2、sinsincoscossin增数列,递减数列,摇摆数列,常数数列；有界 数列,无界数列 . 3、sinsincoscossin 递 增 数 列 : 对 于 任 何nN, 均 有an1a n. 4、tantantan. 递 减 数 列 : 对 于 任 何nN, 均 有1tantan5、tantantan. an1a n. 1tantan摇摆数列 : 例如: ,1,1,1,1,1. 3.1.3 、
13、二倍角的正弦、余弦、正切公式常数数列 : 例如:6,6,6,6, . 1、sin22sincos, 有 界 数 列 :存 在 正 数M使变形：sincos1 2sin2. anM,nN. 2、cos2cos2sin2无界数列 : 对于任何正数 M , 总有项a 使得anM. 2cos21等差数列 1. 等差数列的概念 假如一个数列从其次项起, 每一项与它前一项 的差等于同一个常数 d ,这个数列叫做等差数第 4 页,共 10 页12sin2,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 列,常数 d 称为等差数列的公差 . , 1 a 为首项,d 为
14、 2.通项公式与前 n 项和公式通项公式ana 1n1 d公差 . 前n项 和 公 式S nna 12an或Snna11nn1 d. A叫做 a 与 b 的23. 等差中项假如a,A ,b成等差数列,那么等差中项 . Aaba ,即： A 是 a 与 b 的等差中项2A , b 成等差数列 . 4. 等差数列的判定方法定义法：an 1and（nN,d 是常数） 2.通项公式与前n项和公式a 为首项, q 为公通项公式：ana1 qn1,比 . 前n项和公式：当 q 1 时,Sn na 1 当 q 1 时,nS n a 1 1 q a 1 a n q . 1 q 1 q3. 等比中项假如 a ,
15、 G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 . 即： G 是a与 b 的等差中项 a , A , b 成等差数列 G 2 a b . 4. 等比数列的判定方法定义法：a n 1q（nN,q0是常数）anan是等差数列；an是等比数列； 中 项 法 ：a n12anan2nN 且中项法：2an1anan2nNan是等差数列 . 5. 等差数列的常用性质an0an是等比数列 . 5. 等比数列的常用性质数列an是等差数列,就数列a np、数列an是等比数列, 就数列pan、panpan（ p 是常数）都是等差数列；（q0是常数）都是等比数列；在等差数列an中,等距离取出如干项
16、也构在等比数列an中,等距离取出如干项也构成一个等差数列, 即an,ank,an2k,an3 k,为等差成一个等比数列, 即an,ank,an2k,an3k,为等比数列,公差为 kd . 数列,公比为k q . anamnm d；a nanb a , b 是常anamqnmn,mN数 ；Snan2bna, b是常数,a0 如mnpq m ,n,p ,qN,就如mnpq m ,n,p ,qN,就amanapaq；amanapaq；如等比数列an的前 n 项和S ,就S 、如等差数列an的前 n 项和S ,就Sn是S2kS k、S 3kS 2k、S 4kS 3k是等比数列 . n其次章、平面对量
17、2.1.1、向量的物理背景与概念1、 明白四种常见向量： 力、位移、速度、加速度. 等差数列；当项数为2n nN,就S 偶S 奇n,S 偶dS 奇a nn1；a当项数为2n1nN,就S 奇S 偶an,S 偶nn1. S 奇2、 既有大小又有方向的量叫做向量 . 等比数列 1. 等比数列的概念 2.1.2、向量的几何表示假如一个数列从其次项起, 每一项与它前一项的比等于同一个常数 q q 0 ,这个数列叫做等比数1、 带有方向的线段叫做 有向线段 ,有向线段包 含三个要素：起点、方向、长度 . 列,常数 q称为等比数列的公比 . 2、 向量 AB 的大小,也就是向量AB 的长度（或名师归纳总结
18、第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 称模）,记作 AB ；长度为零的向量叫做 零向1、 设ax 1,y 1,bx 2,y2,就：量；长度等于 1 个单位的向量叫做 单位向量 . abx 1x 2,y 1y2,3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量abx 1x2,y 1y 2,（或共线向量） . 规定：零向量与任意向量ax 1, y 1,平行. a/bx 1y2x2y 1. 2.1.3 、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 . 2、 设Ax 1,y 1,Bx2,y2,就： 2.2.1 、向量加法运算及其
19、几何意义 1、 三角形法就 和平行四边形法就 . ABx2x 1,y2y 1. 2.3.4 、平面对量共线的坐标表示2、abab. 1、设Ax 1,y1,Bx2,y2,Cx3,y 3,就 2.2.2 、向量减法运算及其几何意义线段 AB中点坐标为x 12x2,y 12y 2,1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反 ABC的重心坐标为x 1x2x 3,y 1y 2y 3. 向量. 2.2.3 、向量数乘运算及其几何意义33 2.4.1 、平面对量数量积的物理背景及其含义1、ababcos. 1、 规定：实数与向量 a 的积是一个向量,这2、 a 在 b 方向上的投影为：acos. 种
20、运算叫做 向量的数乘 . 记作：a ,它的长3、a2a2. 度和方向规定如下：aa, 4、aa2. 当0 时, a 的方向与 a 的方向相同；5、abab0. 当 0时, a 的方向与 a的方向相反 . 2、 平面对量共线定理 ：向量 a a 0 与 b 共线,当且仅当有唯独一个实数,使 b a . 2.3.1 、平面对量基本定理 2.4.2、平面对量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设abx 1,y 1,bx 2,y2,就：ax 1x 2y 1y2a2 x 1y2 11、 平面对量基本定理 ：假如e 1,e 2是同一平面内aby 1,x 1x2y 1y 202. 的两个不共线向量,那么对于这一
