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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 抽屉原理学问要点1. 抽屉原理的一般表述1 假设有 3 个苹果放入 2 个抽屉中,必定有一个抽屉中至少有 2 个苹果；它的一般表述为：第一抽屉原理：mn1 个物体放入 n 个抽屉,其中必有一个抽屉中至少有 m1 个物体；2 如把 3 个苹果放入 4 个抽屉中,就必定有一个抽屉空着；它的一般表述为：其次抽屉原理：mn1 个物体放入 n 个抽屉,其中必有一个抽屉中至多有 m1 个物体；2. 构造抽屉的方法常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等；例 1 自制的一副玩具牌共计 52 张 含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅,每种
2、牌都有 1 点, 2 点, 13点牌各一张 ,洗好后背面朝上放；一次至少抽取 张牌,才能保证其中必定有 2 张牌的点数和颜色都相同；假如要求一次抽出的牌中必定有 3 张牌的点数是相邻的 不计颜色 ,那么至少要取 张牌；点拨 对于第一问,最不利的情形是两种颜色都取了 113 点各一张,此时再抽一张,这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都相同；点拨 对于其次问,最不利的情形是：先抽取了 1,2,4,5,7,8,10,11,13 各 4 张,此时再取一张,这张牌的点数是 3,6,9, 12 中的一张,在已抽取的牌中必有 3 张的点数相邻；解 113 2 127 张 29 4 137 张 例 2 证明
3、： 37 人中, 1 至少有 4 人属相相同； 2 要保证有 5 人属相相同,但不保证有 6 人属相相同,那么人的总数应在什么范畴内？点拨 可以把 12 个属相看做 12 个抽屉,依据第一抽屉原理即可解决；解 1 由于 37 12 3 1,所以,依据第一抽屉原理,至少有 314 人 属相相同；2 要保证有 5 人的属相相同的最少人数为 4 12 149 人 不保证有 6 人属相相同的最多人数为 5 12 60 人 所以,总人数应在 49 人到 60 人的范畴内；例 3 有一副扑克牌共 54 张,问：至少摸出多少张才能保证：1 其中有 4 张花色相同？ 2 四种花色都有？点拨 第一我们要弄清晰一
4、副扑克牌有 2 张王牌,四种花色,每种有 13 张； 1 按最不利原就先取出 2 张为王牌,再取 4 张均不同花色,再连续取两次 4 张也均不同花色,这时必能保证每一花色都有 3 张,再取 1 张即可达到要求；2 仍需按最不利原就去取牌,先是 2 张王牌,接着依次把三种花色的牌全部取出 13 3,这时假设仍是没有四种花色,再取 1 张即可；解 124 3 115 张 2213 3 142 张 例 4 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球,规定每位同学最多可以借两种不同颜色的球；那么至少要来几名同学借球,就能保证必有两名同学借的球的颜色完全相同？点拨 依据题中“ 最多可借两种不同颜色的球” ,可知最多
5、有以下 6 种情形：解 借球有 6 种情形,看做 6 个抽屉,所以至少要来 7 名同学借球,才能保证；例 5 从前面 30 个自然数中最少要取出几个数,才能保证取出的数中能找到两个数,其中较大的数是较小数的倍数？名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点拨 把 1 30 这 30 个自然数分成下面15 组： 1 ,2,4,8, 16 ,3 ,6,12,24 , 5 ,10,20 ,7 ,14,28 ,9 ,18 ,11 ,22 ,13 ,26 ,15 ,30 ,1 7 ,19 ,21 ,23 ,25 ,27 ,29 ,在这
6、 15 组中,每组中的任意两个数都存在倍数关系,故可把这 15 组看做 15 个抽屉,至少要 取出 16 个数才能达到题目的要求；例 6 边长为 1 的正方形中,任意给定13 个点,其中任意三点都不共线；试说明其中至少有4 个点,以此4 点为顶点的四边形面积不超过四分之一；解：把正方形平均分成四个相同的小正方形,每个正方形的面积为四分之一；13=4 3+1,13 个点至少有4 个点在同一个小正方形,以此4 点为顶点的四边形的面积不超过小正方形的面积,即不超过原正方形面积的四分之一；例 7 平面上给定六个点,没有三点共线；每两点用一条红线段或黄线段连接起来,试说明由这些线段围 成的三角形中,至少
7、有一个三角形,它的三条边同色 .解 由于有六个点,每个点都要引出五条线段,据抽屉原理,任意一点引五条线段中至少有三条线段同色,不妨设是红色 如图红色线段为实线,蓝色线段为虚线 ,这时三角形a2a3a4 会显现两种颜色情形1 如 a2a3,a3a4, a2a4 中有任意一条线段为红的,那么这条红线段与 它的两个端点与 a1 引出的两条线段组成一个红三角形；2 如 a2a3,a3a4, a2a4 中没有一条线段是红色的,就 a2a3a4 为一个蓝色三角形；综上所述,无论1 仍是 2 ,题目结论都成立；说明：如把两种颜色连线换成人与人之间的相识或不相识关系,就可以解决实际问题：结果可证明6 人之间至
8、少有3 人相互熟悉或不熟悉；2 米？1. 要在 30 米长的水泥台上放16 盆花,不管怎么放,至少有几盆之间的距离不超过解：两盆 30 2=15 段, 30 米中每两米为一段的有 间的距离不超过 2 米；15 段, 16 盆花至少有两盆花在一段,至少两盆之3. 在一个边长为 1 的正三角形内随便放置 10 个点,试说明其中至少有两个点之间的距离不超过 1/3 ；解：把边长为一的正三角形平分成 9 粉,由每个三角的边长为 1/3 ,必有两点在一个三角形内,就两点的距离小于 1/3 ；4. 用黑、红两种颜色将一个长 9、宽 3 的矩形中的边长为 1 的小正方形随便涂色,试证必有两列涂色情形一样；由
9、于涂色显现八种情形：（红红红）,（蓝,蓝,蓝）,（红,红,蓝）,（红,蓝,红）,（蓝,红,红）,（蓝,蓝,红）,（蓝,红,蓝）,（红,蓝,蓝）,所以九列中肯定有两列是相同的；5. 从整数 1,2,3, , 199,200 中任选 101 个数,求证在选出的这些自然数中至少有两个数,其中的一个是另一个的倍数；名师归纳总结 - - - - - - -分 数 组 1,2,4,8, 16 , 128 , 3,6,12,24,48192, 5,10,20,40200, 7,14,28,56,112,9,18,36,72,144, 11,22,44,88,176, 13,26,52,104, 15,30,
10、60,120, 99,198, 101 ,103 , 199 共 100 个抽屉, 任选 101 个数必有两个数在一个抽屉里,即其中的一个是另一个的倍数；第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 在 10 10 方格纸的每个方格中,任意填入1、2、3、 4 四个数之一；然后分别对每个2 2 方格中的四个数求和；在这些和数中,至少有多少个和相同？1、2、3、4 填入后,四个数的和最小为4,最大为 16；4-16 之间有 13 个不同的和, 2 2 的方格在10 10 的方格中可推出 81 个和, 81 13=63,故至少有 6+1=7 个和；7. 从八个连续自
11、然数中任意选出五个,其中必有两个数的差等于 4,试分析之；这八个连续自然数为 a,a+1,a+2,a+3,a+4, a+5,a+6,a+7,分为四组 a+4 ,a ,a+5 ,a+1 ,a+6 ,a+2 , a+7 ,a+3 ,取五个数必有两个数在一个抽屉中,即差为 4 8. 任意给定七个自然数,说明其中必有四个数,它们的和为 4 的倍数；七个数中必有三对奇偶性相同,即满意a1+a2=2k1,a3+a4=2k2,a5+a6=2k3；在 k1,k2,k2三个数中又至少有两个奇偶性相同,不妨设 k1,k2 奇偶性相同,所以 k1+k2=2m,即 a1+a2+a3+a4=4m, 2k1+2k2=4m
12、,所以其中必有四个数,它们的和是 4 的倍数；9. 从 3,6,9 81,84 这些数中,任意选出 16 个数,其中至少有两个数的和等于 90,试说明之；分数组 6,84 ,9,81 ,12,78 , 42,48 ,3 ,45 ,共 15 个抽屉,故取 16 个数必有两个数在一个抽屉中,即和为 90；10. 任意给定七个不同的自然数,其中必有两个数的和或差是10 的倍数,试说明之；按余数是 2 或 5 或两个余数和为 10 来构造 6 个抽屉： 0 ,5 ,1,9,2,8 ,3,7 ,4,6 这样 7个数必有两个数在一个抽屉里,它们的余数之和是 10 或余数相同, 从而他们本身的和或差为 10
13、 的倍数；11. 能否在 10 行 10 列的方格中的每个空格处分别填上 条对角线的各个数字和互不相同？1,2, 3 这三个数,使大正方形的每行、每列及两10 个数的和最小为10,最大为 30,10-30中有 21 个数； 10 行 10 列加上两条对角线共22 个和, 就必有两条线上的和相同；所以不能；12. 能否把 17 这七个数排成一圈,使任意两个相邻数的差等于2 或 3？3,4,5三个数, 所以不能；在这 7 个数中, 1,2,6,7都不能相邻, 要把它们隔开需要4 个数,而现在只剩下13. 平面上给定六个点,没有三个点在一条直线上,每两点用一条红色线段或蓝色线段连接起来；试说明这些线
14、段围成的三角形中,至少有两个同色三角形；14. 库房里有一批篮球、排球、足球和手球,每人任意搬运两个,至少有多少人搬运才能保证有 5 人搬运的球完全一样？每人搬得可能是两篮、两排、两足、两手、篮排、篮足、篮手、排足、排手、足手 10 种情形； 4 10+1=41 人15. 在一个 3 4 平方米的长方形盘子中, 这时盘子的对角线长为 5 米 任意撒入 5 个豆,5 个豆中距离最小的两个豆的最大距离是几米？名师归纳总结 将长方形分成四份,如放5 豆,必有 2 个豆在一个小长方形内,一个小正方形第 3 页,共 6 页内最大的距离是2.5 米（如 AE）,故距离最小的两个点的距离最大值是2.5 米；
15、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 16. 一个 3 行 7 列的 21 个小方格的长方形,每个小方格用红或黄中的一种颜色涂色；证明：不论如何涂色,肯定能找到一个由小方格组成的长方形,它的四个角上的小方格具有相同的颜色；第一行有 7 个方格,由于涂两种颜色,依据抽屉原理二,必有一种颜色涂了 4 个或 4 个以上的方格；设第一行有四个红方格,其次行是在第一行四个红方格下面的四个方格中,假如有两个红色,那么结论已成立,否就必有三个黄方格；第三行是在其次行 3 个黄方格下面的 3 个方格中,至少有两个方格涂一种颜色； 如涂红色就与第一行组成符合条件的长方形,如
16、涂黄色就与其次行组成符合条件的长方形；17. 在1 ,2, , n 中,任意取 10 个数,使得其中有两个数的比值不小于 2 ,且不大于 3 ；求 n 的最3 2大值；由于任取 10 个数中有两个数在同一个抽屉里,明显最多构造 9 个抽屉这 9 个抽屉中的每一个抽屉都含有 1,2,3, n 中的一些数,而且这些数必需满意每两个数的比值都在和之间,这 9 个抽屉,是：1 ；2 ,3 ；4 ,5,6 ；7 ,8,9,10 ；11 ,12,16 ；17 ,18,24,25 ；26 ,27, 38,39 ；40 , 41, 59,60 ；61 ,62, 90,91 因此, n 的最大值是 9118.
17、从 1, 2,3, , 1988,1989 这些自然数中,最多可取多少个数,其中每两个数的差不等于 4. 把 1,2, ,1989 这些数分成四组公差是 4 的等差的数列； 1,5,9, ,1989 共 498 个数 ; 2,6,10, 1986 共 497 个数 ; 3,7,11 1987 共 497 个数 ; 4,8,12 1988 共 497 个数 ; 我们发觉 :1. 四行中每一行中任意相邻两数相差为 4, 不相邻两数相差不行能是 4; 2. 而分属不同两行的任意两个数相差不行能为 4, 由于假如相差为 4 的话 , 两数将被归为一行, 这明显与事实冲突 ; 应选符合规定的数只要在每组
18、里每隔一个数选一个 , 每行最多可选 249 个数 ; 最终 249 4=996（个）19. 四个人聚会,每人各带了两件礼品,分赠给其余三个人中的两人；试证明：四个人中至少有两对,每对是互赠过礼品的；将这四个人用 4 个点表示,假如两个人之间送过礼品,就在两点之间连一条线；由于每人送出 2 件礼品,共有 4 2=8 条线,由于每人礼品都分赠给 2 个人,所以每两点之间至多有 1+1=2 条线；四点间,每两点连一条线,一共 6 条线,现在有 8 条线,说明必有两点之间连了 2 条线,仍有另外两点 有一点可以与前面的点相同 之间也连了 2 条线；即为所证结论；20. 一排长椅共有 90 个座位,其
19、中一些座位已经有人就座了；这时,又来了一个人要坐在这排长椅上,有趣的是,他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻；原先至少有几人已经就座？由于 , 他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻 , 求至少有多少人 , 就有人的位置如图所示 , “ ” 表示已经就座的人 , “. ” 表示空位 : . . . . . 即有人的位置占全部人数的 1/3 ,90 3=30 人；即原先至少有 30 人已经就座；21. 把 1, 2,3, , 8,9,10 任意摆放在一个圆圈上,每相邻的三个数组成一个和数；试说明其中至名师归纳总结 - - - - - - -少有一个和数不小于17；（反证）假设任意三
20、个相邻的数之和都小于17 即小于等于16；就 10 组之和应小于等于16 10=160； 10组之和即把10 个数分别加了3 次,又由于： 3（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10） =165160 所以冲突；故假设不成立,所以其中至少有一个和不小于17；22. 某人步行10 小时,走了45 千米；已知他第一小时走了5 千米,最终一小时走了3 千米,其余每小时都走了整数千米；证明在中间8 小时当中,肯定存在连续的两小时,这人至少要走10 千米；第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 这个人在中间的8 小时内走了45- 5- 3=37km 假设在中间的8 个小
21、时内他相邻2 个小时内都走9km,8 个小时内一共有 7 组相邻,其中除去这 8 个小时内的前后两个小时,其他 6 个小时都有 2 次相邻,这 8 个小时内的路程可得：7 9-6 2 9=36km37km肯定存在连续的两小时,这人至少走了 10 千米；23. 在 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, 12 这 12 个自然数中,任意选取 8 个不同的数,其中必有两对数,每对数的差是 1；构造 6 个抽屉 1,23,45,67,89,1011,12 对的差是 1；将八个不同的数放入六个抽屉,必有两对数,每24. 有红、黄、蓝、绿四色的小球各10 个,混合放在一个布袋里；一次摸出8 个
22、小球,其中至少有几个小球的颜色是相同的；把红黄蓝绿四个小球看成四个抽屉,一次摸出八个小球放在抽屉里,8 4=2,其中至少有2 个小球颜色相同；25. 数学奥林匹克竞赛,全世界 52 个国家的 308 名选手参与了竞赛；按组委会规定,每个国家的选手不得超过 6 名,至少有几个国家派 6 名选手参赛；每个国家最多派出的运动员不超过 6 人,假设 52 个国家每个国家都派了 5 名,就剩下308-52 5=48（名）运动员；由于每个国家派出的运动员不超过 6 名,所以只好把 48 名运动员平均分到 48 个国家中去,也就是说,至少有 48 个国家派满了 6 名运动员；26. 某中学有十位老师,每位至
23、少与另外九位中的七位熟悉,我们必可从中找出几位,他们彼此熟悉；用 a1,a2,.,a10 表示 10 个人； a1 不熟悉的至多 2 人, 熟悉的人不少于 7 个, 不妨假定 a1 熟悉 a2 ；a1 、a2 中至少有一个人不熟悉的人至多 4 人,不妨假定 a1 、a2 都熟悉 a3 ；a1 、a2 、a3 至少有一个人不熟悉人的至多6 人, 不妨假定 a1 、a2 、 a3 都熟悉 a4 ；就 a1 、a2 、a3 、 a4 相互熟悉； 我们必可从中找出 4 位,他们彼此熟悉；27. 袋子里有 4 种不同颜色的小球,每次摸出 2 个；要保证有 10 次所摸出的结果是一样的,至少要摸几次；把
24、1 种不同的结果看成 1 个抽屉,至少要摸出 9 10+1=91（次 28. 某班有 27 名同学排成三路纵队外出参观,同学们都戴着红色或白色的太阳帽；在 9 个横排中,至多有几排同学所戴的帽子的颜色次序不同；每排三人,每排戴帽子的可能有8 种 ,所以 27 人排成九个横排,必有两个横排所戴帽子次序相同,帽子颜色次序不同的有 :9-2=7 排29. 在平面内有 1994 条互不平行的直线；求证：肯定有两条直线它们的夹角不大于 180 度；1994假如平面内有 3 条互不平行的线, 那么,要将最小的两条线的夹角为最大,就必需先让两条相互垂直,夹角为 90 ,然后再让另外一条线过交点,平分夹角,角
25、度为 45 , 45 180 度,30所以我们就说：平面里有 3 条互不平行的直线 , 求证肯定有两条直线的夹角不大于 180 度,30同理,可得平面里有 1994 条互不平行的直线,求证肯定有两条直线的夹角不大于 180 度；199430. 设自然数 n 具有以下性质：从前 n 个自然数中任取 21 个,其中必有两个数的差是 5；这样的 n 中最大是几？名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设计 20 个抽屉,且抽屉中两个数字之差为5：1,62,73,8 35,40 ,n 的最大值为40；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页