21、平面内任2、 设Ax 1,Bx2,y2,就：一向量 a ,有且只有一对实数1,2,使y2y1x 12ABx2a1e 12e 2. 立体几何 2.3.2 、平面对量的正交分解及坐标表示基本概念1、aixyjx ,y. 2.3.3 、平面对量的坐标运算公理 1：假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的全部的点都在这个平面内；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 公理 2：假如两个平面有一个公共点,那么它们 有且只有一条通过这个点的公共直线；直线与平面垂直的判定定理：假如一条直线和一 个平面内的两条相交直线都垂直,
22、那么这条直线公理 3： 过不在同一条直线上的三个点,有且只垂直于这个平面；有一个平面；推论 1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且 只有一个平面；推论 2：经过两条相交直线, 有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线, 有且只有一个平面；直线与平面垂直的性质定理：假如两条直线同垂 直于一个平面,那么这两条直线平行；直线和平面平行 没有公共点 直线和平面平行的定义：假如一条直线和一个平 面没有公共点,那么我们就说这条直线和这个平公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线相互平 面平行；行；直线和平面平行的判定定理：假如平面外一条直等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边线和这个平面内的一条直
23、线平行,那么这条直线分别平行并且方向相同,那么这两个角相等；和这个平面平行；空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、直线和平面平行的性质定理：假如一条直线和一 个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相异面 交,那么这条直线和交线平行；1、按是否共面可分为两类：两个平面的位置关系：（1）共面：平行、 相交（2）异面：（1）两个平面相互平行的定义：空间两平面没异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条 有公共点直线或既不平行也不相交；异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点 的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直 线；两异面直线所成的角：范畴为 0 ,90 两异面直线
24、间距离 : 公垂线段 有且只有一条 2、如从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点 相交直线；（ 2）没有公共点 平行或异面 直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平 面相交、与平面平行 直线在平面内 有很多个公共点 直线和平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这 个平面内的射影所成的锐角；应用： .空间向量法 找平面的法向量 规定：a 直线与平面垂直时, 所成的角为直角, b 直线与平面平行或在平面内,所成的角为 0 角 由此得直线和平面所成角的取值范畴为 0 ,90 三垂线定理及逆定理 : 假如平面内的一条直线 , 与
25、这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与 这条斜线垂直 .直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：假如一条直线阿和一个 平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直 相互垂直 .直线 a 叫做平面 的垂 线 a 和平面 线,平面 叫做直线 a 的垂面；（2）两个平面的位置关系：两个平面平行 -没有公共点；两个平面相交-有一条公共直线；a、平行 判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平 行于另一个平面,那么这两个平面平行；两个平面平行的性质定理：假如两个平行平面同 时和第三个平面相交,那么交线平行；b、相交 二面角（1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分 成两个部分,其中每一个部分叫做半平面；（
26、2） 二面角：从一条直线动身的两个半平面所 组成的图形叫做二面角；二面角的取值范畴为 0 ,180 （3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱；（4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的 面；（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一 点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射 线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角；（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直 二面角；两平面垂直 两平面垂直的定义：两平面相交,假如所成的角 是直二面角,就说这两个平面相互垂直； 记为 两平面垂直的判定定理：假如一个平面经过另一 个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直名师归纳总结 - - - - -
27、- -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 两个平面垂直的性质定理：假如两个平面相互垂 直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于学问结构另一个平面；留意：二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定 理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量 法（留意求出的角与所需要求的角之间的等补关 系）空间几何体 多面体：棱柱 棱柱的定义：有两个面相互平行,其余各面都是 四边形,并且每两个四边形的公共边都相互平 行,这些面围成的几何体叫做棱柱；棱柱的性质（1）侧棱都相等,侧面是平行四边形1、基本概念互斥大事：不行能同时发生的两个大事 . 假如大事 A、 、C,其中任何两
28、个都是互斥大事,就说大事 A、 、C 彼此互斥 . 当 A、B 是互斥大事时, 那么大事 A B 发生（即 A、B 中有一个发生）的概率,等于大事A、B 分别发生的概率的和,即P A B P A . P B（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多对立大事：其中必有一个发生的两个互斥大事.边形大事 A 的对立大事通常记着A . （3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形 棱锥 棱锥的定义：有一个面是多边形,其余各面都是 有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几何体 叫做棱锥 棱锥的性质：（1） 侧棱交于一点；侧面都是三角形（2） 平行于底面的截面与底面是相像的多边 形；且其面积比等于截
29、得的棱锥的高与远棱锥高 的比的平方 正棱锥 正棱锥的定义：假如一个棱锥底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面的中心,这样的 棱锥叫做正棱锥；正棱锥的性质：各侧棱交于一点且相等,各侧面都是全等的等腰对立大事的概率和等于1. P A 1P A . 特殊提示： “ 互斥大事” 与“ 对立大事” 都是就两个大事而言的,互斥大事是不行能同时发生的两个大事,而对立大事是其中必有一个发生的互斥大事,因此, 对立大事必定是互斥大事,但互斥大事不肯定是对立大事,也就是说“ 互斥”是“ 对立” 的必要但不充分的条件 . 相互独立大事：大事 A（或 B ）是否发生对事件 B （或 A）发生的概率没有影响,（即
30、其中一个大事是否发生对另一个大事发生的概率没有影响 ）. 这样的两个大事叫做相互独立大事 . 当 A、B 是相互独立大事时,那么大事 A B发生（即 A、B 同时发生）的概率,等于大事 A、B分别发生的概率的积 . 即P A B P A P B . 如 A、B 两大事相互独立, 就 A与 B 、A 与 B、三角形；各等腰三角形底边上的高相等,它叫做A 与 B 也都是相互独立的 . n 次试验正棱锥的斜高；独立重复试验一般地,在相同条件下重复做的随机变量及其分布称为 n 次独立重复试验 . 独立重复试验的概率公式假如在 1 次试验中某大事发生的概率是 那么在 n 次独立重复试验中这个试验恰好发生
31、 次的概率p ,k名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - X10 1 假如随机变量 X 的分布列为PppP n kC p n kk 1nk k0 , 12 ,.条件概率： 对任意大事 A 和大事 B,在已知事 件 A 发生的条件下大事 B 发生的概率,叫做条件 概率 .记作 PB|A,读作 A 发生的条件下 B 发生 的概率 . 就称 X 听从 两点分布 ,并称 p P X 1 为胜利概率 . 二项分布假如在一次试验中某大事发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中这个大事恰好发生 k次的概率是公式：P B A P
32、AB,P A 0.P Xkk C pk1p n k.P A其中k0,1,2,.,n,q1p ,于是得到随机2、离散型随机变量 随机变量：假如随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量变量 X 的概率分布如下：X0 1 knP0 0C p qn1 1C p qn1k kC p qn kn nC p q0随机变量常用字母X Y, ,等表示 . 离散型随机变量 : 对于随机变量可能取的我们称这样的随机变量X 听从二项分布 ,记作值,可以按肯定次序一一列出,这样的随机变量 叫做离散型随机变量 . 连续型随机变量 : 对于随机变量可能取 的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量 就
33、叫做连续型随机变量 . 离散型随机变量与连续型随机变量的区 别与联系 : 离散型随机变量与连续型随机变量 都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随 机变量的结果可以按肯定次序一一列出,而连续XBn ,p,并称 p 为胜利概率 . 判定一个随机变量是否听从二项分布,关键有三 点：对立性： 即一次试验中大事发生与否二者必居 其一；重复性： 即试验是独立重复地进行了 n 次; 等概率性： 在每次试验中大事发生的概率均相 等. 性随机变量的结果不行以一一列出 . 注： 二项分布的模型是有放回抽样；如 X 是随机变量,Y aX b a b 是常数）二项分布中的参数是 p k n , , .就 Y 也是
34、随机变量 并且不转变其属性 （离散型、连续型） . 3、离散型随机变量的分布列概率分布（分布列）设离散型随机变量 X 可能取的不同值为x x , ,ix , ,nx ,X 的每一个值 ix （i 1,2, , n）的概率P X x i p ,就称表排列组合与二项式定理 1、基本计数原理 分类加法计数原理： 分类相加 做一件事情, 完成它有 n类方法, 在第一类方法中有m 种不同的方法,在其次类方法中有m 种Xx1x2ixxn不同的方法 在第 n 类方法中有m 种不同的Pp 1p2ippn方法 . 那么完成这件事情共有Nm 1m 2m n种不同的方法 . 为随机变量 X 的概率分布,简称X 的分布列 . 分步乘法计数原理： 分步相乘 做一件事情, 完成它需要 n 个步骤,做第一个步n性质：ip0,i1,2,. ;p i1.骤有m 种不同的方法,做其次个步骤有m 种不i1同的方法 做第 n 个步骤有m 种不同的方法 .两点分布那么完成这件事情共有Nm 1m 2m n种不名师归纳总结 第 9 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - -